内蒙古呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 呼铁一中高二数学期末卷聚焦函数、导数、数列等核心知识，以创业利润计算等情境题考查数学建模与应用能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、不等式性质、函数导数基础|第7题结合导函数图象判断最值，考查几何直观| |多选题|3/18|导数计算、函数最值、抽象函数性质|第11题抽象函数奇偶性与周期性判断，培养推理意识| |填空题|3/15|集合关系、函数求导、数列求和|第14题由前n项和求通项并求和，强化转化思想| |解答题|5/77|函数解析式、导数应用、利润模型、数列综合|第17题创业利润分段函数模型，体现应用意识；第19题函数综合题含参数讨论与根的比较，发展逻辑推理|

呼铁一中2025-2026学年第二学期高二期末考试 数学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C A B D C AB BCD 题号 11 答案 ABC 1．D 【分析】根据集合并集的运算，合并两个集合的元素取值范围即可得答案. 【详解】集合，， 所以. 2．C 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 3．B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 4．C 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 5．A 【详解】， 又因为，所以， 所以，所以C、D无法判断， 对于A、B，， 所以，即. 6．B 【分析】利用等差数列通项公式列出已知项的表达式，求解公差与首项，再代入计算即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，其通项公式为，. 由，，可得， 两式作差得. 因为，可得，进而. 故. 7．D 【分析】根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】由图象可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 对于A，在开区间先减后增，无最大值，A错误. 对于B，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点函数值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，B错误. 对于C，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，C错误. 对于D，在开区间先增后减，一定有最大值，D正确. 8．C 【分析】首先求出函数在区间上的零点，再利用周期性求解在区间的零点. 【详解】当时，， 在区间内的零点为和，共个零点. 已知周期为，即，则函数在区间上的零点为共6个. 9．AB 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 10．BCD 【分析】利用均值不等式依次计算每个选项的最小值，A选项的最小值为3不满足，其余均满足即可得到答案. 【详解】对A：， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 11．ABC 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 12．2 【分析】根据集合相等的定义分析即可. 【详解】集合，， 若，则， 则或，所以或或， 当时，集合，，则，满足题意； 当时，集合，，不符合； 当时，集合，，不符合； 综上，实数的值为2. 故答案为：2 13． 【分析】先对原函数求导得到含常数的导函数表达式，再将代入导函数构造出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值. 【详解】由题意得， 令，得，解得. 14． 【分析】借助与关系计算可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【详解】由题意，当时，， 而满足上式，因此， 则， 则， 所以． (2) 15．【详解】（1）令，则， 所以，则． (2)∵，① ∴，② 由得 解得：． (3)设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 16．【详解】（1）因为，所以， 设切线的斜率为，由斜率的几何意义得， 而，得到切点为，则切线方程为， 化简得，故切线方程为. （2），令，可得， 令，可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到极小值为，无极大值. 17．【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 18．【详解】（1）根据已知条件，，令，解得， 同理，易得. 当时，， 与两式相减，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. （2）由（1）知，所以， 所以，则， 两式相减可得， 整理得. 19．【详解】（1）因为的定义域为，， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （2）由，得，即， 令，，则恒成立，即， ， 令得，；令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， ， 则,得，解得，故的取值范围为. （3）.证明如下： 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，则解得； 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，解得； 设，其中，令，， 则，， ， ， 因为，所以，，，， 令，其中， 则， ，当时，，所以在上单调递减， ，所以在上单调递增， 当时，，，所以，则， 所以在上单调递减， 因为，所以，所以， 则，所以，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ▣阅回 呼铁一中2025-2026学年第二学期高二期末考试数学 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 [0] [0] [0] [0] [o] [o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [ [1] [1 [1] [1] 2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 [21 [2] 2 [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] 3] [3] 3 [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效， [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 5. 保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] 61 [6] [6] 正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [81 [8] [8] [8] [8] [8] [8l [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 单选题 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 多选题 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 填空题 12 13. 14 解答题 15 囚囚■ ■ 16. ▣囚■ 0 ■ 17. 1 I 18. I 1 ■ ㄖ■囚 ■ ㄖ■ㄖ ▣ ■ 呼铁一中2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，且，则（     ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，，（，），则（    ） A． B． C． D． 7．如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（   ） A． B． C． D． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 8．设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则实数的值为______. 13．设函数，则______． 14．已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题分求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有； (3)函数是一次函数且满足. 16．本小题分已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求其极值． 17．本小题分为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18．本小题分已知数列的前项和为，且满足． (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 19．本小题分设函数，． (1)求函数在区间上的最值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $