精品解析：湖北襄阳市宜城市2025-2026学年下学期期末学业质量监测八年级数学

2025—2026学年度下学期期末学业质量监测 八年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题有10个小题，在下面的每小题的四个选项中，有且只有一个符合题意，把符合题意的选项代号填在题后括号内，每小题3分，共30分．） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式的定义为:被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，满足定义，是最简二次根式； 对选项B，，被开方数9含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项C，，被开方数12含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项D，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故选A． 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】， 故选：B． 3. 下列每一组数据分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. ，， C. ，， D. 5，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可. 【详解】解：A、∵，∴三边长为6，8，10的三角形能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴三边长为，，的三角形不能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵，∴三边长为，，的三角形能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴三边长为5，12，13的三角形能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知定理内容、掌握解答的方法是解题关键. 4. 某校有25名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前12名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这25名同学成绩的（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】由某校有25名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前12名参加决赛，则根据中位数的意义进行排除选项即可． 【详解】解：∵某校有25名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前12名参加决赛， ∴成绩超过中位数即可参加决赛， ∴她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这25名同学成绩的中位数即可； 故选：A． 【点睛】本题主要考查中位数的意义，熟练掌握中位数的意义是解题的关键． 5. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的定义为形如（，为常数，，自变量次数为1）的函数，正比例函数是形如（为常数，）的函数，即常数项的一次函数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A中，自变量的次数为，不是一次函数，不符合要求； 选项B中，是正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求； 选项C中，符合一次函数定义，且常数项，因此是一次函数但不是正比例函数，符合要求； 选项D中，分母含有自变量，不是一次函数，不符合要求； 故选C． 6. 荆芥作为佐料常常出现在面条、凉菜等美食里，是河南人夏季餐食中不可或缺的一物，“荆芥放进面条碗，呼呼啦啦吃三碗”的谚语，也体现了河南人吃面离不开荆芥，小明记录大棚中荆芥的生长过程，发现其中一株荆芥的高近似是生长时间x（天）的一次函数，部分数据如表所示，则y与x之间的关系式为（ ） 生长时间x/天 50 60 高 10 15 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法解答即可． 【详解】解：设与之间的关系式为， 将，和，分别代入得， 解得， ∴与之间的关系式为，． 故选：D． 7. 下列数据不能直接从箱线图中获得的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 最大值 D. 最小值 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查箱线图的基本概念，只需明确箱线图能体现的统计量，即可判断选项． 【详解】解：∵箱线图由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值五个统计量绘制得到， ∴可以直接从箱线图中获得中位数、最大值、最小值，众数是一组数据中出现次数最多的数， 箱线图无法体现数据出现的次数，因此不能直接从箱线图中得到众数， 故选：A． 8. 如图，在平行四边形中，，点为上一点，连接、，点、分别是、的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：在平行四边形中，， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ． 9. 菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知，为的中点，根据菱形的性质，推出为等边三角形，求出，再根据斜边上的中线的性质，进而得到即可. 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由作图可知，为的中点， ∴. 10. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，与相交于点．若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，根据平行四边形性质，角平分线定义，等腰三角形性质，推出，进而推出，再结合直角三角形性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， 的平分线为的平分线为， ， ， ， ， ， ，    ， ， 在中，由勾股定理得：． 二、填空题（把各题的正确答案填在题后的横线上，每小题3分，共15分．） 11. 若代数式有意义，请写出x的一个合适的值为______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，先确定的取值范围，再在取值范围内任取一个符合要求的值即可． 【详解】解：代数式有意义，则被开方数为非负数，可得， 解得， 则的合适值可以是（答案不唯一）. 12. 一次函数的图象不经过第________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】根据一次函数中，判断出该函数图像经过的象限，进而得出结论． 【详解】一次函数中，，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，即一次函数中，当，时，函数图象经过第一、二、四象限，熟练掌握这个一次函数的性质是解本题的关键． 13. 大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 【答案】 【解析】 【详解】解：五边形的内角和． 14. 将一次函数的图象平移，使得平移之后的图象经过点，则平移之后的图象的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数图象平移后不变，可设平移后的解析式，代入已知点求出待定系数，即可得到平移后图象的解析式． 【详解】解：新直线是由一次函数的图象平移得到的， 新直线的， 可设新直线的解析式为：， 平移之后的图象经过点， ， ， 平移后图象函数的解析式为． 15. 如图①，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，（1）的长为_______．（2）当点运动到中点时，的面积为_______． 【答案】 ①. 8 ②. 20 【解析】 【分析】（1）由图象可知，，，即可求出的长；（2）先根据图象求出，，进而得出点运动到中点时的值，利用待定系数法求出，当时，，再将代入计算即可． 【详解】解：（1）由图象可知，，， ； （2）当时，点运动到点时，此时， ， ， ，， ， 由图象可知，当点运动到点时，； ， ，此时， ， 点运动到中点， ，此时， 当时，设， 将点和代入得， 解得：， ， 当时，， 即当点运动到中点时，的面积为20． 三、解答题（本题有9个小题，共75分．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请判定的形状并计算其周长； （2）请求出点到直线的距离． 【答案】（1）等腰直角三角形， （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）设点到直线的距离为，利用等积法进行求解即可. 【小问1详解】 解：， ， 是等腰直角三角形，周长． 【小问2详解】 解：设点到直线的距离为，由， 得， ，即点到直线的距离为． 18. 如图，在平行四边形中，分别是边的中点；求证：∥ 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到∥，，再根据分别是边的中点，得到，，即可得解； 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴∥，， ∵分别是边的中点， ∴，，， ∴∥，， ∴四边形是平行四边形， ∴∥． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，准确分析证明是解题的关键． 19. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______； （2）求m的值； （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：七年级打分从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10， 排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； 【小问2详解】 解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； 【小问3详解】 解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 20. 已知：如图，一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积； （3）结合图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立两个函数的解析式，即可求出交点坐标； （2）分别求出点和点的坐标，再求出的面积即可； （3）根据的图象不高于的图象部分的自变量取值求解即可． 【小问1详解】 解：联立一次函数与， 则，解得：， 点A的坐标为； 【小问2详解】 解：将代入，得，解得：， ， 将代入，得，解得：， ， 的面积； 【小问3详解】 解：由图象可知，在点以及点的左侧，的图象不高于的图象， ∴当时，的取值范围为． 21. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，再根据推得，即可得证； （2）由可推得，则平行四边形是矩形，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， 则，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． 22. 某景区的文创小店制作苗绣和蜡染两种书签，制作2张苗绣书签和3张蜡染书签共需材料成本72元，制作3张苗绣书签和1张蜡染书签共需材料成本52元，两种书签定价均为整数，且每个书签的售价均高于材料成本． （1）求每张苗绣书签和蜡染书签的材料成本各为多少元？ （2）文创店准备用不超过600元的材料成本制作两种书签共40张，且蜡染书签的数量不少于苗绣书签数量的一半，每张苗绣书签售价21元，每张蜡染书签售价28元．求总利润的最大值及两种书签的数量． 【答案】（1）每张苗绣书签的成本为12元，每张蜡染书签的成本为16元 （2）苗绣和蜡染两种书签的数量分别为10张，30张时，总利润的最大值为450元 【解析】 【分析】（1）设每张苗绣书签的成本为元，每张蜡染书签的成本为元，根据“制作2张苗绣书签和3张蜡染书签共需材料成本72元，制作3张苗绣书签和1张蜡染书签共需材料成本52元”可列关于的二元一次方程组，求解方程组即可； （2）设制作苗绣书签张，那么制作蜡染书签张，根据题意列不等式组求出的取值范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设每张苗绣书签的成本为元，每张蜡染书签的成本为元，根据题意得： ， 解得：， 答：每张苗绣书签的成本为12元，每张蜡染书签的成本为16元； 【小问2详解】 解：设制作苗绣书签张，那么制作蜡染书签张，根据题意得： ， 解得： 又， ∵， ∴有最大值， 故当， 时，； 答：苗绣和蜡染两种书签的数量分别为10张，30张时，总利润的最大值为450元． 23. 在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 【答案】 （1）证明：由折叠的性质，得， ∵在正方形中，， ∴． ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴； （2）证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即； （3）12或． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示． ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴； ②当点在的延长线上时，如图所示． 同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为12或， 故答案为：12或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究． （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 ； （2）类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； （3）拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）的坐标为或 【解析】 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解； （2）过作轴于，先求出直线与坐标轴的交点与的坐标，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标，根据待定系数法求出直线对应的函数表达式，再求出直线与轴的交点坐标即可； （3）过作轴于，交直线于，根据题意，设，，①当在上方时，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，据此列出二元一次方程组，解方程组即可；②当在下方时，同理列出二元一次方程组，解方程组即可． 【小问1详解】 解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ∴，， 即，， ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线对应的函数表达式为，把，代入得， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； 令，得， ∴． 【小问3详解】 解：过作轴于，交直线于， 根据题意，设，， ①当在上方时，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 即， 解得， ∴的坐标为； ②当在下方时，如图： 同理可得， 解得， ∴的坐标为 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末学业质量监测 八年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题有10个小题，在下面的每小题的四个选项中，有且只有一个符合题意，把符合题意的选项代号填在题后括号内，每小题3分，共30分．） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. 5 D. 6 3. 下列每一组数据分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. ，， C. ，， D. 5，12，13 4. 某校有25名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前12名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这25名同学成绩的（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 5. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 荆芥作为佐料常常出现在面条、凉菜等美食里，是河南人夏季餐食中不可或缺的一物，“荆芥放进面条碗，呼呼啦啦吃三碗”的谚语，也体现了河南人吃面离不开荆芥，小明记录大棚中荆芥的生长过程，发现其中一株荆芥的高近似是生长时间x（天）的一次函数，部分数据如表所示，则y与x之间的关系式为（ ） 生长时间x/天 50 60 高 10 15 A. B. C. D. 7. 下列数据不能直接从箱线图中获得的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 最大值 D. 最小值 8. 如图，在平行四边形中，，点为上一点，连接、，点、分别是、的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 9. 菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8 10. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，与相交于点．若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、填空题（把各题的正确答案填在题后的横线上，每小题3分，共15分．） 11. 若代数式有意义，请写出x的一个合适的值为______． 12. 一次函数的图象不经过第________象限． 13. 大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 14. 将一次函数的图象平移，使得平移之后的图象经过点，则平移之后的图象的解析式为_______． 15. 如图①，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，（1）的长为_______．（2）当点运动到中点时，的面积为_______． 三、解答题（本题有9个小题，共75分．） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请判定的形状并计算其周长； （2）请求出点到直线的距离． 18. 如图，在平行四边形中，分别是边的中点；求证：∥ 19. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______； （2）求m的值； （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 20. 已知：如图，一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积； （3）结合图象，直接写出时，x的取值范围． 21. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：． 22. 某景区的文创小店制作苗绣和蜡染两种书签，制作2张苗绣书签和3张蜡染书签共需材料成本72元，制作3张苗绣书签和1张蜡染书签共需材料成本52元，两种书签定价均为整数，且每个书签的售价均高于材料成本． （1）求每张苗绣书签和蜡染书签的材料成本各为多少元？ （2）文创店准备用不超过600元的材料成本制作两种书签共40张，且蜡染书签的数量不少于苗绣书签数量的一半，每张苗绣书签售价21元，每张蜡染书签售价28元．求总利润的最大值及两种书签的数量． 23. 在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 24. 我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究． （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 ； （2）类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； （3）拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $