精品解析：广东省梅州市五华县2025-2026学年第二学期八年级数学期末测试题

2025—2026学年第二学期八年级期末学习能力测试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 使分式无意义的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把沿所在的直线向右平移一段距离，且点与点对应，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，点M是上动点，点N是上一定点，点E、F分别是、的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是（ ） A. 线段EF的长度逐渐减小 B. 线段EF的长度逐渐增大 C. 线段EF的长度不改变 D. 线段EF的长度不能确定 6. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ） A. 4 B. 4或 C. 8 D. 8或 7. 如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干套，第二次用1500元购买同款数独九宫格盘，…，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（ ） A. 每套比上次降价5元，多买了10套 B. 每套比上次降价5元，少买了10套 C. 每套比上次涨价5元，少买了10套 D. 每套比上次涨价5元，多买了10套 9. 如图，在三角形纸片中，D，E分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 与的公因式是________． 12. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 13. 如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 14. 对于任意有理数a和非零有理数b，规定一种特别的运算“★”：．例如，若，则________． 15. 如图，在长方形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，则的最小值为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 在实数范围内分解因式：． 丽华的解题过程如下： 解：原式． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 17. 解分式方程：． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上,且∠ABE=∠CDF. 求证:CE=AF 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 先化简，再求值：，其中a是不等式的最小整数解． 20. 如图，在中，，点D是边上一点（不与点B，C重合），将绕着点顺时针旋转至的位置，连接、．设，． （1）探究：当点在边上移动时，、之间有怎样的数量关系：________； （2）若，求证：为等边三角形． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）如图，在格点上找一个点，使得以为顶点的四边形是平行四边形； （2）如图，点是边上一点，请画出，并在边上画点，使得平分的面积； （3）如图，点为与网格线的交点，请画出线段，使得． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践：随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车（电车）逐渐受到人们的青睐．小聪家计划购买新车，正在考虑购买油车还是电车．小聪通过市场调查，获取了以下信息： 信息一：燃油车A的油箱容积为50升，油价：元/升，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）为a千米，每千米行驶费用：元； 信息二：新能源车B同样行驶a千米时，需要耗费电池的电量为100千瓦时，电价为元/千瓦时，每千米行驶费用：①________元； 信息三：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： （1）根据信息二，用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用①是________元； （2）分别求出这两款车的每千米行驶费用的具体数值； （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为2890元和5860元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？请你帮小聪给出购车建议．（年费用年行驶费用年其它费用） 23. 综合探究 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． （1）【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点与点重合时，连接，探究与的位置关系，并说明理由； （3）【应用】如图③，若，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为15，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期八年级期末学习能力测试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐项判定即可． 【详解】解：∵因式分解要求等式右边必须是几个整式的积的形式， A选项中，等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； B选项中，该变形是整式乘法，是将整式的积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； C选项中，等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D选项中，将多项式化为两个整式和的积，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 2. 若，，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵a＞b＞0，c≠0， ∴a-c＞b-c， ∴选项A不符合题意； ∵a＞b＞0，c≠0， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵a＞b＞0，c≠0， ∴-2a＜-2b， ∴选项C不符合题意； ∵a＞b＞0，c≠0， ∴， ∴选项D符合题意． 故选D． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 3. 使分式无意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式无意义时分母为，列方程解答即可． 【详解】解：∵分式无意义时，分式的分母等于， ∴令， 解得 ∴使分式无意义的是． 4. 如图，把沿所在的直线向右平移一段距离，且点与点对应，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质解答即可． 【详解】解：由图中数据可知，， ∵把沿所在的直线向右平移一段距离， ∴平移距离为． 5. 如图，在四边形中，点M是上动点，点N是上一定点，点E、F分别是、的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是（ ） A. 线段EF的长度逐渐减小 B. 线段EF的长度逐渐增大 C. 线段EF的长度不改变 D. 线段EF的长度不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可证，由此可解． 【详解】 解：连接， 是定点， 是定值， 点E、F分别是、的中点， ， 是定值． 故选：C． 6. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ） A. 4 B. 4或 C. 8 D. 8或 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 7. 如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得出，再利用SAS证明，得出，最后利用三角形外角的性质求出即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 则． 8. 某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干套，第二次用1500元购买同款数独九宫格盘，…，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（ ） A. 每套比上次降价5元，多买了10套 B. 每套比上次降价5元，少买了10套 C. 每套比上次涨价5元，少买了10套 D. 每套比上次涨价5元，多买了10套 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式方程各部分的实际意义，分别分析两次购买的数量关系和单价关系，即可推出省略部分的条件． 【详解】解：设第一次购买了套，方程中第二次购买的数量为套， 第二次购买数量比第一次多套，即多买了套， 是第一次购买的单价，是第二次购买的单价，方程为， 第一次单价比第二次单价多元，即第二次每套比第一次降价元， 因此省略部分的文字为“每套比上次降价元，多买了套”． 9. 如图，在三角形纸片中，D，E分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠对应角相等，结合条件得出、的度数，再利用三角形内角和求出的度数． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形性质及角平分线可得为等边三角形，结合可得为中点，进而判定①；由三角形内角和可得，从而判定②；由中线性质判定③；由中位线定理及直角三角形边角关系判定④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，； 平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴，即点是的中点， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴， ∴，故②正确； ∵是的中点， ∴，，故③正确； ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，共3个． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 与的公因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据公因式的定义，分别找出两个单项式系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，二者乘积即为所求公因式． 【详解】解：针对单项式和， 第一步确定系数部分：系数和的最大公约数为， 第二步确定字母部分：两个单项式共有的字母是与，的最低次幂是，的最低次幂是，因此相同字母最低次幂的乘积为． 将两部分相乘得公因式为． 12. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】八（或8） 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形的每一个内角为 正多边形的每一个外角为： 多边形的边数为： 故答案为八． 【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键． 13. 如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解题意是解题的关键． 根据已知条件，可根据一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可； 【详解】， 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断； 故答案是：（答案不唯一）． 14. 对于任意有理数a和非零有理数b，规定一种特别的运算“★”：．例如，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】按照新定义的运算规则，将已知等式转化为关于x的分式方程，然后解方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ，解得：， 经检验：是分式方程的解． 15. 如图，在长方形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点，使得，连接，可证明，得到，则当D、F、H三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当D、F、H三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴由勾股定理得， ∴的最小值为． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 在实数范围内分解因式：． 丽华的解题过程如下： 解：原式． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 【答案】不正确， 正确的解题过程如下： 原式 【解析】 【分析】分解因式需要分解至不能再分解为止，利用平方差公式进行两次分解即可得到正确结果． 【详解】略 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先分解分母，将分式方程去分母转化为整式方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：原方程分母因式分解得 ， 方程两边同乘 ，去分母，   ， 展开整理得 ，   解得    检验：当  时，  所以原方程的解为 ． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上,且∠ABE=∠CDF. 求证:CE=AF 【答案】 在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA， ∵∠ABE=∠CDF. ∴∠ABC-∠ABE=∠CDA-∠CDF 即∠CBE=∠ADF， ∵AD∥BC，故∠BCE=∠DAF， 又BC=DA，∴△BCE≌△DAF，故CE=AF 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质易证△BCE≌△DAF，即可得证. 【详解】略 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质即全等三角形的判定与性质. 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 先化简，再求值：，其中a是不等式的最小整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式进行混合运算化简，再解一元一次不等式，结合分式有意义的条件确定符合要求的的值，最后代入化简结果求值． 【详解】解：原式 解不等式得， 分式有意义需满足分母不为，即，，得 且， 是不等式的最小整数解， ∴原式． 20. 如图，在中，，点D是边上一点（不与点B，C重合），将绕着点顺时针旋转至的位置，连接、．设，． （1）探究：当点在边上移动时，、之间有怎样的数量关系：________； （2）若，求证：为等边三角形． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， 由知，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得，由旋转的性质得，进而根据角的和差关系即可求解； 由平行线的性质得，由知，即得，进而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵绕着点顺时针旋转至的位置， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）如图，在格点上找一个点，使得以为顶点的四边形是平行四边形； （2）如图，点是边上一点，请画出，并在边上画点，使得平分的面积； （3）如图，点为与网格线的交点，请画出线段，使得． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】取格点，画四边形，由网格特点可知四边形为平行四边形； 取格点，画四边形，由网格特点可知四边形为平行四边形，连接对角线相交于点，过点和点画直线，交于点，利用平行四边形和全等三角形的性质易证明四边形的面积等于四边形的面积，即平分的面积； 取格点，画四边形，由网格特点可知四边形为平行四边形，再利用全等三角形的性质可推出，易推出四边形为平行四边形，即得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践：随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车（电车）逐渐受到人们的青睐．小聪家计划购买新车，正在考虑购买油车还是电车．小聪通过市场调查，获取了以下信息： 信息一：燃油车A的油箱容积为50升，油价：元/升，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）为a千米，每千米行驶费用：元； 信息二：新能源车B同样行驶a千米时，需要耗费电池的电量为100千瓦时，电价为元/千瓦时，每千米行驶费用：①________元； 信息三：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： （1）根据信息二，用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用①是________元； （2）分别求出这两款车的每千米行驶费用的具体数值； （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为2890元和5860元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？请你帮小聪给出购车建议．（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）； （2）燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元； （3）当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低，建议：若每年行驶里程大于选择买新能源车，小于选择买燃油车，等于两款车均可选择． 【解析】 【分析】（1）先根据总费用除以总里程得到新能源车每千米行驶费用的代数式； （2）两车每千米费用的差列分式方程求解得到a，进而得到两车每千米费用的具体值； （3）设每年行驶里程，根据新能源车年费用更低列不等式求解，根据结果给出购车建议． 【小问1详解】 解：新能源车行驶a千米的总费用为（元）， 因此每千米行驶费用为元． 【小问2详解】 解：根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 燃油车每千米行驶费用：（元）， 新能源车每千米行驶费用：（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问3详解】 解：设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低；若每年行驶里程大于，建议购买新能源车；若每年行驶里程小于，建议购买燃油车；若每年行驶里程为，两款车年费用相同，均可选择． 23. 综合探究 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． （1）【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点与点重合时，连接，探究与的位置关系，并说明理由； （3）【应用】如图③，若，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为15，，求线段的长． 【答案】（1）证明：由折叠的性质可得，，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：当点与点重合时，，理由如下： 由折叠性质可得，，， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ， 又， ，即， ， ， 根据三角形内角和定理，可得， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，再根据平行四边形的性质可得，得到，从而得到，结合即可得证； （2）结合折叠的性质和平行四边形的性质可推得，，，根据等边对等角得到，最后根据三角形的内角和即可解答； （3）延长交于点，根据折叠的性质可推得是等腰直角三角形，再由平行四边形的性质可推得是等腰直角三角形，利用求出的长，进而求出，最后根据勾股定理即可求出线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，延长交于点， 由折叠的性质可得，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 平行四边形的面积为15， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $