2026年暑假提升专项训练：第四节 库仑力 电场强度

**基本信息** 聚焦库仑力与电场强度，以“平衡问题+场强计算”为核心，通过矢量叠加、对称等四法系统构建解题体系，体现运动与相互作用观念及科学推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |库仑定律应用|2例+2变|共线平衡条件、非共线受力分析|库仑力→带电体平衡→科学推理| |电场强度求解|4例+4变|矢量叠加、对称、补偿、微元法|电场强度概念→叠加原理→模型建构|

第四节 库仑力 电场强度 1、 库仑定律的应用 1. 同一直线上两个点电荷的平衡问题 [例1]A、B两个点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有4Q的正电荷：(如图) (1)A和B固定，如何放置一个电荷量为q的正点电荷C，才能使点电荷C处于平衡状态？若将C换成等量负电荷C′，C′平衡的位置是否发生变化？ (2)如果A和B是自由的，如何放置第三个点电荷D，使系统处于平衡状态，求D的位置、电性和电荷量。 (3)如图，A、B是两个自由的点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有－4Q的负电荷，放置第三个点电荷E，使系统处于平衡状态，求E的位置、电性和电荷量。 答案　(1)放在A、B的连线上距离A右侧处　不发生变化 (2)放在A、B的连线上距离A右侧处　负电荷　 (3)放在A、B连线上距离B右侧2r处　正电荷　36Q [变1]如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是(　　) A．－Q，在A左侧距A为L处 B．－2Q，在A左侧距A为处 C．－4Q，在B右侧距B为L处 D．＋2Q，在A右侧距A为处 答案　C 解析　A、B、C三个点电荷要平衡，三个点电荷必须共线且外侧两点电荷相排斥，中间点电荷吸引外侧两电荷，而且外侧点电荷电荷量大，所以C必须带负电，放在B右侧， 对C：＝k，代入得r＝L 对B：＝，代入得|qC|＝4Q，C带负电，则qC＝－4Q，选项C正确。 2.非共线力作用下带电体的平衡问题 [例2]如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度，丝线与竖直方向间的夹角分别为α、β，且β>α，则(　　) A．a球的质量一定比b球的大 B．a球的电荷量一定比b球的大 C．a球受到的库仑力比b球的小 D．丝线对a球的拉力比对b球的小 答案　A 解析　小球a受力如图， 受力分析可知＝tan α，同理可得＝tan β，其中F库＝k，由牛顿第三定律可知两球之间的库仑力大小相等，但是无法判断两球电荷量之间的关系，所以B、C错误。由于β>α，则ma>mb，所以A正确；由于＝sin α，＝sin β，则FTa>FTb，所以D错误。 [变2](多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置。如果将小球B向左推动少许，两个小球将重新达到平衡，则两个小球的受力情况与原来相比(　　) A．推力F将增大 B．竖直墙面对小球A的弹力减小 C．地面对小球B的弹力一定增大 D．两个小球之间的距离增大 答案　BD 解析　对球A受力分析，A受三个力的作用，即重力GA，墙壁对A的弹力FA和B对A的静电力FBA，FA与FBA的合力与其重力大小相等，当将小球B向左推动少许时，FBA与竖直方向的夹角逐渐减小，则可以判断出FA减小，FBA也减小，B正确； 对A、B整体受力分析可知，F＝FA，故推力F也将减小，A错误； 地面对小球B的弹力和小球A和B的重力平衡，因此地面对B的弹力保持不变，C错误； 由于两球之间的静电力减小，故两小球之间的距离增大，D正确。 2、 电场强度的求解 1.矢量叠加法： 例3　如图所示， 真空中，电荷量分别为＋Q和－Q的点电荷A、B相距r，静电力常量为k，求： (1)两点电荷连线的中点O处的电场强度大小和方向。 (2)在两点电荷连线的中垂线上，距A、B两点都为r的O′点的电场强度大小和方向。 答案　(1)　方向由A→B (2)　方向平行于AB向右 解析　(1)如图甲所示， A、B两点电荷在O点产生的电场强度方向相同，均由A→B。A、B两点电荷分别在O点处的电场强度大小EA＝EB＝＝。 O点处的电场强度大小为EO＝EA＋EB＝，方向由A→B。 (2)如图乙所示， EA′＝EB′＝，由矢量图结合几何关系可知，O′点的电场强度大小EO′＝EA′＝EB′＝，方向平行于AB向右。 [变3]如图所示，等边三角形ABC的三个顶点分别固定三个点电荷＋q、－q、－q，已知三角形边长为L，静电力常量为k，则该三角形中心O点处的电场强度大小、方向如何？ 答案　　方向沿AO方向 解析　O点是三角形的中心，到三个点电荷的距离均为r＝＝L 三个点电荷在O点产生的电场强度大小均为 E0＝ 根据对称性和几何知识可知，两个点电荷－q在O点的合电场强度大小为E1＝ 再与＋q在O处产生的电场强度合成，得到O点的合电场强度大小为E＝E1＋E0＝＝，方向沿AO方向。 2.对称法 [例4]如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的电场强度为零，则d点处电场强度的大小为(k为静电力常量)(　　) A．k B．k C．k D．k 答案　B 解析　b点处的电场强度为零，说明q与Q在b点处产生的电场强度大小相等、方向相反，即k＝EQb，由于d点和b点相对于圆盘是对称的，因此Q在d点产生的电场强度的大小为EQd＝k，点电荷q在d点产生的电场强度Eqd＝k，则d点处的合电场强度大小为E合＝k＋k＝k，故B正确。 [变4]下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘，则坐标原点O处电场强度最小的是(　　) 答案　D 解析　A图中坐标原点O处的电场强度是一个圆环产生的，设此时原点的电场强度大小为E；B图中原点O的电场强度由两个圆环产生的电场强度叠加的合电场强度，根据矢量的平行四边形定则，此时原点的电场强度大小为E；在C图的坐标原点O处，第一象限和第三象限的圆环产生的电场互相抵消，所以坐标原点O处的电场强度是一个圆环产生的，此时原点的电场强度大小为E；在D图的坐标原点O处，第一象限和第三象限的圆环产生的电场互相抵消，第二象限和第四象限的圆环产生的电场互相抵消，坐标原点的电场强度为零，所以D图中原点O的电场强度最小，故D项正确。 3.补偿法 [例5]已知均匀带电的完整球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，＝＝2R。已知M点的电场强度大小为E，则N点的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　) A.－E B. C.－E D.＋E 答案　A 解析　完整球壳在M点产生的电场的电场强度大小为k＝，根据电场叠加原理，右半球壳在M点产生的电场的电场强度大小为－E，根据对称性可知，左半球壳在N点产生的电场的电场强度大小也为－E，选项A正确。 [变5].如图所示，用金属丝AB弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留出宽度为d的小间隙(d≪r)。通过接触起电的方式将电荷量为Q的正电荷均匀分布在金属丝上，静电力常量为k，则圆心O处的电场强度为(　　) A．k，方向由圆心指向间隙 B．k，方向由间隙指向圆心 C．k，方向由间隙指向圆心 D．k，方向由圆心指向间隙 答案　D 解析　相对圆弧来说间隙是很小的，若间隙处有正电荷可视为点电荷，其在圆心处产生的电场强度大小为E＝＝，因是正电荷，故电场强度方向由圆心向右。由对称性知，完整的带电圆弧在圆心O处的合电场强度为0，所以间隙处正电荷在圆心处产生的电场强度与圆弧其余部分在圆心处的合电场强度大小相等、方向相反，故圆心处的电场强度大小为k，方向由圆心指向间隙，故选D。 4.微元法 [例6]如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，静电力常量为k，试求P点的电场强度大小。 答案　见解析 解析　设想将圆环看成由n个相同的小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成一个点电荷，其所带电荷量Q′＝，由点电荷电场强度公式可求得每一小段带电体在P点产生的电场强度E＝＝，如图，由对称性知，各小段带电体在P点的电场强度均为E，E垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而其轴向分量Ex之和即为带电圆环在P点的电场强度EP，EP＝nEx＝nk cos θ＝k。 [变6]如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，所带电荷量为＋Q，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球(大小不计)，小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O的距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度大小为(　　) A. B. C．k D. 答案　AD 解析　由于圆环不能看作点电荷，我们取圆环上很小一部分Δx，圆环总电荷量为Q，则该部分电荷量为Q，该部分电荷在小球处产生的电场强度大小为E1＝＝，方向沿该点与小球的连线指向小球；同理取与圆心对称的相同的一段，其电场强度E1′与E1大小相等，如图所示， 则合电场强度为E0＝2·cos 45°＝，方向沿圆心与小球的连线向左；因圆环上各点均在小球处产生电场，则合电场强度大小为E＝E0＝，方向水平向左，选项D正确，C错误；对小球受力分析可知mgtan 45°＝qE，解得E＝，则选项A正确，B错误。 课后习题： 1.如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态。下列说法正确的是(　　) A．a、b小球可能带异种电荷 B．a、c小球可能带同种电荷 C．a、b小球所带电荷量之比为 D．a、b小球所带电荷量之比为 答案　D 解析　对a小球进行受力分析可知，要使a小球处于平衡状态，小球a、c之间的库仑力一定为引力，故a、c小球带异种电荷，B错误；对c小球进行受力分析，根据B选项的结论可得，小球a对c的库仑力为引力，方向左向下，小球c位于圆环最高点，则支持力方向竖直向上，重力方向竖直向下，小球c处于平衡状态，则小球b对小球c的库仑力方向为右向下，为引力，所以a、b小球带同种电荷，A错误；因为ac连线与bc连线的夹角为90°，根据几何关系可知，ab的连线过圆心，则ac＝2Rsin 30°＝R，bc＝2Rcos 30°＝R，小球c处于平衡状态，则Facsin 60°＝Fbcsin 30°，Fac＝，Fbc＝，可得＝，C错误，D正确。 2.如图所示，按A、B、C、D四种方式在一个正方形的四个顶点分别放置一个点电荷，所带电荷量已在图中标出，其中正方形中心电场强度最大的是(　　) 　 答案　A 解析　根据E＝，结合矢量合成法则，设正方形顶点到正方形中心的距离为r，则方式A中中心处的合电场强度大小为E＝2；方式B中两个负点电荷在正方形中心处合电场强度为0，两个正点电荷在中心处合电场强度为0，因此中心处的电场强度大小为0；同理，方式C中正方形对角线的两负点电荷的电场强度在中心处相互抵消，而正点电荷在中心处叠加后电场强度大小为E＝；方式D中，在中心处的电场强度大小为E＝。综上比较，正方形中心电场强度最大的是A。 学科网（北京）股份有限公司 $