精品解析：山东省滨州市惠民县、无棣县2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025-2026学年度第二学期学业质量检测 八年级数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（ ） A. 商品名称 B. 数量 C. 单价 D. 金额 2. 下列根式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，该多边形的一个外角是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数必经过点 B. 随的值增大而增大 C. 与轴交于 D. 图象经过第一、二、四象限 6. 从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正方形 D. 矩形 7. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们的成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，在四边形中，，是对角线的中点，点从点出发，沿方向匀速运动，到达点后停止．设点的运动路程为，的面积为，得到如图所示的函数图象，则对角线的长为（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共96分） 二、填空题（每小题3分，共计18分） 9. 若一组数据1，3，m，6，8的众数是6，则这组数据的第一四分位数为______． 10. 将直线y＝2x向上平移3个单位所得的直线解析式是_____． 11. 据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高3米，则其起跳时的速度应为______米/秒（结果化为最简二次根式）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O，顶点F，C在x轴上，顶点E的坐标是_____． 13. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 14. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是__________________（填序号）． ①小数比小文先出发15秒；②；③小文提速后的速度为；④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． 三．解答题（共计78分） 15. 计算 （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 如图，四边形是矩形，点在的延长线上，．求证：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式及点的坐标； （2）求线段的长度； （3）若点是轴上一点，且的面积为2，请直接写出点的坐标． 18. 北京时间2026年5月24日23时08分，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，并于25日2时45分完成与空间站天和核心舱的径向自主快速交会对接，历时3.5小时．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，88，92，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 （1）上述表中，______，______，______，并补全七年级的箱线图； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩______； （3）若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 19. 再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 （1）已知如图在中，，，．的面积______； （2）当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； （3）在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 21. 如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形． （1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形； （2）若菱形ABEF的周长为16，AE=4，求∠C的大小． 22. 根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； （2）在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ （4）已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 23. 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 【问题解决】 （1）如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时得到线段，把纸片展平，与交于点． ①__________； ②求证：． 【拓展探究】 （2）操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平． ①如图2，当点落在折痕上时，延长交于点，判断与的数量关系并证明； ②爱国同学在以上操作的基础上继续探究，连接，当点落在上且的长为6时，（如图3），过点作于点，请求出的长． ③如图4爱思考的爱国同学又有新的想法：他在操作二时在上选一点，沿折叠，使点落在上点处，然后连接并延长交于点，连接，交于点，他猜想为等边三角形，请你帮爱国同学进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期学业质量检测 八年级数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（ ） A. 商品名称 B. 数量 C. 单价 D. 金额 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，若变量A随着变量B的变化而变化，那么B就叫做自变量，A就叫做因变量，据此可得答案． 【详解】解：∵付款金额是随着矿泉水的数量的变化而变化的， ∴自变量是数量， 故选；B． 2. 下列根式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中的根指数为，被开方数，∴满足二次根式定义，一定是二次根式； 选项B中，的符号不确定，当时无意义，因此不一定是二次根式； 选项C中，被开方数，无意义，不是二次根式； 选项D中，是三次根式，根指数为，不是二次根式． 3. 若一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，该多边形的一个外角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再利用任意多边形外角和为，结合该多边形每个内角相等则每个外角也相等，即可计算出一个外角的度数． 【详解】设这个多边形是边形， 由题意得，， 解得， ∵任意多边形的外角和为，该多边形每个内角相等，因此每个外角也相等， ∴该多边形的一个外角为． 4. 下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：观察可知，只有选项B中的图象，对于每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，能表示是的函数，其他选项，均存在一个确定的的值，有2个值与之对应，不能表示是的函数. 5. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数必经过点 B. 随的值增大而增大 C. 与轴交于 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：当时，， ∴函数不经过点，A错误； ∵， ∴随的值增大而减小，B错误； ∵函数与轴相交时，令得，解得， ∴函数与轴交于，C错误； ∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，D正确． 6. 从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正方形 D. 矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形之间的关系，解答即可． 本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 故选：C． 7. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们的成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】当几组数据的平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，只需比较四个方差的大小即可得到答案． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁四名同学成绩的平均数相同，，，，， ∴，即最小， ∴成绩最稳定的是乙． 8. 如图，在四边形中，，是对角线的中点，点从点出发，沿方向匀速运动，到达点后停止．设点的运动路程为，的面积为，得到如图所示的函数图象，则对角线的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知菱形边长为，当点运动到点时面积最大，此时根据面积求高，再利用相似三角形的性质得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由图2可知， 过作于点，过作于点， 则，解得， ，， ， ， ， 为中点， ， 在中，， ， 在中，． 第Ⅱ卷（非选择题共96分） 二、填空题（每小题3分，共计18分） 9. 若一组数据1，3，m，6，8的众数是6，则这组数据的第一四分位数为______． 【答案】3或2 【解析】 【分析】先根据众数的定义求出的值，再将数据从小到大排序，根据四分位数的计算规则求解第一四分位数. 【详解】 一组数据，，，，的众数是 将这组数据从小到大排列得：，，，， 法一：数据个数，第一四分位数的位置为 位置不是整数，将向上取整得，因此第一四分位数为排列后第个数据，即； 法二：前两个数据为1,3， 故第一四分位数为. 10. 将直线y＝2x向上平移3个单位所得的直线解析式是_____． 【答案】y=2x+3． 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答． 【详解】直线y=2x向上平移3个单位所得的直线解析式是y=2x+3． 故答案为y=2x+3． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移原则是解题的关键. 11. 据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高3米，则其起跳时的速度应为______米/秒（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【解析】 【分析】将，代入公式求解，结合速度的实际意义确定为正，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解：将，代入，得， 整理得， 由实际意义可知，， 因此． 12. 如图，在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O，顶点F，C在x轴上，顶点E的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接，作轴于点，由正多边形的性质可得，，从而可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，再由勾股定理计算，然后根据点E所在象限即可写出坐标，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，作轴于点， ∵在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴顶点E的坐标是， 故答案为：． 13. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 【答案】60 【解析】 【分析】延长，交于点，先证出，再求出的长，然后根据图中空白部分的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵为的斜边，，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵四边形，，均为正方形， ∴，，，， ∴四边形是长方形，， ∴，点共线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵，，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∴图中空白部分的面积是 ． 14. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是__________________（填序号）． ①小数比小文先出发15秒；②；③小文提速后的速度为；④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 【详解】解：由图象可知：小数比小文早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故③正确； 故提速后小文行走所用时间为：， ， ， ∴小数的速度为， ，故②错误； 当时，小文和小数的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离逐渐减小到0， ，故正确 综上：正确． 三．解答题（共计78分） 15. 计算 （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴ . 16. 如图，四边形是矩形，点在的延长线上，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】利用矩形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，得到，等量代换得到． 【详解】略 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式及点的坐标； （2）求线段的长度； （3）若点是轴上一点，且的面积为2，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；C点的坐标是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出点的坐标，勾股定理求出的长即可； （3）根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴， 把，，代入，得： ，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，； ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由题意，的面积， ∴， ∵， ∴或，即点的坐标为或. 18. 北京时间2026年5月24日23时08分，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，并于25日2时45分完成与空间站天和核心舱的径向自主快速交会对接，历时3.5小时．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，88，92，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 （1）上述表中，______，______，______，并补全七年级的箱线图； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩______； （3）若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【答案】（1）90；90；92；补全七年级的箱线图如图： （2）87 （3）400人 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 12个数据，则中位数是第6，7个数据的平均数，且七八年级数据均已排列， ∴，， 八年级数据中出现的次数最多，故众数； 补全箱线图见答案； 【小问2详解】 解：（分）； 【小问3详解】 解：（人） 答：该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数有人． 19. 再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 （1）已知如图在中，，，．的面积______； （2）当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； （3）在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用海伦公式进行计算即可； （2）利用秦九韶公式进行计算即可； （3）用等积法进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴的面积； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴这个三角形的面积为 ； 【小问3详解】 解：由题意，， ∵，，， ∴， ∴. 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【小问1详解】 解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 21. 如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形． （1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形； （2）若菱形ABEF的周长为16，AE=4，求∠C的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）60°． 【解析】 【分析】（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD，即可得∠BAE＝∠EAF．再由四边形ABCD为平行四边形，可得BC∥AD，根据平行线的性质可得∠AEB＝∠EAF，所以∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的性质可得AB＝BE，即可得BE＝AF，所以四边形ABEF为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABEF为菱形； （2）连接BF，已知四边形ABEF为菱形，根据菱形的性质可得BF与AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE，OA＝AE＝．再由菱形ABEF的周长为16，可得AF＝4．所以cos∠OAF＝＝．即可得∠OAF＝30°，所以∠BAF＝60°．再由平行四边形的性质即可得∠C＝∠BAD＝60°． 【详解】（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD． ∴∠BAE＝∠EAF． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD． ∴∠AEB＝∠EAF． ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE． ∴BE＝AF． ∴四边形ABEF为平行四边形． ∴四边形ABEF为菱形． （2）连接BF， ∵四边形ABEF为菱形， ∴BF与AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE． ∴OA＝AE＝． ∵菱形ABEF的周长为16， ∴AF＝4． ∴cos∠OAF＝＝． ∴∠OAF＝30°， ∴∠BAF＝60°． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠C＝∠BAD＝60°． 22. 根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； （2）在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ （4）已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 【答案】（1）1 （2）如图所示： （3）函数有最小值，当时，有最小值，最小值是 （4） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）直接根据图象作答即可； （4）根据给定的函数解析式，推出当时，函数值最大，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵（其中）， ∴当时，函数有最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴ ∵， ∴到的距离小于3到的距离， ∴当时，函数值最大为， 解得. 23. 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 【问题解决】 （1）如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时得到线段，把纸片展平，与交于点． ①__________； ②求证：． 【拓展探究】 （2）操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平． ①如图2，当点落在折痕上时，延长交于点，判断与的数量关系并证明； ②爱国同学在以上操作的基础上继续探究，连接，当点落在上且的长为6时，（如图3），过点作于点，请求出的长． ③如图4爱思考的爱国同学又有新的想法：他在操作二时在上选一点，沿折叠，使点落在上点处，然后连接并延长交于点，连接，交于点，他猜想为等边三角形，请你帮爱国同学进行证明． 【答案】（1）解：①； ②证明：连接， 由①可知，，直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由折叠可得； （2）解：①，理由如下： 如图连接， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ； ②； ③证明：如图，连接， 由折叠可知，，则， 又∵， ∴， ∴，， ∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）①折叠的性质推出是等边三角形，即可得出结果；②连接，证明为的中位线，得到，即可得出结论； （2）①连接，证明，即可证明结论； ②连接，设，则，根据勾股定理计算即可． ③连接，证明得出，，进而证明四边形是平行四边形，得出，根据为的中垂线，得出，进而证明，即可得出，即可得证． 【小问1详解】 解：①连接， 由折叠可知：直线是线段的垂直平分线， ∴， 又∵对折至，折痕为， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ②略； 【小问2详解】 解：①略 ②解：如图，连接， 正方形纸片，， 则， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，则， 由折叠得， ，， 在中，， 在中，， ， 解得， ． ③略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $