寒假综合提升练习2025-2026学年青岛版数学九年级上册

寒假综合提升练习2025-2026学年青岛版数学九年级上册 一、单选题 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，是的弦，若，则（　　） A． B． C． D． 3．某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A． B． C． D． 4．某淘宝店铺一月份的营业额为2万元，三月份的营业额为6万元，如果二、三月份平均每月营业额的增长率为x，则由题意可得方程为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接，过D点作于H，连接，在点C移动的过程中，的最小值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，⊙O的弦AB垂直于弦CD，E为垂足，EA=2，EB=6，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（　　）（参考数据：，，结果保留2位小数） A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 ﹣1 C．2 D．3 二、填空题 11．设是方程的两个根，则　 　； 12．如图，点A，B，C在上， ，，则的半径为 　 　． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， D为边AC上一点，∠BDC=45°，AD=7，则CD=　 　. 14．已知菱形的边长为，对角线与相交于点，，垂足为点，，那么　 　． 15．已知α、β是方程的两个实数根，则的值为　 　． 16．图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O是所在圆的圆心，，点，点离水平面的高度均为15cm． （1）　 　cm． （2）木马在摇动的过程中，当半径垂直于水平面时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点离水平面的高度应小于　 　cm． 17．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，若点D是AB的中点，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的周长是　 　． 18．如图，在△ABC中，，BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作交BD的延长线于点E，则的最小值为　 　. 19．如图，在中，，平分，交于点D．若，，则　 　． 三、解答题 20．如图，在矩形中，点E，H在边上，点F，G在上，且已知，，矩形的面积为48，，． （1）四边形是___________形； （2）求图中最大矩形的对角线的长． 21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）当时，求的值． 22．“关爱儿童健康，创建育人环境”，某幼儿园教室矩形地面的长为，宽为，现准备在地面铺设一块面积为 的地毯，如图所示，一边靠墙，另三周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求未铺地毯的条形区域的宽度． 23．小明和小华利用周末一起去放风筝．如图，小明位于地面的处，小华位于小明的正西方向，与小明相距8米的处．小明的风筝位于小明的北偏东方向，与小明相距米的处；小华的风筝位于小华的北偏东方向，与小华相距8米的处．求： （1）风筝与小明之间的距离的长； （2）两个风筝之间的距离的长． 24．如图所示，内接，弦为，是直径，，的平分线交于点．连结，过作． （1）求半径和的长 （2）求的长． 25．一款服装每件的进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20件.市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件. （1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加　 　件，每件服装盈利　 　元(用含x的代数式表示). （2）在尽量让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ 26．已知：，都是锐角的高． （1）如图，求证：； （2）如图，延长至，使，连接，，过点作于点，在上取点，使，连接，求证：； （3）如图，在(2)的条件下，过点作于点，若，，求线段的长． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 【解析】【解答】解：在圆内，∵ ∴， ∵是的直径， ∴， ∴=， 故答案为：B. 【分析】利用圆周角的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠ABD的度数即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：依题意得：． 故答案为：B． 【分析】 根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解答即可． 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】C 【解析】【解答】解：作 于M， 于N.则四边形OMEN是矩形. 于M， 故答案是：C. 【分析】作 于M， 于N.则四边形OMEN是矩形然后根据垂径定理求出EM的长解答即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：过点A作于D，过点B作于E，如图所示： 设 间的距离为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：C 【分析】过点A作于D，过点B作于E，设 间的距离为，进而根据垂直结合题意进行角的运算得到，从而根据等腰直角三角形的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义即可求解。 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】5 【解析】【解答】解：∵∠C=90°， ∴ 令BC=5x，AB=13x， ∴， ∵∠BDC=45°，∠C=90° ∴∠BDC=∠CBD=45°， ∴BC=CD=5x. ∴AD=AC-CD=7x=7， ∴x=1， ∴CD=5x=5. 故答案为：5. 【分析】令BC=5x，AB=13x，由∠A的正弦得到AC=12x，△BCD是等腰直角三角形，CD=BC=5x，得到AD=7x=7，求出x的值，即可得到答案. 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】90；54 【解析】【解答】解：（1）如下图，连接，过圆心作交于点，延长交于点， ∵点离水平面的高度均为15cm， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）如下图，当半径垂直于水平面时，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，，， ∴． ∴点离水平面的高度应小于54cm． 【分析】（1）连接，过圆心作交于点，延长交于点，先利用线段的和差求出OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，最后求出AB的长即可； （2）当半径垂直于水平面时，过点作于点，过点作于点，先证出，利用相似三角形的性质可得，再将数据带入求出AE的长即可. 17．【答案】 18．【答案】3 【解析】【解答】解：如图，设AB的中点为O，连接OE，作EF⊥AC，垂足为点F， ∵∠C=90°，AE⊥BE， ∴∠C=∠AEB=90°， ∴A，B，E，C四点共圆， ∵∠C=∠EFD=90°，∠EDF=∠BDC， ∴△EDF∽△BDC， ∴， 当点E是中点时，EF的值最大，则值的最小，此时E，F，O共线. ∵AC=4，BC=3， ∴AB=， ∴OE=， ∵OE⊥AC， ∴AF=AC=2， ∴OF=， ∴EF=OE-OF=， ∴， ∴的最小值为3. 故答案为：3. 【分析】设AB的中点为O，连接OE，作EF⊥AC，垂足为点F，证明△EDF∽△BDC，得出，当点E是中点时，EF的值最大，则值的最小，此时E，F，O共线，再进行计算即可. 19．【答案】 20．【答案】（1）正方 （2）10 21．【答案】（1）； （2）0 22．【答案】未铺地毯的条形区域的宽度为 23．【答案】（1）解：如图，连接， ∵小华的风筝位于小华的北偏东方向， ∴， ∵米， ∴是等边三角形， ∴米； （2）解：如图，过点C作交于点E， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵小明的风筝位于小明的北偏东方向， ∴， ∵， ∴，， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴米． 【解析】【分析】（1）连接，进而根据方位角结合题意即可得到∠CBA的度数，进而根据等边三角形的判定与性质即可求解； （2）过点C作交于点E，先根据等边三角形的性质得到，进而结合题意进行角的运算即可得到，，再解直角三角形得到，进而结合题意运用勾股定理即可求解。 24．【答案】（1）半径为，的长为 （2） 25．【答案】（1）2x；40-x （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40−x）元，平均每天的销售量为（20＋2x）件， 根据题意得：（120−x−80）（20＋2x）＝1200， 整理得：x2−30x＋200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． ∵需要让利于顾客， ∴x＝20． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． 故答案为：20元. 【解析】【解答】解：（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件，每件商品盈利（40−x）元． 故答案为：2x，（40−x）； 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，可得结论； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（120−x−80）元，平均每天的销售量为（20＋2x）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价20元． 26．【答案】（1）证明：如图，设与相交于点， ，， ， ， ， （2）解：如图， ，， ， ，， ≌， ． （3）解：如图，连接，． ≌， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 、、、四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则，，，在中，， ， 或舍掉， ． 【解析】【分析】（1）设AD与EC相交于点F，由同角的余角相等可得∠B=∠AFE，然后由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解； （2）由同角的余角相等可得∠ABF=∠FCM，结合已知用边角边可证△ABF≌△FCM，于是由全等三角形的性质可求解； （3）连接AM、FN，由（1）中的全等三角形可得∠FAB=∠MFC，由角的构成可得∠MFA=90°，于是可得△MFA是等腰直角三角形，则∠FMA=45°，结合已知可得M、N、F、A四点共圆，由圆周角定理可得∠FNA=∠FMA=45°，易得△FNG是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得FG=GN，由线段的构成得GM=MN+GN=MN+GFMN+BF-BG=MN+MC-BG=CN-BG可求得GM的值，设MN=x，在直角三角形ANM中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $