2027 届新高考一轮复习特训卷十

绝密大启用前 试卷类型：A 2027届新高考一轮复习特训卷 数学 数学（十) 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定位置。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.写在本试卷上无效；考试结束后，请按要求交回答题卡。 题号 三 四 总分 等级 分值 40 18 15 77 150 得分 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.某校统计学生每日课外运动时间，得到频率分布直方图，分组为[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10， 组距均为2，各组的“频率/组距”依次为0.04,0.16,0.18,0.08,0.04。估计该校学生每日课 外运动时间不低于4小时的概率为 A.0.40 B.0.50 C.0.60 D.0.70 2.某疾病在人群中的患病率为2%。某检测方法对患者检测呈阳性的概率为90%，对非患者 误报阳性的概率为10%。随机抽取一人检测，已知检测结果为阳性，则此人患病的概率为 A.29 3 B. 9 9 品 C. 50 D.5 3.某产品的投入额x与收益y满足经验回归方程=1.6x。若计划投入额为7.5，则预测收 益为 A.10.5 B.11.2 C.12 D.12.5 4.某志愿服务小组有4名男生和3名女生，现从中随机选出3人参加活动，则恰有2名女 生被选中的概率为 6 9 C. 12 D. 18 A. B. 35 35 35 35 5.一个粒子在正四面体的4个顶点间随机跳动。每一步都从当前顶点等概率跳到其余3个 顶点之一。若粒子从顶点A出发，则经过2步后回到顶点A的概率为 2 B. 9 C. 4 3 D.9 6.某选手进行3次独立射击，每次命中的概率为p。记恰好命中1次的概率为f(p)=3(1 p)2,0<p<1。则f(p)取得最大值时，p= 1 B.3 C.2 1 A. D. 3 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（十）第1页（共5页）】 教研测评 轮复习卷 7.某系统有“正常”和“异常”两种状态。若本次正常，则下一次正常的概率为0.7；若本次 异常，则下一次正常的概率为0.2。已知第1次系统正常的概率为1。则第3次系统正常的 概率为 A.0.49 B.0.50 C.0.55 D.0.70 8.为研究“学习方法”与“数学成绩是否优秀”是否有关，得到如下2×2列联表： 数学成绩优秀数学成绩不优秀 方法甲 18 12 方法乙 12 18 若 n(ad be)2 X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 则该列联表对应的X2值为 A.1.2 B.2.4 C.3.6 D.4.8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.某校学生每日课外运动时间的频率分布直方图分组为「0,2)，2,4)，4,6)，[6,8)，「8,10]，组距 均为2，各组“频率/组距”依次为0.04,0.16,0.18,0.08,0.04。下列说法正确的是 A.每组频率等于该组“频率/组距”乘以组距 B. 估计该校学生每日课外运动时间的平均数为4.8小时 C.估计该校学生每日课外运动时间小于4小时的概率为0.40 D.若随机抽取4名学生，记其中每日课外运动时间不低于4小时的人数为X,则E(X)= 2.4 10.关于概率统计中的模型与判断，下列说法正确的是 A.在独立性检验中，X的值越大，样本数据偏离“无关假设”的程度通常越明显 B.若回归分析显示两个变量有较强相关性，则一定能说明二者存在因果关系 C.若随机变量X心B(n,p),则E(X)=np D.在同一组数据上比较两个拟合模型时，残差平方和较小的模型通常拟合效果更好 11.正八面体有上顶点S、下顶点T,以及中间四个顶点组成的“赤道层”。一个粒子从S出 发，每一步都沿正八面体的一条棱等概率移动到相邻顶点。设第n步后粒子所在位置为X, 且Xo=S。下列说法正确的是 A.P(X1在赤道层)=1 nPX=S到- C.P(X2在赤道层)=2 1 D.P(X3=T)=6 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某游戏每局得1分的概率为了得2分的概率为写各局相互独立。反复进行该游戏，设 累计得分恰为n分的概率为Pm。则p3= 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（十)第2页（共5页)】 教研测评 13.某设备可能来自甲、乙两条生产线。来自甲线的概率为03，来自乙线的概率为0.7。若 来自甲线，则检测合格的概率为0.8；若来自乙线，则检测合格的概率为0.1。随机取一件设 备检测，已知检测合格，则它来自甲线的概率为 14.在棱长为2的正方体内部随机取一点，若该点到正方体中心的距离不超过1，则该点落 入正方体内接球中的概率为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 某研究小组发现某项指标可以辅助判断某种疾病。规定：若指标大于临界值℃，则判定为阳 性；若指标小于或等于c,则判定为阴性。将患病者判定为阴性的概率称为漏诊率p(c),将 未患病者判定为阳性的概率称为误诊率q(c)。 经统计，患病者与未患病者该指标在区间[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120]上的“频率/组 距”如下表，且假设数据在组内均匀分布。 指标区间[80,90)[90,100)[100,110)[110,120] 患病者 0.005 0.015 0.035 0.045 未患病者 0.045 0.035 0.015 0.005 (1)若漏诊率p(c)=0.20,求临界值c与误诊率q(c); (2)设f(c)=p(c)+q(c),90≤c≤110。求f(c)的解析式，并求f(c的最小值： (3)若认为“漏诊”的代价是“误诊”的3倍，设风险函数g(c)=3p(c)+q(c),90≤c≤110。 求使g(c)最小的临界值c,并说明这与第（2)问中临界值的差异。 16.(本小题满分15分 某企业研究研发投入x与年收益y的关系，得到如下统计数据： x12345 y4571014 已知元=3，可=8,1(c-)(-列=25，∑1(-2=10。对于经验回归方程 y=bx+a,有 6=∑--刃 a=可-bm. ∑1(-)2 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)现另有一个模型=x2一2x+5。比较两个模型在上述5个样本点上的残差平方和，判 断哪个模型拟合效果更好； (3)规定若实际收益与投入额之比不低于2.5，则该投入方案记2分；否则记0分。从表中 5个投入方案中随机选取3个，记总得分为X。求X的分布列和数学期望。 17.（本小题满分15分) 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（十)第3页（共5页）】 教研测评 为研究“解立体几何题时采用向量法”与“空间角距离题是否答对”之间是否有关，某校随 机调查150名学生，得到如下2×2列联表： 答对未答对 主要采用向量法 60 20 主要采用几何法 30 40 参考公式： n(ad -be)2 X=a+Dc+da+cb+④ 参考数据： a0.0500.0100.001 xa3.8416.635 10.828 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，判断能否认为“解题方法”与“空间角距离题 是否答对”有关； (2)某训练营设置四项空间能力训练：识图、建系、求法向量、计算距离。一名学生四项训 练分别达标的概率为0.8,0.7,0.6,0.5，且四项训练是否达标相互独立。若至少三项达 标，则称为“空间能力优秀”。求一名学生被评为“空间能力优秀”的概率； (3)若有20名学生独立参加该训练营，且每名学生被评为“空间能力优秀”的概率均等于 第(2)问的结果，记被评为“空间能力优秀”的人数为Y。求E(),并判断Y=k的 游 概率最大时飞的值。 18.（本小题满分17分) 正八面体有6个顶点，分别为上顶点S、下顶点T,以 及中间四个顶点组成的赤道层。一个粒子从S出发，每 一步都沿正八面体的一条棱等概率移动到相邻顶点。记 第n步后粒子所在位置为Xn,且Xo=S。设 an=P(Xn=S),bn=P(Xn=T),cn=P(Xn在赤道层) (1)求a1,b1,c1和2，b2,c2; (2)利用全概率公式，写出an+1,bn+1,cn+1与an,bn,Cn 之间的递推关系； (3)证明：当n≥1时，an=bn,并求an的通项公式； (4)求前n步中粒子位于上顶点S的次数的数学期望。 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（十)第4页（共5页）】 教研测评 19.（本小题满分17分) 某工厂有甲、乙两条生产线生产球形零件。零件设计半径为1。设实际半径为R=1+e,其 中e为半径误差。 已知随机取一件零件，来自甲线的概率为0.4，来自乙线的概率为0.6。若来自甲线，则误差 e在区间[-0.2,0.2]内均匀分布；若来自乙线，则误差e在区间[-0.5,0.5]内均匀分布。 规定：若零件体积V满足 30.93≤V≤41.13， 3 则称该零件为“几何合格”。 (1)求来自甲线的零件“几何合格”的概率，以及来自乙线的零件“几何合格”的概率； (2)随机取一件零件，求其“几何合格”的概率； (3)已知随机取出的零件“几何合格”，求它来自甲线的概率； (4)若已知某一批零件来自同一条生产线，且已检测出的第一件零件“几何合格”。在此条 件下，再独立抽取该批中的3件零件，求其中至少2件“几何合格”的概率。 新高考数学 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（十)第5页（共5页）】 教研测评 参考答案与解析 2027届新高考一轮复习特训卷·数学（十) 一、单项选择题 题号12345678 答案 C B CCC B C B 1.频率分布直方图中， 频率=组距× 频率 组距 组距为2，所以各组频率依次为 0.08,0.32,0.36,0.16,0.08 每日课外运动时间不低于4小时，对应区间为[4,6)，[6,8)，[8,10]，所以估计概率为 0.36+0.16+0.08=0.60. 故选C。 2. 设事件A为“患病”，事件B为“检测呈阳性”。由题意， P(A)=0.02, P(A=0.98, P(BA)=0.90, P(BA)=0.10. 由全概率公式， P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.02·0.90+0.98.0.10=0.116 因此 P(AB)=PAP(E4_0.0189 P(B) -0.116-581 故选B。 3.由经验回归方程=1.6x,当x=7.5时， 0=1.6×7.5=12. 故选C。 4.共有7人，其中4名男生，3名女生。从7人中选3人，共有 73 =35 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第1页】 教研测评 一轮复习卷 种选法。恰有2名女生被选中，则还需选1名男生，选法数为 =3.4=12. 所以概率为 12 35 故选C。 5. 粒子从顶点A出发，第一步一定跳到其余3个顶点之一。第二步若要回到A,则需从 第一步所在顶点跳向A。 由于正四面体任一顶点都与其余3个顶点相邻，所以第二步回到A的概率为 1 3 故选C。 6. fp)=3p(1-p)2, 0<p<1. 求导得 f'(p)=3(1-p)2+3p·2(1-p)(-1)=3(1-p)(1-3p): 当0<p<专时，f'(p)>0;当号<p<1时，f'(p)<0。所以f(p在 P=3 处取得最大值。故选B。 7.设第n次系统正常的概率为pn。由题意， pm+1=0.7pn+0.2(1-pn)=0.5pn+0.2. 已知p1=1,所以 p2=0.5·1+0.2=0.7, p3=0.5.0.7+0.2=0.55. 故选C。 8.列联表中 a=18,b=12,c=12,d=18,n=60, 计算得 ad-bc=18.18-12.12=180. 又 a+b=30,c+d=30,a+c=30,b+d=30. 所以 60.1802 X=3030-30-30=24 故选B。 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第2页】 教研测评 一轮复习卷 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ACDACD ABC 9. 频率分布直方图中， 频率 频率=组距× 组距 故A正确。 各组频率依次为 0.08,0.32,0.36,0.16,0.08. 用各组中点估计平均数，各组中点分别为1,3,5,7,9，所以平均数估计为 1.0.08+3.0.32+5.0.36+7.0.16+9.0.08=4.68, 不是4.8，B错误。 小于4小时对应区间为0,2)，2,4)，概率为 0.08+0.32=0.40 C正确。 不低于4小时的概率为 0.36+0.16+0.08=0.60. 随机抽取4名学生，若记其中每日课外运动时间不低于4小时的人数为X,则X~B(4,0.60), 因此 E(X)=4.0.60=2.4. D正确。综上，选ACD 10.A正确。在独立性检验中，X2的值越大，样本数据偏离“无关假设”的程度通常越明 显。 B错误。回归分析显示两个变量有较强相关性，并不能说明二者一定存在因果关系，相关不 等于因果。 C正确。若X心B(n,p),则 E(X)=np. D正确。在同一组数据上比较两个拟合模型时，残差平方和较小，通常说明拟合误差更小，拟 合效果更好。 综上，选ACD。 11.正八面体中，上顶点S与赤道层四个顶点相邻；下顶点T也与赤道层四个顶点相邻； 赤道层每个顶点与S,T以及赤道层两个相邻顶点相邻，共有4个相邻顶点。 A正确。粒子从S出发，第一步只能到赤道层，所以 P(X1在赤道层)=1. B正确。第一步到赤道层某顶点，第二步从该点回到S的概率为 4 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第3页】 教研测评 一轮复习卷 所以 P(X-5)- C正确。第一步到赤道层，第二步从赤道层某顶点出发，有2个相邻顶点仍在赤道层，共4 个相邻顶点，因此 21 P(X2在赤道层)=4=2 D错误。由第二步分布： PX,=S到= P(X3=T)=i P(X2在赤道层)= 第三步到T,只能从赤道层到T,且概率为。所以 PK=n- 不是。综上，选ABC。 三、填空题 题号12 13 14 答案 2024T 27 31 6 12.每局得1分的概率为号，得2分的概率为。累计得分恰为3分，有以下可能： 1+1+1 1+2, 2+1. 因此 +21 8,420 P31 3 33=27+9=27 13. 设事件A为“来自甲线”，事件G为“检测合格”。由题意， P(A=0.3, P(A=0.7, P(GA=0.8, P(GA=0.1. 由全概率公式， P(G)=0.3.0.8+0.7.0.1=0.31. 因此 P(AIG)= P(A)P(G1A)0.2424 P(G) 0.31-31 14.棱长为2的正方体体积为 V正方体=23=8. 到正方体中心的距离不超过1的点组成半径为1的球，且该球恰为正方体的内切球，其体积 为 球=专13= 4 4 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第4页】 教研测评 一轮复习卷 所以概率为 V球 V正方体 8=6 四、解答题 15.答案：c=100,q(c)=0.20;fmim=0.40;考虑漏诊代价后，最优临界值为c=90。 患病者与未患病者指标分布如下： 指标区间[80,90) 90,100)[100,110)[110,120] 患病者 0.005 0.015 0.035 0.045 未患病者 0.045 0.035 0.015 0.005 组距均为10，所以每个区间的频率为“频率/组距×10”。 (1)漏诊率p(c是患病者指标不超过c的概率。患病者在[80,90)上的频率为 0.005×10=0.05, 在[90,100)上的频率为 0.015×10=0.15. 所以患病者指标不超过100的概率为 0.05+0.15=0.20 因此 c=100. 误诊率q(c是未患病者指标大于c的概率。当c=100时， q(100)=0.015×10+0.005×10=0.20. (2)当90≤c≤100时， p(c=0.05+0.015(c-90)=0.015c-1.30, q(c=0.035(100-c+0.15+0.05=3.70-0.035c. 所以 f(c)=p(c+q(c)=2.40-0.020c. 当100≤c≤110时， p(c)=0.20+0.035(c-100)=0.035c-3.30, q(c=0.015(110-c）+0.05=1.70-0.015c 所以 f(c)=p(c)+q(c)=0.020c-1.60. 因此 2.40-0.020c,90≤c≤100， f(c)= 0.020c-1.60,100≤c≤110. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第5页】 教研测评 一轮复习卷 在[90,100]上，f(c)单调递减；在[100,110]上，f(c)单调递增。所以最小值在c=100处 取得，且 fmin=f(100)=0.40. (3)当90≤c≤100时， g(c）=3(0.015c-1.30)+(3.70-0.035c)=0.010c-0.20. 当100≤c≤110时， g(c)=3(0.035c-3.30)+(1.70-0.015c=0.090c-8.20. 因此 0.010c-0.2090≤c≤100， g(c)= 0.090c-8.20,100≤c≤110. 这两个一次函数在各自区间内均单调递增，所以g(©在整个区间[90,110]上的最小值在 c=90 处取得。 第(2)问中f(c=p(c)+q(c)是把漏诊和误诊等权看待，所以最优临界值为100；而本问中 漏诊代价更高，为减少漏诊，需要降低临界值，因此最优临界值变为90。 24 16. 答案：可=25π+0.5；线性模型拟合效果更好；E(X)=亏。 (1)由公式 6=∑2(-班-列 ∑1(x-)2 得 6 25 0=2.5. 又 a=7-bm=8-2.5.3=0.5. 因此经验回归方程为 y=2.5x+0.5 (2)对线性模型y=2.5x+0.5,当x=1,2,3,4,5时，预测值依次为 3,5.5,8,10.5,13. 残差平方和为 4-32+(6-5.52+(7-82+(10-10.5}2+14-132=7 对二次模型9=x2-2x+5,当x=1,2,3,4,5时，预测值依次为 4,5,8,13,20. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第6页】 教研测评 一轮复习卷 残差平方和为 (4-4)2+(5-5)2+(7-8)2+(10-13)2+(14-20)2=46. 因为 7 <46, 所以线性模型=2.5x+0.5拟合效果更好。 (3)计算各方案收益投入比： 4；25号<259-25 14=2.8 所以共有4个方案记2分，1个方案记0分。 从5个方案中随机选取3个，总选法数为 5 =10. 3 若X=6,则选到的3个方案全为2分方案，故 ) 2 P(X=6)= (③) 若X=4,则选到那个0分方案，并从4个2分方案中选2个，故 P(X=4)= ()) 3 (③) 5 分布列为： X 46 3 P 55 所以 E(X)=4 5+6 224 5=5 答案：火- 225 281 17. ≈16.071>10.828，可以认为有关；空间能力优秀概率为 500 ;E(Y)= 281 25 概率最大时k=11。 (1)由表可知 a=60,b=20,c=30,d=40,n=150. 计算得 ad-bc=60.40-20.30=1800. 又 a+b=80,c+d=70,a+c=90,b+d=60. 所以 X2=150.18002=25 ≈16.071 80.70.90.6014 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第7页】 教研测评 一轮复习卷 因为 16.071>10.828, 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为“解题方法”与“空间角距离题是否 答对”有关。 (2)四项训练达标概率分别为0.8,0.7,0.6,0.5。至少三项达标，包括恰好三项达标和四项全达 标。 四项全达标概率为 0.8.0.7.0.6.0.5=0.168. 恰好三项达标，分四种情况： 0.2.0.7.0.6.0.5=0.042, 0.8.0.3.0.6.0.5=0.072 0.8.0.7.0.4.0.5=0.112, 0.8.0.7.0.6.0.5=0.168. 所以恰好三项达标概率为 0.042+0.072+0.112+0.168=0.394. 因此“空间能力优秀”的概率为 281 0.394+0.168=0.562= 500 (3)由题意， Y~B 281 20,500) 所以 E(Y)=20. 281281 50025 二项分布B(n,p)中，若(n+1)p不是整数，则概率最大时 k=L(n+1)p: 这里 (m+1)p=21 2815901 500=500 =11.802 所以概率最大时 k=11. 18. 答案：a1=0,1=0,a=1,2=,2=,2=;an=吉[1-(-》-；E(N)= -1-(-)"]。 设 an=P(Xn=S),bn=P(Xn=T),cn=P(Xn在赤道层) (1)初始时Xo=S。从S出发，第一步一定到赤道层，所以 a1=0,b1=0, C1=1. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第8页】 教研测评 一轮复习卷 第二步从赤道层某顶点出发：到S的概率为，到T的概率为，仍在赤道层的概率为。 所以 1 a2=4' c2=2 (2)由正八面体的连接关系：从S出发下一步必到赤道层；从T出发下一步必到赤道层；从 赤道层出发，下一步到S的概率为，到T的概率为，仍在赤道层的概率为号。 由全概率公式得 1 1 an+1=4, bn+1=49n, Cn+1=an+bn +Cn. (3)由(1)知a1=b1=0。又由递推关系， 1 an+1=4m, 1 bn+1=4 所以当n≥1时， an =bn 由于an+bn+cn=1,且an=bn,所以 Cn 1 2an. 由an+1=cn,得 an+1= 41-2an）=42 设稳定值为L,则 解得 L-G 于是 又a1=0,所以 a后() 因此 -() (m≥1). (4)设Nn为第1步至第n步后粒子位于S的次数，则 R-2P=列=2 由(3)知 --() 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第9页】 教研测评 一轮复习卷 所以 -若-(] 即 -日-( 等比数列求和得 (-郢-（门 所以 若把初始时刻Xo=S也计入次数，则期望应在上式基础上再加1。 19.答案：P(G甲)=，P(G乙)=：P(G)=会；P(甲G)=&；第（④）问概率为器。 实际半径为R=1+e。几何合格要求 30.93≤V≤31.13 由于球体积 4 V-3TR 随R>0单调递增，所以几何合格等价于 0.9≤R≤1.1. 又R=1+e,因此几何合格等价于 -0.1≤e≤0.1. (1)若来自甲线，则e~U[-0.2,0.2。区间总长度为0.4，合格区间长度为 0.1-（-0.1)=0.2. 所以 P(G甲)= 0.21 .4=2 若来自乙线，则eU[-0.5,0.5]。区间总长度为1，合格区间长度仍为0.2，所以 pG乙)-2-5 0.2-1 (2)由题意， )=04=号 P(Z)=0.6=3 由全概率公式， P(G)=P(甲)P(G甲)+P(乙)P(G乙)： 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第10页】 教研测评 一轮复习卷 所以 rG-+专2- 8 (3)由贝叶斯思想， P(甲G)= P(甲)P(G甲) P(G) 代入得 P(甲G)= 造- 8 8 (4)由(3)可知，在已知第一件几何合格后，该批零件来自甲线的概率为复，来自乙线的概 率为。 若来自甲线，则每件几何合格概率为。再抽3件，其中至少2件合格的概率为 )()+()-+ 若来自乙线，则每件几何合格概率为。再抽3件，其中至少2件合格的概率为 )()+() =3.1.4+1=13 25‘5+125=125 由全概率公式，所求概率为 513135 39 703 8‘2+ 8‘125=16+1000 2000 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第11页】 教研测评 一轮复习卷