第3章 实数 单元能力评价 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学实数单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层次命题，覆盖实数概念、运算及应用，适配单元复习，培养抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数识别、平方根计算等|A系列纸张长边关系题体现数学与生活联系，新定义运算题发展创新意识| |填空题|6/18|算术平方根、取整函数等|绝对值最小值题培养数学思维，球半径计算体现模型意识| |解答题|8/72|表格数据分析、立方根速算等|华罗庚速算故事渗透文化传承，网格正方形题发展几何直观，裁剪方案设计强化应用意识|

第3章 实数 能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.下列实数中的无理数是( ) A. B.3.14 C. 2.若 =2，则a的值为( ) A.－4 B.4 C.2 D. 3.在0，，1， 这四个数中，最小的是( ) A.0 B. C.1 D. 4.如图，在数轴上表示数－的点可能是( ) A.E B.F C.P D.Q 5.下列各式中，正确的是( ) A.=±3 B.=± C.=－3 D.±=±9 6.下列说法正确的是( ) A.9是81的算术平方根，即±=9 B.5是(－5)2的算术平方根，即 =5 C.±6是36的平方根，即 =±6 D.－2是4的负的平方根，即=－2 7.已知一个正方体的表面积为12 dm2，则这个正方体的棱长为( ) A.1 dm B. dm C. dm D. dm 8.素材一：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根。根据这个定义，是a的一个平方根，因此()2=a。素材二：我们见到的长方形纸有不同的幅面大小，比如报纸大小的A2纸， 试卷大小的A3纸，练习册大小的A4纸，生字本大小的A5纸，字典大小的A6纸。问题：已知A2纸的长边是A3纸的长边的倍，A3纸的长边是A4纸的长边的倍……以此类推，A2纸的长边是A6纸的长边的( ) A.2倍 B.2×倍 C.3倍 D.4倍 9.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b=(a＋b≥0)，如：3*2=，那么15*(6*3)=( ) A. B.3 C. D.1 10.如图，画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上的点A1处，记点A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记点A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A8B8的长为( ) A.－1 B.＋1 D.－ 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)4的算术平方根是 ；27的立方根是 。  12.(3分)用[x]表示不大于x的最大整数，如[2.1]=2，[－4.5]=－5，则[]－5的值是 。  13.(3分)如果一个正数的立方根等于它的算术平方根，那么这个数为 。  14.(3分)要生产一种体积为36π立方分米的球形容器，这种球形容器的半径是 分米(球的体积公式为V=πR3，其中R是球的半径)。  15.(3分)已知实数a，b满足 |a＋－7|＋(b＋3－)2=0，则a＋b= 。  16.(3分)已知x是整数，当|x－|取最小值时，x的值是 。  三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)计算： (1)(4分)|－1|＋； (2)(4分)－12 027＋－|－2|。 18.(8分)已知下列各数，回答问题： －，0， ，π，－， 。 (1)(4分)在如图所示的数轴上表示上述各数中的非负数(标在数轴上方，无理数标出大致位置)，并把它们用“＜”连接。 (2)(4分)这几个数中介于－2与－1之间的数有 个。  19.(8分)已知a是121的算术平方根，(b－1)3=－64。求： (1)(4分)a，b的值。 (2)(4分)的平方根。 20.(8分)如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9。 (1)(6分)小正方形的边长为 ，它在 和 这两个连续整数之间。  (2)(2分)请求出图中阴影部分的面积。(结果保留根号) 21.(8分)根据表格回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 x2 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 121 (1)(2分)112.36的算术平方根是 ，118.81的平方根是 。  (2)(3分)若介于10.1与10.3之间，求满足条件的正整数a。 (3)(3分)物体自由下落的时间t(s)与下落高度h(m)之间的关系是t2=。现有一个物体从530 m高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间(结果精确到0.1 s)？ 22.(10分)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32 768，它是一个整数的立方，求它的立方根。华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘。你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗？请按照下面的方法试一试。 (1)(6分)①(2分)由103=1 000，1003=1 000 000，因为1 000＜32 768＜1 000 000，所以可以确定是 位数。  ②(2分)由32 768的个位上的数是8，可以确定的个位上的数是 ，划去32 768后面的三位数768得到32，因为33=27，43=64，可以确定的十位上的数是 。  ③(2分)所以= 。  (2)(4分)已知13 824是一个整数的立方，请仿照上述方法计算。 23.(10分)木工李师傅现有一块面积为144 m2的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为120 m2的长方形装饰材料。 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为120 m2的长方形装饰材料，且其长、宽之比为3∶2。 李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请说明如何裁剪；若不可行，请说明理由(参考数据：≈4.47)。 24.(12分)同学们通过学习教材中的内容，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度与小正方形的边长相同)，将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，通过探究回答以下问题： (1)(4分)图1用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形，则大正方形的边长为 dm，图2中点M表示的数为 。  (2)(5分)小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题： 如图3，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1。 ①(3分)求图3中正方形ABCD的面积和边长。 ②(2分)如图4，若点A在数轴上表示的数是－1，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧，与数轴的正半轴相交于点E，则点E所表示的数是 。  (3)(3分)请在如图5所示的网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在小方格的顶点上(每个网格小正方形的边长为1个单位长度)。 图1　 图2　 图3 图4　　 图5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数 能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.下列实数中的无理数是(　C　) A. B.3.14 C. 2.若 =2，则a的值为(　B　) A.－4 B.4 C.2 D. 3.在0，，1， 这四个数中，最小的是(　A　) A.0 B. C.1 D. 4.如图，在数轴上表示数－的点可能是(　B　) A.E B.F C.P D.Q 5.下列各式中，正确的是(　D　) A.=±3 B.=± C.=－3 D.±=±9 6.下列说法正确的是(　B　) A.9是81的算术平方根，即±=9 B.5是(－5)2的算术平方根，即 =5 C.±6是36的平方根，即 =±6 D.－2是4的负的平方根，即=－2 7.已知一个正方体的表面积为12 dm2，则这个正方体的棱长为(　B　) A.1 dm B. dm C. dm D. dm 8.素材一：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根。根据这个定义，是a的一个平方根，因此()2=a。素材二：我们见到的长方形纸有不同的幅面大小，比如报纸大小的A2纸， 试卷大小的A3纸，练习册大小的A4纸，生字本大小的A5纸，字典大小的A6纸。问题：已知A2纸的长边是A3纸的长边的倍，A3纸的长边是A4纸的长边的倍……以此类推，A2纸的长边是A6纸的长边的(　D　) A.2倍 B.2×倍 C.3倍 D.4倍 【解析】 因为A2纸的长边是A3纸的长边的倍，A3纸的长边是A4纸的长边的倍，所以A2纸的长边是A4纸的长边的×=()2=2倍，同理，A4纸的长边是A6纸的长边的2倍，所以A2纸的长边是A6纸的长边的4倍。 9.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b=(a＋b≥0)，如：3*2=，那么15*(6*3)=(　A　) A. B.3 C. D.1 10.如图，画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上的点A1处，记点A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记点A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A8B8的长为(　A　) A.－1 B.＋1 D.－ 【解析】 由题意知点A1表示的数是， 所以点B1表示的数是2，所以A1B1=2－， 则点A2表示的数是2＋2－=4－。 因为2＜4－＜3，所以点B2表示的数为3，所以A2B2=－1。 同理可得A3B3=2－，A4B4=－1，…，A7B7=2－；A8B8=－1。 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)4的算术平方根是　2　；27的立方根是　3　。  12.(3分)用[x]表示不大于x的最大整数，如[2.1]=2，[－4.5]=－5，则[]－5的值是　－2　。  【解析】 因为3＜＜4， 所以[]=3，所以[]－5=3－5=－2。 13.(3分)如果一个正数的立方根等于它的算术平方根，那么这个数为　1　。  14.(3分)要生产一种体积为36π立方分米的球形容器，这种球形容器的半径是　3　分米(球的体积公式为V=πR3，其中R是球的半径)。  【解析】 由题意，得R3=V÷=36π÷=27(立方分米)， 所以R==3(分米)。 15.(3分)已知实数a，b满足 |a＋－7|＋(b＋3－)2=0，则a＋b=　4　。  【解析】 由题意，得a=7－，b=－3，所以a＋b=7－－3=4。 16.(3分)已知x是整数，当|x－|取最小值时，x的值是　5　。  【解析】 因为， 所以5＜＜6。 因为5.52=30.25， 所以5.5＞， 所以5＜＜5.5， 所以与最接近的整数是5， 所以当|x－|取最小值时，整数x的值是5。 三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)计算： (1)(4分)|－1|＋； (2)(4分)－12 027＋－|－2|。 解：(1)原式=1＋3－4=0。 (2)原式=－1＋1＋(－2)－(2－)=－1＋1－2－2＋－4。 18.(8分)已知下列各数，回答问题： －，0， ，π，－， 。 (1)(4分)在如图所示的数轴上表示上述各数中的非负数(标在数轴上方，无理数标出大致位置)，并把它们用“＜”连接。 (2)(4分)这几个数中介于－2与－1之间的数有　2　个。  解：(1)=0.5，－=－1， 属于非负数的有0，，π，， 表示在数轴上如答图所示。 第18题答图 所以0＜＜π。 (2)介于－2与－1之间的数有－，－，共2个。 19.(8分)已知a是121的算术平方根，(b－1)3=－64。求： (1)(4分)a，b的值。 (2)(4分)的平方根。 解：(1)因为a是121的算术平方根， 所以a==11。 因为(b－1)3=－64， 所以b－1=－4， 所以b=－3。 (2)因为a=11，b=－3， 所以2(a＋b)=2×(11－3)=2×8=16， 所以=4。 因为4的平方根是±2， 所以的平方根是±2。 20.(8分)如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9。 (1)(6分)小正方形的边长为 　，它在　2　和　3　这两个连续整数之间。  (2)(2分)请求出图中阴影部分的面积。(结果保留根号) 解：(1)因为小正方形的面积为6， 所以小正方形的边长为。 因为4＜6＜9， 所以2＜＜3， 所以它在2和3这两个连续整数之间。 (2)阴影部分的面积为×(3－)=3－6。 21.(8分)根据表格回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 x2 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 121 (1)(2分)112.36的算术平方根是　10.6　，118.81的平方根是　±10.9　。  (2)(3分)若介于10.1与10.3之间，求满足条件的正整数a。 (3)(3分)物体自由下落的时间t(s)与下落高度h(m)之间的关系是t2=。现有一个物体从530 m高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间(结果精确到0.1 s)？ 解：(2)若介于10.1与10.3之间，则a介于102.01与106.09之间， 满足条件的正整数a的值有103，104，105，106。 (3)当h=530 m时，t2=≈108.16，且t＞0，所以结合表格可知t=10.4 s。 22.(10分)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32 768，它是一个整数的立方，求它的立方根。华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘。你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗？请按照下面的方法试一试。 (1)(6分)①(2分)由103=1 000，1003=1 000 000，因为1 000＜32 768＜1 000 000，所以可以确定是　两　位数。  ②(2分)由32 768的个位上的数是8，可以确定的个位上的数是　2　，划去32 768后面的三位数768得到32，因为33=27，43=64，可以确定的十位上的数是　3　。  ③(2分)所以=　32　。  (2)(4分)已知13 824是一个整数的立方，请仿照上述方法计算。 解：(2)由103=1 000，1003=1 000 000， 1 000＜13 824＜1 000 000， 所以10＜＜100， 所以是两位数。 因为只有个位数是4的数的立方个位数是4， 所以的个位上的数是4。 划去13 824后面的三位数824得到13。 因为23=8，33=27，而8＜13＜27， 所以20＜＜30， 所以=24。 23.(10分)木工李师傅现有一块面积为144 m2的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为120 m2的长方形装饰材料。 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为120 m2的长方形装饰材料，且其长、宽之比为3∶2。 李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请说明如何裁剪；若不可行，请说明理由(参考数据：≈4.47)。 解：方案一可行。 因为正方形胶合板的面积为144 m2， 所以正方形胶合板的边长为=12(m)。 如答图所示，沿着EF裁剪。 因为BC=EF=12 m，所以只要使BE=CF=10(m)就满足条件(方案一裁剪方法不唯一)。 第23题答图 方案二不可行。理由如下： 设所裁长方形装饰材料的长为3x(m)、宽为2x(m)，则3x·2x=120，所以x=。 因为≈4.47，所以所裁剪长方形的长为3x≈13.41 m。 又因为13.41＞12，所以方案二不可行。 24.(12分)同学们通过学习教材中的内容，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度与小正方形的边长相同)，将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，通过探究回答以下问题： (1)(4分)图1用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形，则大正方形的边长为 　dm，图2中点M表示的数为　－　。  (2)(5分)小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题： 如图3，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1。 ①(3分)求图3中正方形ABCD的面积和边长。 ②(2分)如图4，若点A在数轴上表示的数是－1，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧，与数轴的正半轴相交于点E，则点E所表示的数是　－1＋　。  (3)(3分)请在如图5所示的网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在小方格的顶点上(每个网格小正方形的边长为1个单位长度)。 图1　 图2　 图3 图4　　 图5 解：(1)图1中大正方形的边长为， 所以图2中点M表示的数为－。 (2)①正方形ABCD的面积是4×4－4××1×3=10， 故边长为。 ②因为正方形ABCD的边长为， 所以AE=AB=， 所以点E表示的数比－1大，即点E表示的数为－1＋。 (3)如答图所示。 第24题答图 学科网（北京）股份有限公司 $