精品解析：广东梅州市梅县区2025-2026学年度第二学期期末考八年级数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末考八年级数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将所选选项填涂在答题卡上） 1. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值，下列博物馆标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 一个九边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在 中，，，为 边的垂直平分线，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，平分，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动，已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同，求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子，若设乙组每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应的位置上） 11. 点的坐标是．将点向右平移3个单位长度，得到点，则点的坐标是_____． 12. 分解因式：______． 13. 如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______． 14. 若关于的方程无解，则的值为_____． 15. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，，，…，，由图可知，，，，……，则__________． 三．解答题（一）：（本题共3小题，每题7分，共21分，请解答在答题卡相应的位置上） 16. 解不等式组：． 17. 先化简，再求值：，其中 18. 如图，四边形是平行四边形，点在边上，且． （1）尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形； 四．解答题（二）：（本题共3小题，每题9分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将先向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到． （1）画出平移后； （2）如果将看成是由经过一次平移得到的，那么请指出这一平移的平移方向，并求出平移距离； （3）将绕点旋转得到，作出． 20. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车、A款车每千米行驶费用a元，B款车每千米行驶费用比A款车多元． （1）两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； （2）设：小明一家年平均行驶里程为x km，A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：元，请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 21. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 五．解答题（三）：（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上） 22. 定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． （1）共因多项式和的同因子是__________； （2）请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； （3）现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 23. 已知和都是等边三角形． 【感知】（1）当旋转到如图1位置时，请直接写出和的数量关系：_______； 【应用】（2）如图2，当旋转至点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】（3）当旋转至点D在射线上时，过点E作于点F，请直接写出线段与之间存在的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末考八年级数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将所选选项填涂在答题卡上） 1. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可 ． 【详解】解：由题意得不等式组的解集为x＜1，数轴表示如图所示， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及数轴表示，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值，下列博物馆标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握同分母分式加减法的运算法则是解题关键．根据同分母分式加减法，分母不变，分子相加减即可． 【详解】解：， 故选：A 4. 一个九边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握内角和公式是解决问题的关键． 根据多边形的内角和公式：且为整数，进行计算即可． 【详解】解：多边形内角和公式为， 九边形的边数， 代入公式得： ． 故选：C． 5. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知是解题的关键．根据平方差公式进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，能用平方差公式分解因式，符合题意； C、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：B． 6. 如图所示，在 中，，，为 边的垂直平分线，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质．先利用线段垂直平分线的性质可得：，利用直角三角形的两个锐角互余可得：，再从而得，在中利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵为边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，平分，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，掌握平行四边形邻角互补、对边平行，及平行线的内错角相等是解题的关键． 先利用平行四边形邻角互补的性质求出的度数，再通过角平分线得到的度数，最后结合平行四边形对边平行的性质，利用内错角相等求出． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ AD∥BC，且 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 故选：B． 8. 关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式有三个非负整数解得出的范围是解题的关键． 由不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式恰有三个非负整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 9. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动，已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同，求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子，若设乙组每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设乙组每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子， ， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用求得，进而可得，则可得，进而可求得，，则可得点的坐标为 ，再根据旋转的性质得到规律，进而可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图： ，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为 ， 由旋转可知第一次旋转后点的坐标为， 第二次旋转后点的坐标为， 第三次旋转后点的坐标为， 每次旋转，， 每旋转4次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同， 第2026次旋转结束时，点的坐标为. 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应的位置上） 11. 点的坐标是．将点向右平移3个单位长度，得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】考查了点的平移， 点A向右平移3个单位长度，得到点，其横坐标增加3，纵坐标不变； 【详解】解：将点向右平移3个单位长度，得到点，横坐标变为，纵坐标不变，即 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 13. 如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和为以及四边形内角和为等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形内角和为以及四边形内角和为，即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 15. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，，，…，，由图可知，，，，……，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察杨辉三角形中每行第3个位置的数，发现是从开始的个连续整数之和，从而得出，进而得到，利用裂项相消法求和即可. 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴    . 三．解答题（一）：（本题共3小题，每题7分，共21分，请解答在答题卡相应的位置上） 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别解不等式组中的一元一次不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式组解集的求法步骤是解决问题的关键． 【详解】解： 由①得； 由②得； 不等式组的解集为：． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： = = =， 当时， 原式． 18. 如图，四边形是平行四边形，点在边上，且． （1）尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形； 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 证明：为的平分线， ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ，，即 ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图—作已知角的角平分线，平行四边形的性质与判定定理，角平分线的定义，平行四边形的判定等知识点，掌握作图方法是解题关键． （1）按要求作出的角平分线（保留作图痕迹）即可； （2）由角平分线的定义和平行四边形的性质得到，进而得到，再由边的和差关系得到，最后由一组对边平行且相等即可判定四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题（二）：（本题共3小题，每题9分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将先向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到． （1）画出平移后； （2）如果将看成是由经过一次平移得到的，那么请指出这一平移的平移方向，并求出平移距离； （3）将绕点旋转得到，作出． 【答案】（1） （2）向右下方平移，平移的距离是； （3） 【解析】 【分析】（1）分别画出点、、向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度的对应点、、，连接点、、得到即为所求； （2）根据平移的方向是向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，可知向右下方平移，利用勾股定理求出平移的距离； （3）分别画出点、、绕点旋转得到的对应点、、，连接点、、得到即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 向右下方平移，平移的距离是； 【小问3详解】 略 20. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车、A款车每千米行驶费用a元，B款车每千米行驶费用比A款车多元． （1）两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； （2）设：小明一家年平均行驶里程为x km，A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：元，请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 【答案】（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元； （2）当时，购买燃油车比较划算；当时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当时，购买纯电动汽车比较划算 【解析】 【分析】（1）利用行驶路程总行驶费用每千米的行驶费用，结合两车在相同路段且行驶里程相同，列出分式方程，解方程即可； （2）利用年使用费用行驶费用其它费用，可用含x的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用，再分，及三种情况，求出x的取值范围或x的值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用 【小问1详解】 解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 纯电动汽车的年使用费用为元，燃油车的年使用费用为元， 当时，， 当时，购买燃油车比较划算； 当时，， 当时，购买纯电动汽车和燃油车均可； 当时，， 当时，购买纯电动汽车比较划算． 答：当时，购买燃油车比较划算；当时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当时，购买纯电动汽车比较划算． 21. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：由可得，，， ∵点，分别是边，的中点， ∴，． ∴． ∴． （2） 证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再证明．得出，．从而推出．进而得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五．解答题（三）：（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分，请解答在答题卡相应的位置上） 22. 定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． （1）共因多项式和的同因子是__________； （2）请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； （3）现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 【答案】（1） （2），理由如下： ， ， 则和的同因子是， 故是的共因多项式． （3）①； ②如图为所求拼图， 【解析】 【分析】（1）通过因式分解，找出两个多项式的共同因式； （2）先分解原多项式，再构造一个含有相同因式的二次三项式； （3）①根据拼图的面积表示多项式，写出因式分解；②画出图形再进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：，， 故共因多项式和的同因子是． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 ①解：由图可知，图2的面积可表示为， 也可表示为， 故． ②解：拼图的面积可表示为， 也可表示为， 则， 与的同因子是， 故是的共因多项式． 23. 已知和都是等边三角形． 【感知】（1）当旋转到如图1位置时，请直接写出和的数量关系：_______； 【应用】（2）如图2，当旋转至点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】（3）当旋转至点D在射线上时，过点E作于点F，请直接写出线段与之间存在的数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴ ； ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质证明即可得到结论； （2）由等边三角形的性质证明，结合可得结论； （3）分两种情况讨论，当在线段上和当在线段的延长线上时，证明，可得；再证明，从而可得结论． 【详解】解：（1），理由如下， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 解：（3）或， 理由如下：如图，当在线段上时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段的延长线上时， 同理可得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴． 综上，或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $