精品解析：山东省泰安市宁阳县2024-2025学年（五四学制）八年级下学期期末考试数学试题

2024－2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开方的因数（或因子），且分母不含根号，逐一分析各选项是否满足条件即可作答． 【详解】解：A、的被开方数7是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式的条件； B、的被开方数的分母10含非平方因子，且可化为，需进一步化简，不符合条件； C、，被开方数含分母5，不符合条件； D、，被开方数12含平方因子4，可化简，不符合条件； 故选：A 2. 在中，，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A：和均为最简根式且非同类，无法合并，故错误； B：，故错误； C：，故正确； D：，故错误； 故选：C． 4. 关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据计算根的判别式即可确定解的情况． 【详解】解： ∵， ∴方程始终有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故选：B 6. 如图，在四边形中，，与相交于点，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半．先连接，，结合，E为中点得，根据等腰三角形的性质得，，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】证明：连接， 在和中 ∵，E为中点 ∴， ∴ ∵F为中点， ∴， ∵， ∴ 在中， ∴． 故选：C 7. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数可判定A正确；进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，由，推出，即可判定D正确；根据，为公共角证明，根据相似三角形的性质可判定B错误,C正确；熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，由作图可知：，为的角平分线， ，故A正确， ， ， ， ， ， ， ，故D正确， ，， ， ，即， 整理得：， ， ， ，故B错误， ，， ， ， ， ，，， ，故C正确． 故选：B． 8. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设的长为，则，根据长方体盒子的表面积为，可知阴影部分面积为，而阴影部分可以拼接成一个边长为的正方形，据此建立方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 由题意得， 故选：D． 9. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 10. 如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形是正方形，则，所以，可判断；把绕点顺时针旋转得到由旋转性质得，，，，证明，然后根据性质可判断；证明，则，从而判断，由四边形是正方形，，，，，证明，通过相似三角形性质可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图， 把绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 12. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．直接根据根与系数的关系求出即可． 【详解】解∶∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为∶1． 13. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 直接根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边上，若满足，则的长为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点K， ∵， ∴可以设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：36． 15. 如图，在边长为6的菱形中，，点M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、折叠问题及勾股定理的运用，角直角三角形的性，熟知相关性质、定理，正确添加辅助线是正确解答此题的关键． 过点作于点，根据在边长为6的菱形中，，为中点，得到，从而得到，，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 在边长为6的菱形中，，为中点， ，， ， ， ， ， ∵折叠， ∴， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，90分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） （3）． 【答案】（1）0 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先把各项二次根式化为最简二次根式，再进行乘法运算，最后合并同类二次根式． （2）利用完全平方公式展开，对进行除法运算（可转化为分别除以再相加 ），然后合并同类二次根式． （3）根据零指数幂的性质计算，把化为最简二次根式，结合特殊角的三角函数值进行计算，最后合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的化简与运算规则、零指数幂的定义、特殊角三角函数值是解题的关键． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法计算即可； （2）根据公式法计算即可． 【小问1详解】 解：原方程可化为： 即， 即， ，； 【小问2详解】 解：方程整理得：， ，，， ， ， ， 18. 已知直角三角形的两条直角边分别是、，斜边是， （1）如果，，求及直角三角形的面积； （2）如果，，求及． 【答案】（1）的值为；直角三角形的面积为1 （2）； 【解析】 【分析】本题考查解三角形，三角形的面积，二次根式的混合运算， （1）根据勾股定理即可求出斜边c的长度，再根据面积公式即可得出直角三角形的面积； （2）根据勾股定理即可求出b的长度，再根据正切函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵在直角三角形，直角边，， ∴ ， ∴的值为； ∴直角三角形的面积为：； 【小问2详解】 解：∵在直角三角形，直角边，斜边， ∴， ∴， ∴的值为，． 19. 已知，如图，中， （1）求证：； （2）为线段上一点，，， ①求证： ②求． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）证明得到，即可证明； （2）①先计算得到，证明，等量代换即可证明； ②根据求出，由计算即可． 【小问1详解】 证明：，． ， ， 即； 【小问2详解】 ①证明：，， ， ， 又， 由（1）得 ②解：由（1）得， 由①得 20. 在一次数学实践活动中，小刚同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内． （1）求点到地面的距离． （2）求古塔的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】（1）点到地面的距离为 （2）古塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查解三角形的实际应用． （1）利用坡度比，设，，在中，由勾股定理列方程求解得到和，即可解答； （2）作于点，则四边形是矩形，在中，由三角函数定义求出，数形结合，由代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，斜坡的斜面坡度，， 设，， 由勾股定理可得， 即，解得（负值已舍）， ，， 点到地面的距离为． 【小问2详解】 解：如图所示：作于点， 则四边形是矩形， ， ， 在中，，， 则，即， 解得， ， 答：古塔的高度为． 21. 如图，矩形的对角线与相交于点，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点，过点作的平行线，交于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质,线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）由尺规作图可知：直线是线段的垂直平分线，则，，可证明，得到，据此可证明四边形是菱形； （2）由矩形的性质可得，，则可证明是等边三角形，得到，，由勾股定理可得，由菱形的性质可得，再由勾股定理可得，则，则，据此可得答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下， 由尺规作图可知：直线是线段的垂直平分线， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵矩形的对角线与相交于点， ∴，， ∴， ∴等边三角形， ∵ ∴，， ∴， ∵四边形是菱形． ， 在中，， ∴， ∴， ， ∴， ． 22. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量月平均增长率； （2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； （2）当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据2月份到4月份销售量从256变成400建立方程求解即可； （2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，根据总利润为8400元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，得， 整理得， 解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 23. 【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点E在边上，连接，F为延长线上一点，连接，，且的延长线垂直于，垂足为点H． ①求的值； ②求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若，，请你求出的长． 【答案】（1），，理由见解析；（2）①；②；（3）8 【解析】 【分析】（1）只需要证明，即可得到结论，，然后利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）①只需要证明，即可得到； ②根据①中，求出，设，则，然后在，利用勾股定理求出，利用正弦定义求解即可； （3）由平移的性质可得，，结合，，可求出，再证明垂直平分，得到，根据，可设，利用勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 详解】解：（1），， 理由如下： 延长交于G， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）解：①∵， ∴． 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）由平移的性质可得，， ∵，， ∴， ∵点H为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴可设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 5. 如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 6. 如图，在四边形中，，与相交于点，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 7. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（ ） A. B. C D. 8. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 10. 如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（ ）个． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 若，则______． 12. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 13 计算：______． 14. 如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形一边在上，点和点分别在边上，若满足，则的长为______． 15. 如图，在边长为6的菱形中，，点M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为_______． 三、解答题（本大题共8小题，90分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） （3）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知直角三角形的两条直角边分别是、，斜边是， （1）如果，，求及直角三角形的面积； （2）如果，，求及． 19. 已知，如图，中， （1）求证：； （2）为线段上一点，，， ①求证： ②求． 20. 在一次数学实践活动中，小刚同学要测量古塔高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内． （1）求点到地面的距离． （2）求古塔的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 21. 如图，矩形的对角线与相交于点，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点，过点作的平行线，交于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 22. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点E在边上，连接，F为延长线上一点，连接，，且的延长线垂直于，垂足为点H． ①求的值； ②求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若，，请你求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $