精品解析：山东省威海市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据终边相同的角的表示方法找到在内与其终边相同的角，然后可判断所给角的终边所在的位置． 详解：由题意得， ∴的终边和角的终边相同， ∴是第四象限角． 故选D． 点睛：所有与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝，k∈Z；在确定α角所在象限时，有时需要对整数k的奇、偶情况进行讨论． 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角正弦函数的定义即可求解. 【详解】由题意有， 所以. 故选：A. 3. 已知，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由且，所以， 所以，所以， 故选：B. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用两角差点余弦公式先求，再根据两角和的余弦公式即可求解. 【详解】由，又，所以， 所以， 故选：A. 5. 已知曲线，，则（ ） A. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A 6. 一个圆台上、下底面的半径分别为1，2，母线所在直线与轴的夹角为45°，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出圆台母线长，结合圆台侧面积公式可得结果. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则， 由题意得，，所以该圆台的侧面积， 故选：C. 7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式得，又即可求，进而得. 【详解】由有，由正弦定理有， 又， 所以，又为的内角，所以，即， 又由，所以， 又，所以，所以. 故选：C. 8. 已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ） A. B. 12 C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】若是的中点，根据已知得，则，结合向量数量积的几何意义求数量积. 【详解】设是的中点，由，则， 所以，又， 则. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为非零向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为锐角 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A利用向量数量积的运算律即可判断，对于B根据共线向量定理即可判断，对于C当时，即可判断，对于D利用夹角公式即可判断. 【详解】对于A：由得 ，所以，故A错误； 对于B：由于为非零向量，由可知不等于1，故，所以，故B正确； 对于C：当时，，但不是锐角，故C错误； 对于D：因为，所以，所以或，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 当时，曲线与的交点个数为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用代入法验证对称轴和对称中心判断A、C，整体法判断函数的区间单调性判断B；根据正弦型函数的区间单调性、值域确定曲线交点个数判断D. 【详解】A：由，则的图象关于直线对称，对； B：由题设，结合正弦函数性质知单调递增，对； C：由，则的图象关于直线对称，故不是对称中心，错； D：由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且在、、上对应值域依次为、、， 由题设，令， 则在、、上单调递增，对应值域依次为、、， 在、上单调递减，对应值域均为， 所以在、、上单调递增，对应值域依次为、、， 在、上单调递减，对应值域均为， 所以与分别在、、、上各有一个交点，即共有4个交点，对. 故选：ABD 11. 在正三棱柱中，，P，Q分别为棱，上的动点，则（ ） A. 的周长为定值 B. 三棱锥B-APQ的体积为定值 C. 若，则 D. 若平面，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设，计算即可判断；对于B，由即可判断；对于C，取的中点，连接，过作交于点，连接，证明平面，即可判断；对于D，由线面平行的性质定理得，进而即可判断. 【详解】对于A：由点为上的动点，设， 所以，， 所以不为定值，故A错误； 对于B：， 因为平面，所以点到平面的距离为， 所以，故B正确； 对于C：取的中点，连接，过作交于点，连接， 设，所以，因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 正三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为，所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以，故C正确； 对于D：连接交于点，连接，由平面， 且平面平面，平面， 所以，又为中点， 所以为中点，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算先求，利用共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有， 因为，所以， 故答案为：2. 13. 函数的部分图象如图所示，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像先求的解析式，再求即可. 【详解】由图可知，，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为，由题意先求，利用正弦定理求，利用勾股定理求，进而得，利用余弦定理求，最后利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为， 所以，又，， 由正弦定理有， 过作平面，则，所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 即，化简整理有，解得， 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）当时，求的最值． 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的单调性可得出函数的单调递减区间； （2）设，由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为．- 【小问2详解】 设，则，因为，所以， 所以，所以的最小值为，最大值为. 16. 如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，二面角的大小为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出结论； （3）由二面角的定义可知为二面角的平面角，则，利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，分析出为的中点，即可得出的长. 【小问1详解】 因为、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，为的中点，所以， 因为，，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【小问3详解】 因为，，所以为二面角的平面角，则， 由题意知，，， 在中，由余弦定理得， 所以，可得， 在直角中，， 又因为，，，所以，所以， 即，因为为的中点，所以． 17. 如图，在五面体ABCDEF中，平面平面，，，，，． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用线面平行判断定理得平面，再利用线面平行的性质定理即可得证； （2）由，则为直线与所成的角或补角，再证平面，则为直线与平面所成的角，即可计算，最后在中计算即可. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 又因平面，平面平面， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以为直线与所成的角或其补角， 因为，，所以为平行四边形， 所以， 因为平面平面，平面平面，，平面, 所以平面，则平面， 连接，所以为直线与平面所成的角， 则，可得， 因，所以， 因为，，所以， 可得， 所以直线与所成角的余弦值为． 18. 在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． （1）用，表示，； （2）若，求； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的加减法即可求解； （2）由得，利用平面向量数量积的运算律即可求解； （3）设，，又，利用数量积的定义得，利用二倍角公式化简得，令，利用二次函数即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， ； 【小问2详解】 若，则， 所以， 可得， 即，所以． 【小问3详解】 设，， 因， 所以 ， 令，则，， 因为，， 可得， 所以的取值范围是． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是内一点，且，，，E，F，G为垂足，记，，． （1）若，，，，AP的延长线交BC于点D，求AD； （2）若，，，求及PB； （3）证明：，当且仅当且时，等号成立． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，得为角的角平分线，由即可求解； （2）由，利用正弦定理得，利用三角恒等变换得，利用二倍角的余弦公式得，进而得，在中，利用余弦定理解得，进而求得； （3）先证，即，同理，，最后利用基本不等式即可得证. 【小问1详解】 因为，所以为角的角平分线， 因为，所以， 因为， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 因为，所以， 可得， 即， 即，因为， 所以， 可得，所以， 在中，， 所以； 【小问3详解】 因为 ， 所以， 当且仅当时，等号成立，- 同理，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当且时，等号成立．- 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线，，则（ ） A. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B. 把上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 6. 一个圆台上、下底面的半径分别为1，2，母线所在直线与轴的夹角为45°，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（ ） A. B. C. D. 8. 已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ） A. B. 12 C. D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为非零向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为锐角 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 当时，曲线与的交点个数为4 11. 在正三棱柱中，，P，Q分别为棱，上的动点，则（ ） A. 的周长为定值 B. 三棱锥B-APQ的体积为定值 C 若，则 D. 若平面，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则_______． 13. 函数的部分图象如图所示，则_________． 14. 已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）当时，求的最值． 16. 如图，在三棱锥中，侧面是边长为等边三角形，，、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，二面角的大小为，求． 17. 如图，在五面体ABCDEF中，平面平面，，，，，． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求直线与所成角的余弦值． 18. 在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． （1）用，表示，； （2）若，求； （3）若，求的取值范围． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是内一点，且，，，E，F，G为垂足，记，，． （1）若，，，，AP延长线交BC于点D，求AD； （2）若，，，求及PB； （3）证明：，当且仅当且时，等号成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $