精品解析：广东汕头市龙湖区2025-2026学年度第二学期期末学生学业质量评估八年级数学

2025—2026学年度第二学期期末学生学业质量评估八年级数学 说明：本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 下列属于勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数是指满足两个较小正整数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义逐一验证即可得到结果． 【详解】解：选项A，，，， A不是勾股数； 对选项B，，，， B不是勾股数； 对选项C，，，， C不是勾股数； 对选项D，，， ，且三个数均为正整数， D是勾股数． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于选项A，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式， 是最简二次根式，符合要求； 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数， 不是最简二次根式； 对于选项C， 的被开方数含有分母， 不是最简二次根式； 对于选项D， 的分母含有根号，可化简为 ， 不是最简二次根式． 4. 一次函数的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断k、b的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限； 故选：B. 【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其系数的关系是解题的关键. 5. 若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较大的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补，由此可知度数比为的两个内角为邻角，且和为，即可计算出较大内角的度数． 【详解】解：∵平行四边形对角相等，邻角互补，且两个内角的度数比为， ∴这两个内角为邻角，且和为， ∴较大的内角度数为． 6. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定逐项排查即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线互相平分，故A不一定是菱形； 四边形是平行四边形，对边相等，故B不一定是菱形； 图C中，根据三角形的内角和定理可得：，邻边相等，四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形； 四边形是平行四边形，对边平行，故D不一定是菱形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，灵活运用菱形的判定方法是解题的关键． 7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 根据图象，找直线在上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图可知：两条直线的交点横坐标为， 由知，直线在直线的上方， ∵当时，直线在直线的上方， 关于的不等式的解集为． 故选：B． 8. 有一组被墨水污染的数据：，，，，*，★，，，，，，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的上四分位数是15 C. 这组数据的中位数是10 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，另一个数可能是13 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图逐一分析即可． 【详解】解：A选项，箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，正确，不符合题意； B选项，箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，正确，不符合题意； C选项，箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，错误，符合题意； D选项，箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3， 最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值是18， 所以被墨水污染的数据中一个数是3； 由图可得这组数据的中位数为10.5， 将这组数据已知的部分进行排序，为3、4、4、4、7、10、11、15、15、17、18， 要使中位数为10.5，则被污染的一个数要大于11，即可能是13，正确，不符合题意． 9. 在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲车行驶小时时两车相遇 B. 甲车的速度为，乙车的速度为 C. 甲车出发小时后乙车才出发 D. 当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 10. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，所以四边形是正方形，则，而，则，所以，由，且，得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键． 【详解】解：如图①，四边形是矩形， ， 由折叠得， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 如图②，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， ， 解得， ， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 六边形的内角和=_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，结合边形内角和公式计算，即可作答． 【详解】解：六边形的内角和． 12. 正比例函数的图像如图所示，则的值为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，掌握正比例函数图像上点的坐标特征是解题关键．由函数图像可知点在函数上，因此将此点代入函数解析式即可求得值． 【详解】解：由图可知，点在函数上， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 已知菱形的两条对角线长分别为10cm，12cm，则它的面积是________． 【答案】60 【解析】 【分析】根据菱形的面积的关于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：菱形的面积为； 故答案为：60 【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积的关于对角线乘积的一半，是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移个单位长度后恰好经过点，n的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，待定系数法求函数解析式，先写出平移后一次函数的解析式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度后的函数解析式为 ， 将点代入得，即， 解得， 故答案为：4． 15. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘除运算，化简二次根式，再进行合并即可． 【详解】解：原式． 17. 如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）请求出的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】（1）的长度为 （2）该车符合安全标准 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； 【小问2详解】 解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 18. 根据学习函数图形的经验，数学社团对函数开展了数学探究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务． （1）函数自变量的取值范围是________； （2）①函数中、部分对应值如表所示，其中________； … … … … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； （3）结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：_________________________． 【答案】（1）全体实数； （2）①； ②； （3）答案不唯一，如：时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为；图象关于直线对称． 【解析】 【分析】（1）函数对任意实数均有意义，故自变量取值范围为全体实数． （2）① 将代入解析式求出的值即可得到； ② 根据表格中的对应值描点，再用线段顺次连接得到图象． （3）观察所画图象的升降趋势、最低点或对称性，写出一条性质即可． 【小问1详解】 解： 函数中，取任意实数时解析式均有意义， 自变量的取值范围是全体实数． 【小问2详解】 解：① 当时，， ． ② 在平面直角坐标系中描出以下各点：，，，，，，，再用线段依次连接，得到函数的图象， 画图略． 【小问3详解】 略． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n 83 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【答案】任务1：9；8 任务2：综合成绩最高的是B款机器人 任务3：选择B款机器人，理由如下： 由折线统计图可判断 B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴， ∴测试员对 B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； ∴选择B款机器人． ①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高； ②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定； ③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好. (答案不唯一，言之有理即可) 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图综合，中位数、众数、方差的定义，解题的关键是数形结合，并掌握相关知识． （1）把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）根据图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案 （3）根据众数、方差、运动能力测试能力比较即可． 【详解】解：（1）由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， 款机器人运动能力得分的众数， 故答案为：，； （2）的综合成绩为：（分）， 的综合成绩为：（分） 的综合成绩为：（分） ， 机器人的综合成绩最高； （3）略 20. 综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． （2）已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． （3）研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 【答案】（1） （2） （3）将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出音阶为），号杯装的水（发出的音阶为），号杯装的水（发出的音为），用筷子依次敲击1号、2号、3号、4号玻璃杯，即可奏出图中的旋律． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时，h的值，再根据水位每升高时，则所使用的水量增加求解即可； （3）求出发出三个音符（，，）的水位高度，进而计算需要的水量即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意得，， 解得， ； 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得， 由题意可得：， 答：小明应该在玻璃杯中装的水； 【小问3详解】 解：在中，当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 288．5（ml）， 设计方案如下：将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出音阶为），号杯装的水（发出的音阶为），号杯装的水（发出的音为），用筷子依次敲击1号、2号、3号、4号玻璃杯，即可奏出图中的旋律． 21. 如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）过点作于，利用勾股定理及平行四边形的性质、矩形的性质及判定得出的值，进而求出的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫作半角四边形．如图1，直线，点A、D在直线上，点B、C在直线上，若，则四边形是半角四边形． （1）如图2，点E是的边上一点，，，，如果四边形是半角四边形，那么的长是______； （2）如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足． ①求证：四边形是半角四边形； ②当，时，如果在第一象限内存在点P，使得以点A、B、E、P为顶点的四边形是半角四边形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标． 【答案】（1） （2） ①证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，即， 又， 四边形是半角四边形； ②或或或或． 【解析】 【分析】（1）根据半角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长； （2）①由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半角四边形的定义即可证出四边形是半角四边形；②先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．当以点A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形时，画出图形，根据半角四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：四边形为半角四边形，，，， ，，，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②解： ，，四边形为平行四边形， ，，， ，，， 为的中点， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 当时，则， ∵平行x轴， ∴轴， ∴点纵坐标为，， ∴， ∴， ∴， 若，如图，过点作，设交轴于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当，且时，如图，过点作轴于点， 则， 四边形为平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与点重合（舍去）； 当，且时，如图，过点作交延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵点的坐标为， ∴； 当，且时，如图，过点作交延长线于点， 同理，得， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴，， ∵点的坐标为， ∴； 当，且时，如图，过点作交于点， 同理，得， ∴，， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴的坐标为； 当，且时，如图， 同理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的坐标为； 综上，符合要求的点P的坐标为或或或或． 23. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． 【解决问题】 （1）求直线的解析式． （2）如图①，点关于轴的对称点为，点在直线上，且，求直线的解析式． （3）如图②，点为直线上一点，以为斜边作等腰，点在第一象限，为线段上一动点，连结，以为直角边，点为直角顶点，作等腰，轴，为垂足，以下结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值． 【答案】（1）； （2）； （3）②的值不变，为． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质列式求出a、p的值，从而得到点A、P的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，设出点S的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线的解析式； （3）根据点B的横坐标为-2，可知点P为的中点，然后求出点B的坐标，连接，过点C作轴于点G，利用角角边证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再根据是等腰直角三角形，利用角角边证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后用表示出的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， 解得，， ∴点A、P的坐标分别为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线AP的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，点Q的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线AQ的解析式为， 设点S的坐标为， 则， ， ∵， ∴=， 解得x=， ∴， ∴点S的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵点， ∴点P为的中点， 连接，过点C作轴于点G， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵轴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴， ①， ∴的值随点D的变化而变化，不是定值， ②， 的值与点D的变化无关，是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学生学业质量评估八年级数学 说明：本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 下列属于勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较大的内角是（ ） A. B. C. D. 6. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 有一组被墨水污染的数据：，，，，*，★，，，，，，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的上四分位数是15 C. 这组数据的中位数是10 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，另一个数可能是13 9. 在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲车行驶小时时两车相遇 B. 甲车的速度为，乙车的速度为 C. 甲车出发小时后乙车才出发 D. 当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 10. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 六边形的内角和=_________． 12. 正比例函数的图像如图所示，则的值为 _______． 13. 已知菱形的两条对角线长分别为10cm，12cm，则它的面积是________． 14. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移个单位长度后恰好经过点，n的值为________． 15. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）请求出的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 18. 根据学习函数图形的经验，数学社团对函数开展了数学探究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务． （1）函数自变量的取值范围是________； （2）①函数中、部分对应值如表所示，其中________； … … … … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； （3）结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：_________________________． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n 83 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 20. 综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 261.6 293.6 329.6 349.2 392 440 493.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． （2）已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． （3）研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 21. 如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫作半角四边形．如图1，直线，点A、D在直线上，点B、C在直线上，若，则四边形是半角四边形． （1）如图2，点E是的边上一点，，，，如果四边形是半角四边形，那么的长是______； （2）如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足． ①求证：四边形是半角四边形； ②当，时，如果在第一象限内存在点P，使得以点A、B、E、P为顶点的四边形是半角四边形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标． 23. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． 【解决问题】 （1）求直线的解析式． （2）如图①，点关于轴的对称点为，点在直线上，且，求直线的解析式． （3）如图②，点为直线上一点，以为斜边作等腰，点在第一象限，为线段上一动点，连结，以为直角边，点为直角顶点，作等腰，轴，为垂足，以下结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $