2026年暑假提升讲义：专题5电场强度的叠加

高中物理 高二暑期能力提升 专题5 电场强度的叠加 【方法解读】 电场强度矢量叠加的几种特殊方法 1.等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。 例如：一个点电荷+q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。 2.对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。 例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。 3.填补法 将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。 4.微元法 将带电体分成许多电荷单元，每个电荷单元看成点电荷，先根据库仑定律求出某个电荷单元产生的电场强度(一般为通式)，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。 【例1】　(2025·重庆市育才中学一诊)如图甲、乙所示，半径相同的半圆环和四分之三的圆环带有同种电荷，电荷量之比为1∶3，环上电荷分布均匀且环的粗细可忽略不计。图甲中圆心处的电场强度大小为E，图乙中圆心处的电场强度大小为(　　) A.E B.E C.E D.E 答案　A 解析　题图甲可以分成两个四分之一的圆环，在圆心产生的合电场强度为E，而这两个四分之一圆环分别产生的电场强度成90°夹角，根据平行四边形定则，单个四分之一圆环产生的电场强度为E，题图乙中圆环在圆心产生的电场强度可以等效为三个四分之一的圆环产生的合电场强度，而关于圆心对称的两个四分之一圆环在圆心的合电场强度为零，所以合电场强度等于剩余四分之一圆环在圆心产生的电场强度，但题图乙中圆环带电荷量线密度是题图甲的2倍，故题图乙中四分之三的圆环在圆心产生的电场强度为E。故选A。 【例2】如图所示，真空中电荷量为-q(q>0)的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，静电力常量为k，下列说法中正确的是(　　) A.薄板带负电，电子在A点所具有的电势能一定为零 B.带电薄板产生的电场在图中B点的电场强度为 C.图中B点的电场强度大小为 D.图中B点的电场强度方向沿着AB连线指向A 答案　C 解析　依题意，题图中A点的合电场强度为0，带负电的点电荷在A点的电场强度方向沿AB连线指向B，则薄板在A点的电场强度方向沿AB连线指向A，说明其带正电。电势能是一个相对物理量，电子在A点所具有的电势能与零电势点的选取有关，不一定为零，故A错误；由A选项分析可知，薄板在A点的电场强度大小与点电荷在A点的电场强度大小相等，即EA==，根据对称性可知带电薄板产生的电场在题图中B点的电场强度大小为EB=EA=，方向沿AB连线指向B，故B错误；综上所述，两带电体在题图中B点的电场强度方向均沿AB连线指向B，由电场强度的叠加，可知E合B=+=，方向沿着AB连线指向B，故C正确，D错误。 【例3】　(2025·山西大同市三模)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处在球外空间产生的电场。如图所示，在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷，AB为通过半球顶点与球心O的直线，且AO=BO=2r。若A、B点的电场强度大小分别为E1和E2，静电力常量为k，则半球面上的电荷量为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设半球面上的电荷量为q，补全右半球面，右半球面上也均匀的带上电荷量为q的正电荷，则完整带电球面可以等效为在球心O处的电荷量为2q的点电荷，根据题意，该点电荷在A点产生的电场强度为k=E1+E2，解得q=，故选B。 【例4】　如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q，圆心O在x轴的坐标原点处，圆环的边缘A点与x轴上P点的连线与x轴的夹角为37°，静电力常量为k，取sin 37°=0.6、cos 37°=0.8，则整个圆环产生的电场在P点的电场强度大小为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　把圆环分为n等份(n足够大)，每一份的电荷量为Δq，则有n=，每小份可以看成点电荷，由点电荷的电场强度公式可知每小份产生的电场在P点的电场强度大小均为E0=，由几何关系sin 37°=，可得E0=。在P点，E0在垂直x轴方向的分量大小为Ey，根据对称性，n个Ey的矢量和为0，E0在x轴方向的分量大小为Ex=E0cos 37°，n个Ex的矢量和就是圆环产生的电场在P点的电场强度，即E=nEx，解得E=，A、C、D错误，B正确。 【针对性训练】 1.(2025·江苏省二模)三根相同长度的绝缘均匀带电棒组成等边三角形，带电荷量分别为-Q、+Q和+，其中一根带电荷量为+Q的带电棒在三角形中心O点产生的电场强度为E，则O点的合电场强度为(　　) A. B.E C.E D. 答案　A 解析　+Q和-Q在O点的合电场强度为E1=2Ecos 30°=E，三个棒在O点的合电场强度为E合==E，故选A。 2.半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，圆环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷。如图所示，在A、B两处分别取走弧长为Δx(Δx≪R)的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，C1、C2分别是A、B间两段圆弧的中点，已知∠AOB=60°，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的电场强度的大小和方向为(　　) A.，由O指向C2 B.，由O指向C1 C.，由O指向C2 D.，由O指向C1 答案　A 解析　假设把取走的电荷放置到原位置，A、B两处的电荷分别在O点产生的电场强度大小均为E1=，A、B两处的电荷在O点产生的合电场强度大小为E2=2E1cos 30°，方向由O指向C1，此时整个圆环在O点的合电场强度为0，则圆环上剩余的电荷在O点产生的合电场强度的大小为E3=E2=，方向由O指向C2，故选A。 3.(2024·河北卷·7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　) A. B.(6+) C.(3+1) D.(3+) 答案　D 解析　B点和C点的点电荷在M的合电场强度为E=2cos 60°=，方向向上，由M点的电场强度为零，故带电细杆在M点的电场强度EM=E=，方向向下，由对称性可知带电细杆在A点的电场强度为EA=EM=，方向向上，因此A点合电场强度为E合=EA+2cos 30°=，故选D。 4.(2025·山东省模拟)如图所示，半径为R的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷，O点为圆环的圆心，M点位于O点正上方R处。若从圆环上的A点处取走长为ΔL的小圆弧，剩余电荷分布不变，则剩余电荷在M点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由几何关系可知，AM与OM的夹角θ满足tan θ=，解得θ=30°，设整个圆环的电荷量为Q，每一段长为ΔL小圆弧的电荷量为Δq，由于圆环上的电荷均匀分布，可知Δq=，每一段长为ΔL小圆弧在M处产生的电场强度沿OM方向的分量为E=cos 30°=·，被取走的A处弧长为ΔL的小圆弧在M处产生的电场强度沿垂直OM方向的分量为E1=sin 30°，故可知当从圆环上的A点处取走长为ΔL的小圆弧，剩余电荷场强沿OM方向的分量为E2=-·，沿垂直OM方向的分量与E1等大反向，故剩余电荷在M点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为tan α== ，故选C。 5. （2026黑龙江重点高中联考）在电场强度大小的匀强电场中，以O点为圆心，r为半径作一圆，a、b、c、d为圆周上四点，如图所示。在O点固定一带电荷量为的点电荷，则a、b、c、d各点的合电场强度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由点电荷的电场中某点的电场强度公式可得，的点电荷在a、b、c、d四点处的场强大小均为 方向分别由a、b、c、d四点沿半径指向O点，且大小。在a、c两点，匀强电场E方向与点电荷在a、c两点产生的电场强度方向垂直，由电场强度合成定则，可得a、c两点合电场强度大小均为 在b点，匀强电场E的方向与点电荷的电场方向相同，该点的合电场强度大小为 在d点，匀强电场E的方向与点电荷的电场方向相反，该点的合电场强度大小为 ABD错误，C正确。 6. （2026河南名校联考）如图所示，ABC为正三角形，AB和AC边上放有带等量异种电荷的绝缘细棒，O为BC边中点，D为BC中垂线上O点右侧的一点，P为BC上的一点，选无穷远处电势为0，则下列说法正确的是（　　） A. O点和D点场强可能大小相等，方向相同 B. D点的电势一定低于P点 C. 将一正检验电荷沿直线从O点运动到D点，电势能不变 D. 将一正检验电荷沿直线从O点运动到P点，电场力做负功 【答案】C 【解析】 A．由场强的叠加和对称性可知，O点和D点场强方向相同，但D点场强要小于O点的场强，故A错误； B．由电场的分布特点可知，D点电势为0，P点电势小于0，所以D点的电势一定高于P点，故B错误； C．将一正检验电荷沿直线从O点运动到D点，电场力不做功，电势能不变，故C正确； D．将一正检验电荷沿直线从O点运动到P点，电场力做正功，故D错误 7. （2024湖南长沙高三适应性考试）如图，水平面上有一带电量为的均匀带电圆环，其圆心为，点正上方处有一点，和圆环上任一点的连线与圆环面的夹角均为。已知静电力常量为，则点场强大小为（　　） A. B. C. D. 【参考答案】D 【名师解析】根据对称性可知，均匀带电圆环在P点产生电场方向沿轴线向上，取圆环上一带电微元，带电量为，带电微元在P点产生电场沿轴线方向的分场强为 则P点场强大小为 故选D。 8. （2024安徽部分学校期末）如图所示，点电荷+Q固定在正方体的一个顶点A上，B、C为正方体的另两个顶点，已知AB连线中点电场强度大小为E，则C点的电场强度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设正方体的边长为l，根据几何关系可知 ， 根据点电荷的电场强度公式可知AB连线中点电场强度大小为 C点的电场强度大小为 解得 故选A。 9. （2024安徽六安质检）如图所示，四个电荷量分别为、、、的点电荷位于半径为的圆周上，其中、的连线与、的连线垂直，且，则圆心点的场强大小为（静电力常量为）（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 、对O点的场强大小均为 合成后大小为 方向与水平方向成45°斜向右上。同理、对O点的场强大小均为 合成后大小为 方向与水平方向成45°斜向左下。由此可知和共线反向，合成后为 又 联立，解得 故选C。 10. (2026河北石家庄联考)如图所示，真空中有A、B、C三个带正电的点电荷，它们固定在边长为的等边三角形的三个顶点上，每个点电荷的电荷量都是q，O点是三角形底边的中点，静电力常量为。下列说法正确的是（　　） A. 点电荷对A的静电力大小为 B. 点电荷对A的静电力大小为 C. 点的电场强度大小为 D. 点的电场强度大小为 【参考答案】BD 【名师解析】 由题意可得，两点电荷对A的静电力大小分别为 由三个带正电的点电荷构成等边三角形，由几何知识可得点电荷对A的静电力的合力大小为 A错误，B正确； CD．三个点电荷在点产生的电场强度方向如图所示 根据点电荷场强公式可知点电荷B和点电荷C在O点的电场强度大小相等、方向相反，二者的矢量和为零。点电荷A在O点的电场强度即为O处的电场强度，其大小为 又 联立可得产生的电场强度大小分别为 C错误，D正确。 11. （2026宁夏银川联考）如图所示，在正六边形的M、N、P三个顶点上各放一个完全相同且带正电的点电荷，X、Y、Z为正六边形的另外三个顶点，O点是六边形的中心，规定无穷远处为电势能零点，下列说法正确的是（　　） A. X、Y、Z三点的电场强度相同 B. Z点的电势高于O点电势 C. 若仅将N点的正电荷换成等量的负电荷，则X点和Z点的电势相等，比Y点电势低 D. 从Y点至O点移动正试探电荷，电场力做正功 【答案】C 【解析】．依题意，根据点电荷的场强公式 结合场强叠加原理，如图所示 可判断X、Y、Z三点的电场强度大小相等，但方向不相同，故A错误； 根据对称性及场强叠加原理，OZ连线上的合场强沿OZ方向，沿电场线方向，电势逐渐降低，则O点的电势高于Z点电势，故B错误； 点电荷电场中电势与场源电荷的电性及距离有关。点电荷M、P到X点的距离，与点电荷M、P到Z点的距离相等，即点电荷M、P在X点和Z点的电势相等；N点换成等量负电荷后，到X点和Z点的距离也相等，即点电荷N在X点和Z点的电势相等，综上可得正点电荷M、P与负点电荷N在X点和Z点的电势相等。若在O点有一正的试探电荷，将试探电荷从O点移动到X点，根据等量异种电荷电场的特点，点电荷N、P对试探电荷不做功，点电荷M对试探电荷做正功，电势能减小。同理若将试探电荷从O点移动到Y点，点电荷M、P对试探电荷不做功，点电荷N对试探电荷做负功，电势能增加，综上可知，Y点电势比X点和Z点的电势高，故C正确； 根据对称性及场强叠加原理，OY连线上的合场强沿OY方向，因此从Y点至O点移动正试探电荷，逆着电场线移动正电荷，电场力做负功，故D错误； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理 高二暑期能力提升 专题5 电场强度的叠加 【方法解读】 电场强度矢量叠加的几种特殊方法 1.等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。 例如：一个点电荷+q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。 2.对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。 例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。 3.填补法 将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。 4.微元法 将带电体分成许多电荷单元，每个电荷单元看成点电荷，先根据库仑定律求出某个电荷单元产生的电场强度(一般为通式)，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。 【例1】　(2025·重庆市育才中学一诊)如图甲、乙所示，半径相同的半圆环和四分之三的圆环带有同种电荷，电荷量之比为1∶3，环上电荷分布均匀且环的粗细可忽略不计。图甲中圆心处的电场强度大小为E，图乙中圆心处的电场强度大小为(　　) A.E B.E C.E D.E 【例2】如图所示，真空中电荷量为-q(q>0)的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，静电力常量为k，下列说法中正确的是(　　) A.薄板带负电，电子在A点所具有的电势能一定为零 B.带电薄板产生的电场在图中B点的电场强度为 C.图中B点的电场强度大小为 D.图中B点的电场强度方向沿着AB连线指向A 【例3】　(2025·山西大同市三模)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处在球外空间产生的电场。如图所示，在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷，AB为通过半球顶点与球心O的直线，且AO=BO=2r。若A、B点的电场强度大小分别为E1和E2，静电力常量为k，则半球面上的电荷量为(　　) A. B. C. D. 【例4】　如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q，圆心O在x轴的坐标原点处，圆环的边缘A点与x轴上P点的连线与x轴的夹角为37°，静电力常量为k，取sin 37°=0.6、cos 37°=0.8，则整个圆环产生的电场在P点的电场强度大小为(　　) A. B. C. D. 【针对性训练】 1.(2025·江苏省二模)三根相同长度的绝缘均匀带电棒组成等边三角形，带电荷量分别为-Q、+Q和+，其中一根带电荷量为+Q的带电棒在三角形中心O点产生的电场强度为E，则O点的合电场强度为(　　) A. B.E C.E D. 2.半径为R的绝缘圆环固定放置，圆心为O，圆环上均匀分布着电荷量为Q的负电荷。如图所示，在A、B两处分别取走弧长为Δx(Δx≪R)的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，C1、C2分别是A、B间两段圆弧的中点，已知∠AOB=60°，静电力常量为k，则圆环上剩余电荷在O点产生的电场强度的大小和方向为(　　) A.，由O指向C2 B.，由O指向C1 C.，由O指向C2 D.，由O指向C1 3.(2024·河北卷·7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　) A. B.(6+) C.(3+1) D.(3+) 4.(2025·山东省模拟)如图所示，半径为R的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷，O点为圆环的圆心，M点位于O点正上方R处。若从圆环上的A点处取走长为ΔL的小圆弧，剩余电荷分布不变，则剩余电荷在M点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为(　　) A. B. C. D. 5. （2026黑龙江重点高中联考）在电场强度大小的匀强电场中，以O点为圆心，r为半径作一圆，a、b、c、d为圆周上四点，如图所示。在O点固定一带电荷量为的点电荷，则a、b、c、d各点的合电场强度大小为（ ） A. B. C. D. 6. （2026河南名校联考）如图所示，ABC为正三角形，AB和AC边上放有带等量异种电荷的绝缘细棒，O为BC边中点，D为BC中垂线上O点右侧的一点，P为BC上的一点，选无穷远处电势为0，则下列说法正确的是（　　） A. O点和D点场强可能大小相等，方向相同 B. D点的电势一定低于P点 C. 将一正检验电荷沿直线从O点运动到D点，电势能不变 D. 将一正检验电荷沿直线从O点运动到P点，电场力做负功 7. （2024湖南长沙高三适应性考试）如图，水平面上有一带电量为的均匀带电圆环，其圆心为，点正上方处有一点，和圆环上任一点的连线与圆环面的夹角均为。已知静电力常量为，则点场强大小为（　　） A. B. C. D. 8. （2024安徽部分学校期末）如图所示，点电荷+Q固定在正方体的一个顶点A上，B、C为正方体的另两个顶点，已知AB连线中点电场强度大小为E，则C点的电场强度大小为（ ） A. B. C. D. 9. （2024安徽六安质检）如图所示，四个电荷量分别为、、、的点电荷位于半径为的圆周上，其中、的连线与、的连线垂直，且，则圆心点的场强大小为（静电力常量为）（ ） A. 0 B. C. D. 10. (2026河北石家庄联考)如图所示，真空中有A、B、C三个带正电的点电荷，它们固定在边长为的等边三角形的三个顶点上，每个点电荷的电荷量都是q，O点是三角形底边的中点，静电力常量为。下列说法正确的是（　　） A. 点电荷对A的静电力大小为 B. 点电荷对A的静电力大小为 C. 点的电场强度大小为 D. 点的电场强度大小为 11. （2026宁夏银川联考）如图所示，在正六边形的M、N、P三个顶点上各放一个完全相同且带正电的点电荷，X、Y、Z为正六边形的另外三个顶点，O点是六边形的中心，规定无穷远处为电势能零点，下列说法正确的是（　　） A. X、Y、Z三点的电场强度相同 B. Z点的电势高于O点电势 C. 若仅将N点的正电荷换成等量的负电荷，则X点和Z点的电势相等，比Y点电势低 D. 从Y点至O点移动正试探电荷，电场力做正功 1 学科网（北京）股份有限公司 $