精品解析：广东广州市(番禺区,花都区)2025-2026学年第二学期高中教学质量监测高一数学A卷

2025学年第二学期高中教学质量监测试题 高一数学A卷 本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “是整数”是“是奇数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”， 所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件． 2. 已知奇函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 3. 若复数z满足，则的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以坐标原点为圆心，1为半径的圆. 表示复数对应的点与定点的距离， 其最大值为圆心到定点的距离加圆的半径，即． 故的最大值为. 4. 已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若A，B独立，则 C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，独立，则，故B正确； 对于C，若，独立，则，故C错误； 对于D，若，互斥，则，故D正确． 5. 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于由图可知：，故可得，因为最大值为2，且，故， 此时函数解析式为，因为图中最高点的坐标是， 所以，，解得，． 又因为，所以， 所以函数解析式为 6. 美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式.已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，要让该植物的高度达到5米，需要的年数为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先根据确定的值，再根据求的值即可. 【详解】依题意可得，则，解得，，. ，进一步可以判断在上单调递增， 由，故， 所以要让该植物的高度达到5米，需要的年数为2. 故选：A 7. 在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，以下四个结论中正确的为（ ） A. 直线EF与直线GH平行 B. 直线EF与直线GH异面 C. 直线EF与直线GH的交点M在平面ABD上 D. 直线EF与直线GH的交点M在直线AC上 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行公理及平面基本事实推理判断即可. 【详解】连接，由分别为的中点，得，且， 在中，，则，且，因此且， 四边形为梯形，为梯形两腰，它们相交且共面，AB错误； 设，由平面，得平面；由平面，得平面， 而平面与平面的交线为，于是，即交点一定在直线上，且交点与点不重合， 因此交点不在平面上，C错误，D正确． 8. 古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆O和正方形ABCD的中心是重合的，圆O的半径为r，正方形ABCD的边长为2cm，P为圆O上的动点，且，则圆O的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：根据已知条件，结合向量的线性运算，列出关于半径的等量关系，求出半径，进而求出圆的面积； 法二：利用极化恒等式的结论直接建立半径的等量关系，求出半径，进而求出圆的面积. 【详解】法一：如图，连接，，， 正方形的边长为2，，， ， 解得，圆的面积为． 法二：根据极化恒等式得，，解得，圆的面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公司2025年5月至2026年3月的各月利润率与每百元营业收入中的成本如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 2025年6月至2025年9月的利润率呈递减趋势 B. 2025年5月至2026年3月的利润率的80%分位数为7.09% C. 2025年10月至2026年3月每百元营业收入中的成本呈递增趋势 D. 2025年5月至2026年3月每百元营业收入中的成本的方差大于1 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，2025年6月至2025年9月的利润率呈递减趋势，A正确； 对于B，将这11个月的利润率从小排到大为：， 由，得80%分位数为，B正确； 对于C，2025年10月至2026年3月每百元营业收入中的成本呈递增趋势，C正确； 对于D，这11个月的每百元营业收入中的成本的平均数为， 而， 因此这11个月的每百元营业收入中的成本的方差不可能大于1，D错误． 10. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 又，当且仅当时取等号，所以，故B正确； ，故C错误； ，当且仅当时取等号，故D错误. 11. 如图，已知正四面体的棱长为，点为点在底面上的射影，分别为线段的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（ ） A. 三棱锥的内切球的体积为 B. 过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 C. 点的轨迹长度为 D. 平面截三棱锥所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正四面体的棱长与其外接球的半径的关系可判断A；在确定点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆半径的最小值可判断B；求点的轨迹，求其轨迹的长度可判断C；作出平面截三棱锥所得截面，求其面积可判断D. 【详解】对于A，三棱锥的内切球半径为，所以内切球的体积为，故A正确； 对于B，三棱锥的外接球半径为，记外接球球心为，则当截面与垂直的时候，截面圆的面积最小， 因为， 所以截面圆的半径为， 所以所得截面面积的最小值为，故B正确； 对于C，点是以为球心且以为半径的球面与侧面的公共点，记在侧面上的射影为， 则为等边三角形的中心，且， 所以球面与侧面相交圆的半径为， 又圆与等边三角形相交所得的三段圆弧即为点的轨迹， 又圆心到等边三角形每条边的距离为，所以每段圆弧的圆心角为， 所以点的轨迹长度为，故C错误； 对于D，因为平面平面，且平面平面， 过作交于，则平面， 同理过作，分别交于点，过作交于，连接， 则为平面截三棱锥所得的截面， 由题意，得，且，所以， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【解析】 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 13. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，若，则___________；___________． 【答案】 ①. 1 ②. 0 【解析】 【详解】方法1：如图 可得． 如图 可得与垂直，． 方法2：如图建系，易知. 若，则， 所以. ，，所以. 14. 已知袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回）．三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球．”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则在此条件下，甲手中是红球的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】分析甲、乙两人看到的可能情形，可确定丙手中的球的颜色，从而得到甲手中是红球的概率. 【详解】由“甲不知道自己手里是什么颜色的球”知，乙、丙两人手里的小球肯定不是两个白球； 若乙看到丙拿的是白球，甲不论拿的是什么颜色的球，则由“甲不知道自己手里是什么颜色的球”知，乙自己肯定拿的是红球； 但乙不知道自己拿的是什么颜色的球，所以丙拿到的肯定是红球. 则此时甲手中是红球的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，的对边分别是a、b、c，已知． （1）求角B的大小． （2）已知，BC边上的高为AD．在下列三个条件中选择一个条件，求AD的长度． 条件①：的面积为；条件②：的周长为6；条件③：的面积为． 【答案】（1） （2）选择①：． ， 又由余弦定理得：，， ，， 又，，．． 选择②：由余弦定理得：． ， ， 又，，，， ，． ． ． 选择③． 又． 解得或， 所以中BC边上的高为或. 【解析】 【分析】（1）法一：由余弦定理得到，得到角B的大小；法二：由正弦定理得到，得到角B的大小； （2）选择①，由三角形面积和余弦定理求出．根据面积求出；选择②，由余弦定理和三角形周长求出，根据面积求出；选择③，根据三角形面积得到方程，结合求出. 【小问1详解】 法一：． 由余弦定理，得． ，， 又，． 法二：， 由正弦定理，得， 又，， ． ， 又，，， 又，． 【小问2详解】 略 16. 为了解岭南某地荔枝的情况，随机抽取该地一批荔枝测量其重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中a的值； （2）估计该地单个荔枝重量的平均数x和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）已知单个重量大于37.5克的荔枝为一等品，单个重量在32.5克至37.5克的荔枝为二等品，单个重量低于32.5克的荔枝为三等品．从该批荔枝中，用分层抽样的方法抽出容量为20的样本，再从此样本的二等品和三等品中随机抽取2个，求抽到的都是三等品荔枝的概率． 【答案】（1）； （2）平均数为40，方差为28.75； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出； （2）根据平均数和方差的计算公式可得答案； （3）求出20的样本中二等品和三等品的个数，列举法求出相应的概率 【小问1详解】 由图知，组距，由，得． 【小问2详解】 各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以估计平均数为， 方差为 【小问3详解】 因为一等品，二等品，三等品的频率之比为， 所以所抽20个样本中， 二等品有4个，将其编号为1，2，3，4，三等品有2个，将其编号为5，6， 从中随机抽取2个，样本空间为： 共有15个样本点． 记事件“抽到的都是三等品荔枝”， 则，共有1个样本点，所以， 抽到的都是三等品荔枝的概率为． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E、F、G分别是的中点． （1）证明：面； （2）证明：平面； （3）若平面，求直线到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，． 因为，，分别是，，的中点，四边形是矩形． 所以，，且，． 所以，． 所以四边形为平行四边形． 所以． 又平面，平面， 所以//平面． （2）证明：因为，的中点为，所以． 因为平面，平面． 所以． 因为底面是矩形． 所以．因为，，平面． 所以平面． 因为平面． 所以， 因为，，平面． 所以平面． 因为由（1）知，所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得； （2）由线面垂直的判定定理证得平面，从而得，再由线面垂直的判定定理证得平面，最后根据，可得平面； （3）由，知直线到平面的距离即为点到平面的距离，根据等体积法可得；或先求得的长度，由平面，得点到平面的距离为，再根据是的中点，得点到平面的距离，即直线到平面的距离为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：由（1）可知，，即求点到平面的距离，设为． 因为平面，平面． 所以．又，所以， 因为平面，平面， 所以． 又是的中点． 所以，， 又因为平面，平面， 所以．在直角三角形中，，，， 所以． 所以，即． 所以，． 所以，直线到平面的距离是． 法二：因为平面，，平面． 所以． 又．所以． 因为平面，平面， 所以． 又是的中点，所以． 由（2）可知，．所以． 又由（1）可知，． 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离． 又因为是的中点，且平面， 所以点到平面的距离为． 所以，直线到平面的距离是． 18. 已知函数是偶函数， （1）求b的值； （2）直接写出函数的单调区间，并解不等式； （3）证明：方程在有唯一实根，且． 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上单调递增， （3）记 ． 在为减函数，在其定义域上为增函数． 在为减函数． 在为增函数，在为减函数． 在为减函数． ， 又，， 由零点存在定理和单调性知，存在唯一使， 即方程在有唯一实根， 此时，． ． 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义. （2）先化简，然后判断复合函数的单调性，根据偶函数和单调性综合，解不等式. （3）先化简函数，根据复合函数的单调性，结合单调性和零点存在定理得出结论. 【小问1详解】 为偶函数． 对恒成立， ． ，对成立． ，． 【小问2详解】 . 由于当时，有，且显然递增， 故递增. 而是偶函数，所以在上单调递减. 因此偶函数在上单调递减，在上单调递增. 由且为偶函数． ，或， 解得 ． 【小问3详解】 略. 19. 已知正方体的棱长为2，E是棱AB上的一个动点（不是端点），作线段，过上一点F，作直线DF交正方体的上底面（含边界）于点G． （1）当时，说明动点G的轨迹，并求其长度； （2）若，求证：平面； （3）在（2）的条件下，且直线与平面所成角的正切值为，求AE的长度． 【答案】（1）动点的轨迹为线段，其中，且，轨迹长度为. （2）如图所示，连接， 因为平面，平面，则， 又因为，，平面，，则平面， 且平面，可得， 又因为，，平面，， 所以平面. （3）1 【解析】 【分析】（1）在上取点，使得，根据平面性质分析可知动点的轨迹为线段，利用勾股定理可得轨迹长； （2）可证平面，即可得，结合即可证平面； （3）设，可证平面，则为直线与平面所成的角，法一：利用直角三角形中的勾股关系与正切关系列方程；法二：把已知正切值转化为正弦值，利用边角关系列方程；法三：利用两组垂线得到等角关系，逐步求出相关线段后用正切关系列方程. 【小问1详解】 在上取点，使得， 因为三点不共线，所以唯一确定平面， 又因为直线过点，点在上，所以对任意满足条件的点，直线平面， 因为点是直线与平面的交点，所以平面且平面， 因此平面平面，即所有点都落在线段上， 所以动点的轨迹为线段，且，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接、， 设，则. 因为平面，平面，则. 又因为平面，平面，则. 且、平面，且，所以平面. 因此是在平面内的射影，为直线与平面所成的角. 因为，且平面，所以 由平面，平面，得. 在直角三角形中，，，， 所以 法一：因为， 则， 由题意得 即，整理可得 因为，所以，即； 法二：由，得 在直角三角形中， 即，整理可得 因为，所以，即； 法三：在直角三角形中， 因为，且，所以 在直角三角形中, 所以 因为，且三角形为直角三角形， 所以 又，在直角三角形中， 可得 则，整理可得 因为，所以，即； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高中教学质量监测试题 高一数学A卷 本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “是整数”是“是奇数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知奇函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数z满足，则的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若A，B独立，则 C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 5. 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式.已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，要让该植物的高度达到5米，需要的年数为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 7. 在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，以下四个结论中正确的为（ ） A. 直线EF与直线GH平行 B. 直线EF与直线GH异面 C. 直线EF与直线GH的交点M在平面ABD上 D. 直线EF与直线GH的交点M在直线AC上 8. 古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆O和正方形ABCD的中心是重合的，圆O的半径为r，正方形ABCD的边长为2cm，P为圆O上的动点，且，则圆O的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公司2025年5月至2026年3月的各月利润率与每百元营业收入中的成本如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 2025年6月至2025年9月的利润率呈递减趋势 B. 2025年5月至2026年3月的利润率的80%分位数为7.09% C. 2025年10月至2026年3月每百元营业收入中的成本呈递增趋势 D. 2025年5月至2026年3月每百元营业收入中的成本的方差大于1 10. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正四面体的棱长为，点为点在底面上的射影，分别为线段的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（ ） A. 三棱锥的内切球的体积为 B. 过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 C. 点的轨迹长度为 D. 平面截三棱锥所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最大值是________． 13. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，若，则___________；___________． 14. 已知袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回）．三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球．”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则在此条件下，甲手中是红球的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，的对边分别是a、b、c，已知． （1）求角B的大小． （2）已知，BC边上的高为AD．在下列三个条件中选择一个条件，求AD的长度． 条件①：的面积为；条件②：的周长为6；条件③：的面积为． 16. 为了解岭南某地荔枝的情况，随机抽取该地一批荔枝测量其重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中a的值； （2）估计该地单个荔枝重量的平均数x和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）已知单个重量大于37.5克的荔枝为一等品，单个重量在32.5克至37.5克的荔枝为二等品，单个重量低于32.5克的荔枝为三等品．从该批荔枝中，用分层抽样的方法抽出容量为20的样本，再从此样本的二等品和三等品中随机抽取2个，求抽到的都是三等品荔枝的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E、F、G分别是的中点． （1）证明：面； （2）证明：平面； （3）若平面，求直线到平面的距离． 18. 已知函数是偶函数， （1）求b的值； （2）直接写出函数的单调区间，并解不等式； （3）证明：方程在有唯一实根，且． 19. 已知正方体的棱长为2，E是棱AB上的一个动点（不是端点），作线段，过上一点F，作直线DF交正方体的上底面（含边界）于点G． （1）当时，说明动点G的轨迹，并求其长度； （2）若，求证：平面； （3）在（2）的条件下，且直线与平面所成角的正切值为，求AE的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $