精品解析：湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年八年级下学期6月期末宜城数学试题

宜城市2024-2025学年度下学期期末学业质量测试题 八年级数学 （本试题卷共6面，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题有10个小题，在下面的每小题的四个选项中，有且只有一个符合题意，把符合题意的选项代号填在题后括号内，每小题3分，共30分．） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，形如的式子称为二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负成为解题的关键． 根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为（负数），无意义，不是二次根式； B．是二次根式的相反数，其根指数为2，被开方数，符合二次根式定义．前面的负号不影响根式的结构，因此是二次根式； C．的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； D．的被开方数需满足，但题目要求“一定是”，即无论取何值均成立，显然不满足． 故选：B． 2. 计算的值为( ) A. B. -4 C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】原式=-3=-2， 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 3. 某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 人数/名 则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和众数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置或中间两个数的平均数叫做中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，掌握中位数、众数的定义是解题的关键． 根据中位数、众数的定义进行求解即可． 【详解】解：这名学生的成绩从小到大排列，中位数是第个，第个数据的平均数即， 这名学生成绩中出现的次数最多，共出现次，即众数为， 故选：C． 4. 某市乘出租车需付车费y(元)与行车里程x(千米)之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过2千米但不超过5千米时，每千米的费用是（　　） A. 1元 B. 1.1元 C. 1.2元 D. 2.5元 【答案】A 【解析】 【分析】分析图象可得从2公里到5公里费用由元增加到元，解题即可． 【详解】观察图象发现从2公里到5公里共行驶了公里，费用增加了元， 故出租车超过3千米后，每千米的费用是元， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的图象，分析图象找出相关信息是解题的关键． 5. 一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（ ） A. 0.5米 B. 0.75米 C. 1米 D. 2米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接着利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯足将滑1米， 故选：C． 6. 下列关于x的函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键． 根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数，逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】A、中，的指数为2，不符合一次函数定义，故不符合题意； B、中，不是整式函数，不符合一次函数定义，故不符合题意； C、中，的指数为2，不符合一次函数定义，故不符合题意； D、是一次函数，故符合题意； 故选：D． 7. 有下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形．其中对角线一定相等的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质，根据矩形和正方形的性质即可求解，掌握矩形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形，对角线相等是矩形和正方形， 故选：． 8. 如图，在矩形中，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，则点E到点B的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质． 在中利用勾股定理求长，由折叠可得，，得出，然后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 设则， ∵， ∴， 解得 ∴， 故选A． 9. 在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点A、B为中心，大于的长为半径作弧，两弧交点分别为E、F、②作直线，交对角线于点G．③连接．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 如图，连接，先证明，再证明，，可得，再利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得：是的垂直平分线， ， ∵菱形． ∴， ∴， ， ，， ， ， 故选：D． 10. 如图，直线与直线（k、b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：观察图象，不等式的解集为， 故选：C． 二、填空题（把各题的正确答案填在题后的横线上，每小题3分，共15分．） 11. 若有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是关键，根据题意得到，由此即可求解 【详解】解：根据题意得到，， 解得，， 故答案为： ． 12. 已知正比例函数图象经过，两点，则a________b(填“>”“<”或“=”)． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数k<0,则y随x的增大而减少，结合函数值的大小，即可得到自变量的大小关系． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，且图象经过，两点，， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的增减性是解题关键． 13. 某学习小组6个成员某次数学测验的分数如下：80，79，76，x，78，81，若该组数据平均数为79，则该组数据的方差是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式． 根据平均数确定出后，再根据方差的公式计算方差即可． 【详解】解：由平均数的公式得：， 解得， 则方差为． 故答案为：． 14. 已知一次函数的图象经过第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限． 先确定函数图象过定点，则必过第二象限，根据一次函数图象经过第三象限，得到两种情况，再分类讨论，解不等式即可． 【详解】解：， 当时，， ∴图象经过点， ∴图象必经过第二象限， 当图象经过第三象限时，则图象经过第一二三象限或经过二三四象限 ∴， 解得； 或， 解得 ∴k的取值范围是或， 故答案为：或． 15. 如图，点E是边长为8的正方形的对角线上的一个动点（不与点B，D重合），连接，以为边向左侧作正方形，点P为的中点，连接，，与的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，求出，进而得出点G在线段上，当时，最短，此时为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：四边形、四边形均为正方形， ，，，， ，即， 在与中， ， ， ∴点G在线段上， 当时，最短， ∵正方形的边长为8，点P为的中点， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键． 三、解答题（本题有9个小题，共75分．） 16 计算 （1） （2）； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先利用二次根式的性质化简，然后合并即可得到答案； （）先利用二次根式的乘除法运算法则计算，然后合并即可得到答案； 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 若a、b、c是的三边长，且a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1），，； （2）是，见解析 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理，掌握利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解题关键． （1）根据平方、绝对值以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理求解即可 【小问1详解】 解：， ，，， ，，； 【小问2详解】 解：是直角三角形， ，， ， 是直角三角形． 18. 已知，如图，在中，点E，F是对角线上的两点，且，分别连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据“”证明，得，，则，所以四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵，点E，F是对角线上的两点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 【答案】（1）20；4 （2）86.5 （3）该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人． 【解析】 【分析】（1）八年级D组：的频数为7÷D组占35%求出n，再利用样本容量减去其他四组人数÷2求即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出七八年级不低于90分的人数，求出占样本的比，用两个年级总数×计算即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占35%， ∴进行冬奥会知识测试学生数为n=7÷35%=20， ∴， 故答案为：20；4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为5%+5%+20%=30%＜50%， A、B、C、D四组的频率之和为30%+35%=65%＞50%， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87， 88 ，89， ∵20×30%=6，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为， 故答案：86.5； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：两组占1-65%=35%， 共有20×35%=7人 七年级E：，F：两组人数为3+1=4人， 两年级共有4+7=11人， 占样本， ∴该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有（人）． 【点睛】本题考查从频率直方图和扇形统计图获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键． 20. 如图，已知直线经过点，，并与x轴交于点C，与直线相交于点D． （1）求直线的函数表达式； （2）求不等式的解集； （3）直线与y轴交于点E，在直线上是否存在点P，使得，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，一次函数与不等式，正确地求得函数解析式是解题的关键． （1）把点，代入得到方程组，解方程组即可得到结论； （2）解方程得到，于是得到不等式的解集为； （3）解方程组得到，设，根据题意列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：把点，代入得 ， 解得：， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ， 不等式的解集为； 【小问3详解】 解：联立， 解得：， ， 设， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ， ， 或． 21. 如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． （1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证、可得，由菱形的判定定理即可证明结论； （2）如图：过点D作于点H，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图：过点D作于点H， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠； 设某学生暑期健身(次)，按照方案一所需费用为，(元)，且；按照方案二所需费用为(元) ，且其函数图象如图所示． 求和的值，并说明它们的实际意义； 求打折前的每次健身费用和的值； 八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由． 【答案】（1）k1=15，b=30；k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元； （2）打折前的每次健身费用为25元，k2=20； （3）方案一所需费用更少，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可； （2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值； （3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解． 【详解】解：（1）由图象可得：经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得：， 解得：， 即k1=15，b=30， k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元； （2）设打折前的每次健身费用为a元， 由题意得：0.6a=15， 解得：a=25， 即打折前的每次健身费用为25元， k2表示每次健身按八折优惠的费用，故k2=25×0.8=20； （3）由（1）（2）得：，， 当小华健身次即x=8时， ，， ∵150<160， ∴方案一所需费用更少， 答：方案一所需费用更少． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键． 23. 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上． （1）如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． （2）如图2，若，点F是的中点，求的长． 【答案】（1）①，，理由见解析②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）先得到，再证明即可得出，，因为是等腰直角三角形，所以，则，则可证； 由可得，在等腰直角三角形中，由勾股定理可得，又因为，代入即可得证； （2）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 解：①，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； ②∵， ， ∵， ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ； 【小问2详解】 解：过点作于，如图： 由②得，，， ∴ ， ， ∵点是的中点， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 24. 将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．如图1，在边上取一点D，将沿折叠，使点C恰好落在边上，记作E点． （1）求点E的坐标； （2）折痕的长； （3）如图2，在、边上选取适当的点D、G，将沿折叠，使点C落在上，记为H点，设，四边形的面积为S．求：S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，由勾股定理求得，从而求得，即可得到E点坐标； （2）设，则，根据勾股定理即可得求解 ； （3）过点H作于M，根据折叠的性质得到，故，根据勾股定理得到，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵沿折叠，使点C恰好落在边E点上， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴E点坐标为； 【小问2详解】 解：在中，设，则， ∴， 解得， 在中，； 【小问3详解】 解：过点H作于M， 如图，则，， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 点D与点O重合，点G与点B重合，分别是点D的两个极限， 点G与点B重合时，由①的结论可得，此时， 点D与点O重合时，， 综上可得． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，求函数关系式，解题的关键是矩形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜城市2024-2025学年度下学期期末学业质量测试题 八年级数学 （本试题卷共6面，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题有10个小题，在下面的每小题的四个选项中，有且只有一个符合题意，把符合题意的选项代号填在题后括号内，每小题3分，共30分．） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的值为( ) A. B. -4 C. D. -2 3. 某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 人数/名 则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 某市乘出租车需付车费y(元)与行车里程x(千米)之间函数关系图象如图所示，那么该市乘出租车超过2千米但不超过5千米时，每千米的费用是（　　） A. 1元 B. 1.1元 C. 1.2元 D. 2.5元 5. 一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（ ） A. 0.5米 B. 0.75米 C. 1米 D. 2米 6. 下列关于x的函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 有下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形．其中对角线一定相等的是（ ） A ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ①②③④ 8. 如图，在矩形中，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，则点E到点B的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点A、B为中心，大于的长为半径作弧，两弧交点分别为E、F、②作直线，交对角线于点G．③连接．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与直线（k、b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（把各题的正确答案填在题后的横线上，每小题3分，共15分．） 11. 若有意义，则的取值范围是________． 12. 已知正比例函数图象经过，两点，则a________b(填“>”“<”或“=”)． 13. 某学习小组6个成员某次数学测验分数如下：80，79，76，x，78，81，若该组数据平均数为79，则该组数据的方差是______． 14. 已知一次函数的图象经过第三象限，则k的取值范围是______． 15. 如图，点E是边长为8正方形的对角线上的一个动点（不与点B，D重合），连接，以为边向左侧作正方形，点P为的中点，连接，，与的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 三、解答题（本题有9个小题，共75分．） 16. 计算 （1） （2）； 17. 若a、b、c是的三边长，且a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 18. 已知，如图，在中，点E，F是对角线上的两点，且，分别连接．求证：四边形是平行四边形． 19. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 20. 如图，已知直线经过点，，并与x轴交于点C，与直线相交于点D． （1）求直线的函数表达式； （2）求不等式的解集； （3）直线与y轴交于点E，在直线上是否存在点P，使得，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 21. 如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 22. 暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠； 设某学生暑期健身(次)，按照方案一所需费用为，(元)，且；按照方案二所需费用为(元) ，且其函数图象如图所示． 求和的值，并说明它们的实际意义； 求打折前的每次健身费用和的值； 八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由． 23. 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上． （1）如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． （2）如图2，若，点F是的中点，求的长． 24. 将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，O原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．如图1，在边上取一点D，将沿折叠，使点C恰好落在边上，记作E点． （1）求点E的坐标； （2）折痕的长； （3）如图2，在、边上选取适当的点D、G，将沿折叠，使点C落在上，记为H点，设，四边形的面积为S．求：S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $