精品解析：广东广州市海珠区2025-2026学年第二学期期末质量监测八年级数学

2025学年第二学期质量监测八年级数学 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第3页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 劳动课要开展传统点心制作活动，老师对该年级的全体学生最爱吃哪种传统点心进行调查，以此决定本次劳动课的制作品类．下面的调查数据最值得关注的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 3. 九边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 4. 某校计划从甲、乙、丙、丁四个小组中选取一组参加机器人竞赛，下表记录了各组平时测试成绩（单位：分）的平均数及方差．根据表中的数据，要选出一个成绩优秀且状态稳定的小组，则应选择（ ）小组． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 观察箱线图，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的第三四分位数是15 C. 这组数据的中位数是10.5 D. 这组数据的最小值是3，最大值是19 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线，交于点，菱形的面积为8，，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 10. 某小区采用机器人“小海”和“小珠”对居民的快递进行配送．某次配送任务需要机器人从配送站出发，给距离配送站的居民进行配送．小珠比小海晚出发，小珠的行驶速度为，若小海、小珠行驶的路程（单位：）与小海行驶的时间（单位：）之间的函数图象如图所示，则小海比小珠晚（ ）到达居民位置． A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，满分24分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 比较实数的大小： ______．（填入“”、“”或“”） 13. 一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围为______． 14. 已知数据，，的平均数是，则，，的平均数是______． 15. 如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 16. 如图，已知平行四边形的顶点的坐标为，顶点，分别在轴和直线上，则对角线的最小值是______． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 19. 在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）如表是与的对应值： … … … … ①求； ②若点、都在该函数图象上，则 ． （2）在给出的平面直角坐标系中，画出该函数图象． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关于x的不等式的解集为 20. 如图，在中，，E是上的一点，，，． （1）求证：； （2）求线段的长． 21. 某大型连锁商超采购一批礼盒装西瓜充实生鲜货架，一共进货1000箱．收货验收时质检随机抽取20箱进行称重抽检，每箱西瓜的质量统计如下： （1）每箱质量为的西瓜有 箱． （2）抽取20箱西瓜质量的中位数为 ，众数为 ； （3）请估计这1000箱西瓜的总质量约为多少． 22. 如图，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在处． （1）若，求的度数； （2）已知，，求的长． 23. 综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 （1）求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； （2）设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （3）请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，为线段上一动点，过点作轴于点，轴于点． （1）求点坐标为 ，点坐标为 ， ； （2）连接，当线段最短时，求点的坐标； （3）在轴上取点，连接，以为边构造正方形如图2所示点在轴的正半轴上，当四边形是正方形时，要使得边与直线有交点，求的取值范围． 25. 如图1，矩形的对角线、交于点． （1）若，，求的长； （2）如图2，延长至点，使，取的中点，连接、，请判断与位置关系，并说明理由； （3）如图3，点、点分别是的延长线和反向延长线上的点，且，连接、，在上取点使得，在上取点使得，、相交于点，已知，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期质量监测八年级数学 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第3页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可. 【详解】解：选项A中，的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B中，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足两个条件，是最简二次根式，符合题意； 选项C中，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D中，，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 劳动课要开展传统点心制作活动，老师对该年级的全体学生最爱吃哪种传统点心进行调查，以此决定本次劳动课的制作品类．下面的调查数据最值得关注的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，需结合调查目的判断最值得关注的统计量，通过分析各统计量的含义，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：∵本次调查的目的是选出喜爱人数最多的传统点心，以此确定劳动课的制作品类， 又∵方差反映数据的波动程度，平均数反映数据的平均水平，中位数反映数据的中等水平，众数反映一组数据中出现次数最多的数据，对应人数最多的选择， ∴最值得关注的统计量是众数． 3. 九边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和定理，直接代入多边形内角和公式计算即可得到结果． 【详解】解：． 4. 某校计划从甲、乙、丙、丁四个小组中选取一组参加机器人竞赛，下表记录了各组平时测试成绩（单位：分）的平均数及方差．根据表中的数据，要选出一个成绩优秀且状态稳定的小组，则应选择（ ）小组． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】平均数越大代表平均成绩越高，成绩越优秀，方差越小代表成绩波动越小，状态越稳定，先筛选出平均成绩更高的小组，再比较方差得到最终结果，即可求解． 【详解】解：∵成绩优秀要求平均成绩更高，即平均数越大越好，比较四个小组的平均数得， ∴甲、丙两组满足成绩优秀的要求， ∵状态稳定要求成绩波动小，即方差越小越稳定，比较甲、丙的方差得， ∴甲的方差更小，状态更稳定，因此应选择甲小组． 5. 如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线，． 6. 观察箱线图，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的第三四分位数是15 C. 这组数据的中位数是10.5 D. 这组数据的最小值是3，最大值是19 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据箱线图逐一进行判断即可. 【详解】解：A、这组数据的第一四分位数是4，原说法正确； B、这组数据的第三四分位数是15，原说法正确； C、这组数据的中位数在与之间，为10.5，原说法正确； D、这组数据的最小值是3，最大值是18，原说法错误. 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把原式变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 8. 如图，在菱形中，对角线，交于点，菱形的面积为8，，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、菱形的面积公式以及直角三角形斜边中线的性质．首先根据菱形的面积公式求出对角线的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， 菱形的面积为，， ，即， ， ， ， 在中，为的中点， ． 9. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴判断、的大小关系，确定的符号，利用二次根式的性质及绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知． ∴ ∴． 10. 某小区采用机器人“小海”和“小珠”对居民的快递进行配送．某次配送任务需要机器人从配送站出发，给距离配送站的居民进行配送．小珠比小海晚出发，小珠的行驶速度为，若小海、小珠行驶的路程（单位：）与小海行驶的时间（单位：）之间的函数图象如图所示，则小海比小珠晚（ ）到达居民位置． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可知小珠比小海晚出发，利用小珠的速度和总路程求出小珠到达终点的时间，进而得出此时小海行驶的路程和时间，求出小海的速度，最后计算小海到达终点的时间与小珠到达终点的时间差即可 【详解】解：由图象可知，小珠比小海晚出发 ∵小珠的行驶速度为，总路程为 ∴小珠行驶的时间为 ∴小珠到达终点时，小海行驶的时间 由图象可知，当时，小海行驶的路程为 ∴小海的行驶速度为 ∴小海到达终点所需时间 ∴小海比小珠晚到达的时间为 二、填空题（每小题4分，满分24分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 比较实数的大小： ______．（填入“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】比较两个正数的大小，可采用平方法，将两个数分别平方后比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大，据此即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，， 计算得，， ， ， 故答案为：． 13. 一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的图象性质列出不等式，求解不等式得到参数范围． 【详解】解：∵一次函数经过第一、三、四象限， ∴， 解得． 14. 已知数据，，的平均数是，则，，的平均数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的定义求出原数据的总和，再根据平均数的定义计算新数据的平均数． 【详解】解：数据，，的平均数是 由平均数的定义得 ， ， 则新数据，，的平均数为． 15. 如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，已知平行四边形的顶点的坐标为，顶点，分别在轴和直线上，则对角线的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】设点C坐标为，由平行四边形的性质可求，可得点C在直线上运动，再根据点C在y轴上时，的长度有最小值求解即可． 【详解】解：设点C坐标为， ∵顶点B、D分别在x轴和直线上， ∴点B，点D的纵坐标分别为0，， ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分， ∵点的坐标为， ∴根据中点坐标公式可得， ∴， ∴点C在直线上运动， ∴当点C在y轴上时，即垂直直线，此时的长度有最小值， ∴对角线的最小值为：． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）如表是与的对应值： … … … … ①求； ②若点、都在该函数图象上，则 ． （2）在给出的平面直角坐标系中，画出该函数图象． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关于x的不等式的解集为 【答案】（1）①，② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据题意可知将代入即可； ②由表格可知，当时，或3；当时，或2；当时，或4；即可知； （2）根据描点连线画图即可； （3）根据图像位置关系即可． 【小问1详解】 解：①根据题意可知； ②由表格可知，当时，或3；当时，或2；当时，或4； 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图像可知，当时，成立． 20. 如图，在中，，E是上的一点，，，． （1）求证：； （2）求线段的长． 【答案】（1）证明： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即可得出． （2）由（1）得出，设，则，在中，利用勾股定理即可得． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴是直角三角形． 设， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即． 21. 某大型连锁商超采购一批礼盒装西瓜充实生鲜货架，一共进货1000箱．收货验收时质检随机抽取20箱进行称重抽检，每箱西瓜的质量统计如下： （1）每箱质量为的西瓜有 箱． （2）抽取20箱西瓜质量的中位数为 ，众数为 ； （3）请估计这1000箱西瓜的总质量约为多少． 【答案】（1）2 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先由质量为的占比即可求出质量为的箱数，然后即可求出质量为的西瓜箱数． （2）根据中位数和众数的定义求解即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：每箱质量为的西瓜有：（箱） 则每箱质量为的西瓜有：（箱） 【小问2详解】 解：按照从小到大的顺序排列，第10位和第11位的平均数为：， ∴中位数为5． 其中出现的次数最多， ∴众数为． 【小问3详解】 解：这20箱的西瓜质量为：， 则这1000箱西瓜的总质量约为． 答：这1000箱西瓜的总质量约为． 22. 如图，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在处． （1）若，求的度数； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质得出，，，由直角三角形两个锐角互余得出，进而可求出． （2）先证明，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出，即可求出，设，则，先利用勾股定理求出x，进而求出，再利用勾股定理求出，进而可求出． 【小问1详解】 解：∵矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在处． ∴垂直平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 在中，， 即， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 23. 综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 （1）求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； （2）设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （3）请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 【答案】（1） （2）（，且x为整数） （3）总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆，依次算出型冷柜车的数量，判断是否满足题意即可； （2）根据（1）所求结合总费用的计算公式列式求解即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵两种车型都租用，B型车辆最多不超过5辆， ∴B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆， ∵要求把40吨荔枝全部运完，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨， ∴当B型车辆为5辆时，，那么型冷柜车需要4辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为4辆时，，那么型冷柜车需要5辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为3辆时，，那么型冷柜车需要6辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为2辆时，，那么型冷柜车需要7辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 当B型车辆为1辆时，，那么型冷柜车需要8辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 综上，共需9辆货柜车； 【小问2详解】 解：由题意得， （，且x为整数）； 【小问3详解】 解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为，此时， 答：总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，为线段上一动点，过点作轴于点，轴于点． （1）求点坐标为 ，点坐标为 ， ； （2）连接，当线段最短时，求点的坐标； （3）在轴上取点，连接，以为边构造正方形如图2所示点在轴的正半轴上，当四边形是正方形时，要使得边与直线有交点，求的取值范围． 【答案】（1），， （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线的解析式求得点和点的坐标，再利用勾股定理求得即可； （2）根据题意判定四边形为矩形，则，那么最小时为，利用等面积法得到，解得，设点的横坐标为，则纵坐标为，利用勾股定理求得即可； （3）根据正方形的性质得到和，设点，代入解析式求得，则点，过点作轴于点，结合正方形的性质利用证明，同理证明，则，有和，进一步求得和，即可知点和点的坐标，分别当点恰好在直线上和点恰好在直线上时，代入求得即可． 【小问1详解】 解：∵直线的解析式为， ∴， 则点， 令，则，解得， 那么，点， 则； 【小问2详解】 解：∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， 则， 则最小时为，即图中的， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 即，解得， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ∴，解得， 则， ∴线段最短时，点的坐标； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 设点， ∴，解得， 则点， 过点作轴于点，如图， 则， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，， 则点，， 当点恰好在直线上时， 则，解得； 当点恰好在直线上时， 则，解得； 综上所述，． 25. 如图1，矩形的对角线、交于点． （1）若，，求的长； （2）如图2，延长至点，使，取的中点，连接、，请判断与位置关系，并说明理由； （3）如图3，点、点分别是的延长线和反向延长线上的点，且，连接、，在上取点使得，在上取点使得，、相交于点，已知，，求的值． 【答案】（1） （2）证明：，理由如下∶ 延长与的延长线交于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得和，利用勾股定理求解即可； （2）延长与的延长线交于点，结合矩形的性质得和、，有，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，即可证明，得到和，进一步得到，即可证明，结合等腰三角形的三线合一得到； （3）连接、，根据矩形的性质得和，得到，即可证明，进一步证明四边形为平行四边形，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据同底等高得到和，即有，得到，进一步证明，有和，由平行线的性质得，即可求得和、，结合和，化简即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则， ∴四边形为平行四边形， ∴， 过点作交于点，过点作交于点，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $