1.3集合的基本运算同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合基本运算，通过基础巩固、能力提升、创新拓展三层设计，实现从单一运算到综合应用的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|交集、并集、补集运算|单选1-7（如交集概念）、填空11-14（基础运算），夯实概念理解| |提升层|含参数集合关系、容斥原理|单选8-10（容斥原理应用）、填空15-17（参数范围），强化逻辑推理| |拓展层|新定义、多维集合问题|解答题19（n维向量集合性质），培养创新思维与数学表达|

1.3 集合的基本运算 同步练习（附答案及解析）） 一、单选题 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 5．已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 6．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 7．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 9．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 10．若集合，，则中的元素个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 11．集合，，则_________________. 12．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 13．已知全集，集合均为的子集，且，则满足条件的集合的个数是_____ 14．已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 15．已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 16．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称子集族构成集合的一个划分．已知集合，则集合的所有划分的个数为__________． 17．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为_____. 三、解答题 18．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 19．给定正整数，设n维向量集合.对任意，其中，，定义. 设，若A同时满足下面两个性质，则称A具有性质P. ①对任意，有； ②对任意，其中，均存在，使得. (1)已知，，判断，是否具有性质P（结论无需证明）； (2)当时，若集合A具有性质P，且元素个数为3.证明：对任意，且，有； (3)当时，若集合A具有性质P，求A中元素个数的最小值. 20．已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 21．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.3 集合的基本运算 同步练习（附答案及解析））》 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B D D A C D C 1．C 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由，而， 则. 2．C 【知识点】根据交集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】∵ ，∴ ，且 . 若，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，此时，符合题意. 若，则，，不满足集合元素的互异性，舍去. 综上，. 3．B 【知识点】并集的概念及运算 【详解】集合，集合，因此. 4．B 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 5．D 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【详解】由题意，又， 故. 6．D 【知识点】补集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数 【详解】， ， 所以. 7．A 【知识点】交并补混合运算 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 8．C 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 9．D 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 10．C 【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合元素个数 【详解】因为集合，， 所以， 则中有4个元素. 11． 【知识点】交集的概念及运算 【详解】集合，，则. 12．5或10 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】根据给定条件求出，再按分类讨论求解. 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 13． 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据补集运算确定集合或参数 【详解】，，， 满足条件的集合的个数为. 14．2 【知识点】交并补混合运算 【详解】依题意，，而，故，即有2个元素. 15． 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 16．4 【知识点】根据并集结果求集合元素个数、集合新定义 【分析】解绝对值不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分. 【详解】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合的所有划分的个数为4. 故答案为：4 17． 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示，根据集合间的运算直接可得解. 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示， 又,，则， 所以. 故答案为： 18．(1)或 (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 19．(1)不具有性质具有性质； (2)证明：由中元素个数为3，设． 假设存在，且，使得． 不妨设． 由性质①，得中恰有一个中恰有一个1． 所以存在，使得，不妨设． 对于任意的，其中，有，且． 由集合具有性质②，故对任意的，有． 所以，与性质①矛盾！ 故． (3)6 【知识点】集合新定义 【详解】（1）不具有性质具有性质． 由，，得 ， 对， 因为， 则符合性质①， 当时，若，此时， 若时，此时，故不符合性质②； 对，因为中的每个元素均含有4个1和1个0，故满足性质①， 当时，此时或使得， 当时，此时使得， 当时，此时或使得， 当时，此时使得， 当时，此时或使得， 当时，此时或或使得， 当时，此时或使得， 当时，此时或使得， 当时，此时使得， 当时，此时或使得， 故满足性质②， 综上不具有性质具有性质． （2）略 （3）设集合中元素个数为． 设．由性质①，得中1的个数恰为4． 所以中所有元素的各个分量中，1的总个数恰为． 由性质②，设． 取，则对于任意的，均存在，使得． 因为各个分量中1的个数为4， 所以对任意，均恰好存在互不相等，且不为1的,,使得． 故集合中至少有3个元素满足． 同理，集合中至少有3个向量满足． 故集合中的所有元素的各个分量中，1的个数至少为． 所以，即． 又， 时，具有性质． 故集合中元素个数的最小值为6． 20．(1) (2) 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 21．(1)-3 (2) 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）由得到，分和有一个元素求解. 【详解】（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $