精品解析：内蒙古锡林郭勒盟第二中学2024-2025学年高二下学期期末学业质量抽测数学试题

2024—2025学年度第二学期全盟中小学部分年级期末学业质量抽测 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的概念可得结果. 【详解】由题意可得. 故选：C. 2. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】“”的否定是“”. 故选：D 4. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 5. 已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则的值为 A. 14 B. 10 C. 14或23 D. 10或23 【答案】C 【解析】 【分析】 利用二项式定理展开式的通项公式求出第9项、第10项、第11项的二项式系数，再结合等差中项求解. 【详解】由题意得，即，化简得，解得或 【点睛】本题主要考查二项式定理，明确二项式系数为是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 6. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据期望与方差的性质判断④； 【详解】对于①：随机变量服从二项分布， 则，故①正确； 对于②：随机变量服从正态分布且， 则，故②正确； 对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 则，，所以，故③正确； 对于④：，，故④错误． 故选：A． 7. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 8. 抛掷两枚质地均匀的骰子，两个点数都出现偶数的概率和已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率分别是（ ） A. 都是 B. 都是 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】写出两个点数都出现偶数的基本事件，计算求解即可；利用条件概率计算公式求解即可. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件的总数为， 两个点数都出现偶数的基本事件为，，，，，，，，共个，所以概率为； 记第一枚骰子的点数是偶数为事件，第二枚骰子的点数是偶数为事件， 所以， 由两个点数都出现偶数的概率为，所以， 所以. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解；对于B，平方后再利用基本不等式求解，再开方即可；对于C，直接利用基本不等式即可；对于D，由平方平均数大于等于算术平均数即可求解. 【详解】对于A，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即时等号成立，故A错误； 对于B，，则， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，除以8的余数是1 D. 展开式中二项式系数最大项为第3项 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC，利用导数可判断B，利用二项式系数的性质可判断D. 【详解】对于A，令，可得，令，可得， 所以，故A错误； 对于B，， 两边求导，可得， 令，可得，故B正确； 对于C，当时，，所以除以8的余数是1，故C正确； 对于D，展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，故D错误. 故选：BC. 11. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得. 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 13. 已知一组数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据回归方程必过样本中心点，即可得到答案. 【详解】根据题意可知该组数据点， 所以， 所以， 故答案为： 14. 在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为_________；（若，则） 【答案】0.1## 【解析】 【分析】依题意得，则，由，得，即可求解. 【详解】若，则） 因为工业生产中轴承的直径服从， 所以，则， 由， 得， 则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为. 故答案为：## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 45 35 80 不优秀 45 75 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设“选到的学生语文成绩不优秀”，“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计的值. 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关 （2） 【解析】 【分析】（1）零假设后，计算卡方的值与比较即可； （2）根据条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 零假设为：数学成绩与语文成绩独立， 即数学成绩与语文成绩无关， 根据表中数据计算得 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立， 故认为数学成绩与语文成绩有关. 【小问2详解】 ， 所以估计的值为. 16. 已知函数的图象经过点． （1）求曲线在点A处的切线方程． （2）曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）设出过坐标原点的切线方程以及切点坐标，利用导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上列出方程组求解即可. 【小问1详解】 依题意可得，则, ∵，∴， ∴曲线在点（1，5）处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 设过原点的切线方程为，则切点为， 则,消去k，整理得， 解得或， 所以曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或． 17. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据：，． 【答案】（1）适宜 （2） （3）99.25亿元． 【解析】 【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案； （2）利用最小二乘法求出即可得解； （3）令即可得解. 【小问1详解】 由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型． 【小问2详解】 由题意得：，， ， 所以． 【小问3详解】 令，估计2025年的企业利润为99.25亿元． 18. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中. （1）若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和二项分布的概率公式求解即可； （2）该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，进而结合二项分布求解，根据独立事件的乘法公式求解的分布列及其期望，进而结合题意求解. 【小问1详解】 解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙 大学恰好通过一门笔试科目”为事件， 根据题意可得， 【小问2详解】 解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为， 根据题意可知，，所以，， ， ， . 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 ， 若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有， 所以，又因为，所以， 所以，的取值范围是. 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）设，若有且仅有两个实根，证明：． 【答案】（1） （2），定义域为， 因为．所以在单调递增， 又，，故存在，使得． 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 因为有且仅有两个实根，所以， 又，，且 所以，故． 又 又在单调递减，故是在的唯一根， 故．所以． 【解析】 【分析】（1）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解； （2）根据导数正负与函数的单调性的关系及函数零点的存在性定理，利用已知条件结合函数极值及函数值，得出的范围，进而得出，结合函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 的定义域为．， 令，即，解得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 故是在的唯一最小值点． 所以． 【小问2详解】 略 【点睛】解决此题的关键第一问利用导数法求函数的最值的步骤即可求解，第二问利用求二阶导数及函数零点的存在性定理得出函数的单调性，根据函数的极值及函数值，得出的范围，进而得出，结合函数的单调性即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期全盟中小学部分年级期末学业质量抽测 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则的值为 A. 14 B. 10 C. 14或23 D. 10或23 6. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①② 7. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 抛掷两枚质地均匀的骰子，两个点数都出现偶数的概率和已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率分别是（ ） A. 都是 B. 都是 C. 和 D. 和 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，除以8的余数是1 D. 展开式中二项式系数最大项为第3项 11. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知则不等式的解集为______． 13. 已知一组数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若，则_______． 14. 在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为_________；（若，则） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 45 35 80 不优秀 45 75 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设“选到的学生语文成绩不优秀”，“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计的值. 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数的图象经过点． （1）求曲线在点A处的切线方程． （2）曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由． 17. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据：，． 18. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中. （1）若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）设，若有且仅有两个实根，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $