解答题专训17 利用导数研究函数的单调性问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数与单调性关系为核心，构建“概念-方法-题型-变式”四级训练体系，强化抽象能力与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1模块|导数正负判断单调增减，导数绝对值关联变化快慢|从导数与单调性基本关系（概念生成）到函数变化率分析（原理深化）| |题型通法及变式提升|3题型（各含典例+2变式）|不含参直接求导定区间，含参分类讨论参数，求参转化恒成立问题|题型梯度递进：基础应用→分类讨论→逆向求解，形成完整解题链| |重难专题分层过关练|巩固12题+创新4题|结合切线、极值等综合应用，强化复杂情境下单调性分析|从单一知识点到跨模块综合，培养数学思维的系统性与灵活性|

解答题专训17 利用导数研究函数的单调性问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 2 题型2 利用导数讨论含参函数单调性 2 题型3 利用导数单调性求参 2 重难专题分层过关练 3 巩固过关 3 创新提升 4 解题方法及技巧提炼 1.函数单调性和导数的关系 函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. 2.函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 题型通法及变式提升 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 【典例1】（25-26高三下·北京通州·期中）已知函数，且. （1）求a的值； （2）设，求函数的单调区间. 【变式1】已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间. 【变式2】已知函数，当时，有极小值． (1)若直线为的切线，求的值； (2)求的单调区间． 题型2 利用导数讨论含参函数单调性 【典例2】（25-26高三下·北京顺义·期中）已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中，若讨论函数的单调性； 【变式1】（25-26高三下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 题型3 利用导数单调性求参 【典例3】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围. 【变式1】（25-26高二下·广东江门·期中）函数． (1)若曲线与在处有相同的切线，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【变式2】已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三下·北京海淀·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)在（1）的条件下，求函数的单调区间． 2．（25-26高三下·北京延庆期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 3．（25-26高三上·北京门头沟期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 4．（24-25高三·北京通州期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间． (2)是否存在a，使得是减函数？若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，说明理由． 5．（24-25高三下·北京密云·期中）已知函数 ，其中为常数，且. (1)当时， 求曲线在点处的切线的斜率； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 6．已知函数，， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 7．已知函数在上单调递增. (1)求a的值； (2)解不等式（为函数的导函数）； 8．（25-26高三上·北京平谷期末）已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 9．（2026·山西运城一模）已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 10．（2026·北京门头沟·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； (3)若在定义域上单调递减，求的取值范围. 11．（2026·北京西城·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，证明：在上单调递增； (3)判断与的大小关系，并加以证明． 12.（2026·福建·厦门二模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围． 创新提升 13．（2026·北京顺义·二模）若函数. (1)判断方程解的个数，并说明理由； (2)当，设，求的单调区间. 14.已知函数，，令函数． (1)当a为正数时，讨论函数的单调性； (2)若不等式对一切都成立，求a的取值范围． 15.已知函数，其导函数为． (1)设． ①求的值； ②求在上的最大值． (2)讨论的单调性． 16.设函数. (1)求的定义域，并证明：； (2)讨论的单调性，并比较与的大小. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训17 利用导数研究函数的单调性问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 2 题型2 利用导数讨论含参函数单调性 3 题型3 利用导数单调性求参 6 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 16 解题方法及技巧提炼 1.函数单调性和导数的关系 函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. 2.函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 题型通法及变式提升 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 【典例1】（25-26高三下·北京通州·期中）已知函数，且. （1）求a的值； （2）设，求函数的单调区间. 【解】（1）由，得， 又因为，所以，解得； （2）由（1）得，所以， 所以，求导得， 令，解得，令，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式1】已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间. 【解】（1）， 由得曲线在点处的切线方程为； （2）由得或；得； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【变式2】已知函数，当时，有极小值． (1)若直线为的切线，求的值； (2)求的单调区间． 【解】（1）由题意得：的定义域为， 所以，所以①， 又， 所以，即②，由①②解得， 所以， 设切点为， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以， 所以，解得，所以； （2）由（1）有，， 所以， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 题型2 利用导数讨论含参函数单调性 【典例2】（25-26高三下·北京顺义·期中）已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中，若讨论函数的单调性； 【解】（1）当时，，则， 当时，，等号不能同时成立， 所以在上恒成立，则在上单调递增． （2）由题意得， 则， 记，则， 因为，所以 ， 则在上恒成立，所以在上递减， 又 当时， ， 所以在上恒成立，则在上单调递减； 当时， ，则存在唯一，使得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时， ， 所以在上恒成立，则在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 【变式1】（25-26高三下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【解】（1）当时，，求导得， ，， 在点处的切线方程为，化简得． （2）由，得 ， 的定义域为， 当时：，在区间单调递增； 当时： 当时，；当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增， 在 , 上单调递减. 题型3 利用导数单调性求参 【典例3】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围. 【解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 所以函数的递减区间为，递增区间为，在取得极小值，无极大值. （2）函数的定义域为， 由函数在上单调递增，得， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以实数a的取值范围是. 【变式1】（25-26高二下·广东江门·期中）函数． (1)若曲线与在处有相同的切线，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【解】（1）由，求导得， 由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线， 而，则，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （2）函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. 【变式2】已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【解】（1）， ． 在上存在单调递减区间， 当时，有解，即有解． 设只要即可． 而． 故a的取值范围是，且． （2）在上单调递减， 时，恒成立， 即恒成立，，而， ．． 故a的取值范围是，且． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三下·北京海淀·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)在（1）的条件下，求函数的单调区间． 【解】（1）因为，所以，即， 因此函数为. 所以，，， 所以所求切线方程为，即. （2）由（1）知，函数的定义域为， ， 令，解得，或， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 2．（25-26高三下·北京延庆期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【解】（1）当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. （2）因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 3．（25-26高三上·北京门头沟期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 4．（24-25高三·北京通州期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间． (2)是否存在a，使得是减函数？若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，说明理由． 【解】（1）（1）函数的定义域为，， 记，则．（思路提示：对求导后，发现无法直接判断与0的大小，所以再对求导） 当时，因为，，所以，所以在上单调递减． 又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减． 故的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）（2）由（1）知，． 若是减函数，则在上恒成立，即在上恒成立， 又，所以需满足是函数的最大值，易知是的极大值点，所以． 由，得． 下面证明当时，在上恒成立，是减函数． 当时，， 记，易知在上单调递减，（思路提示：和在上均大于0，且单调递增，所以在上单调递减）且， 所以当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减． 所以，，即在上恒成立，是减函数． 综上，存在，使得是减函数． 5．（24-25高三下·北京密云·期中）已知函数 ，其中为常数，且. (1)当时， 求曲线在点处的切线的斜率； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 【解】（1）当 时，函数，令得，即切点坐标为 ， 又 则 即切线斜率 ， 故切线方程为 ，即， 则曲线在点处的切线的斜率为2. （2）函数的定义域为 ，， ①当 时， 恒成立，故函数的单调增区间为 ； ②当 时， 令 解得 ， ，随x的变化情况如下表: x 0 单调递增 y极大值 单调递减 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 综上所述，当 时，函数的单调增区间为 ； 当 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为 （3）因为函数在上单调递减，所以由（2）可知且， 解得 ，所以. 6．已知函数，， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【解】（1）， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （2）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 7．已知函数在上单调递增. (1)求a的值； (2)解不等式（为函数的导函数）； 【解】（1）， 由函数在单调递增，则在上恒成立， 令，即在上恒成立， 若，则当时，，不符题意； 故，， 当，，当，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则有， 令，则， 当，，当，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 故当且仅当时，恒成立，即； （2）由，则， ，则， 令， 则， 故在上单调递减，又， 故当时，，即， 所以不等式的解集为. 8．（25-26高三上·北京平谷期末）已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 【解】（1）的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. （2）， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 9．（2026·山西运城一模）已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 【解】（1）由题意知. ①当时，恒成立， 所以的单调递增区间是； ②当时，令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，若在内单调递减， 则，解得， 即a的取值范围是. （3）由（1）知，若的单调递减区间是， 则，解得. 10．（2026·北京门头沟·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； (3)若在定义域上单调递减，求的取值范围. 【解】（1）当时可得，则， 此时， 因此切线方程为，即； （2）由可得其定义域为； 且，即， 显然， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令可得， 若，，此时在上单调递增； 若，，此时在上单调递减； 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）若在定义域上单调递减，可得在上恒成立； 由（2）可得当时，即在上单调递增， 当，可得，显然不合题意； 当时，可得在上单调递增，在上单调递减； 即在处取得极大值，也是最大值； 即恒成立； 令，； 则， 显然当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 因此，即， 又恒成立，可得，即. 所以的取值范围为. 11．（2026·北京西城·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，证明：在上单调递增； (3)判断与的大小关系，并加以证明． 【解】（1）因所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由题设，， 所以. 当时，因所以， 即在上单调递增，故得证. （3）,证明如下： 设则， 由（2）知在上单调递增，所以，则， 即在上单调递增， 故，即得证. 12.（2026·福建·厦门二模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围． 【解】 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ 当a＞0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； 当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a＝0时，f(x)不是单调函数． (2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2， ∴f(x)＝－2ln x＋2x－3， ∴g(x)＝ ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2， ∴ 当g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1,2]恒成立， 由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0， 即m＜－5且m＜－9，即m＜－9； 由g′(3)＞0，即m＞－.     所以－＜m＜－9. 即实数m的取值范围是. 创新提升 13．（2026·北京顺义·二模）若函数. (1)判断方程解的个数，并说明理由； (2)当，设，求的单调区间. 【解】（1）方程仅有一个解， 因为， 所以， 令可解得， 所以单调性如下表： 单调递增 极大值 单调递减 又，即的极大值为， 所以方程仅有一个解； （2）因为， 所以， 令可得或 分类讨论如下：（i）当时， 所以的单调性如下 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调增区间为，，单调减区间为； （ii）当时，，此时恒成立 所以的单调增区间为，无单调减区间 （iii）当，， 所以的单调性如下 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调增区间为，，单调减区间为. 14.已知函数，，令函数． (1)当a为正数时，讨论函数的单调性； (2)若不等式对一切都成立，求a的取值范围． 【解】（1）因为，， 则， 当时，在，上为正，上为负， 所以的单调增区间为，，单调减区间为. 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，在，上为正，上为负， 所以的单调增区间为，，单调减区间为， 综上：当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由，，变形为， 令，则在上单调递增， 其中，， 则， 若，此时在上恒成立，即在上单调递增，满足要求. 若，此时要满足在上恒成立， 令，对称轴为， 故要满足，解得， 综上：，即的取值范围是． 15.已知函数，其导函数为． (1)设． ①求的值； ②求在上的最大值． (2)讨论的单调性． 【解】（1）①由题意得， 则，解得． ②由①得，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也就是最大值，最大值为． （2）由题意有的定义域为，． 当时，，由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． 16.设函数. (1)求的定义域，并证明：； (2)讨论的单调性，并比较与的大小. 【解】（1）因为中，中，综合可得得定义域为， ； （2）因为，所以 令，即，所以，故， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增； 因为，且在区间上单调递增； 所以，又因为，所以， 所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $