三角函数的图像与性质综合、三角函数的实际应用专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数的图像与性质综合、三角函数的实际应用专项训练 三角函数的图像与性质综合、三角函数的实际应用专项训练 考点目录 三角函数的图像与性质综合 三角函数的实际应用 考点一 三角函数的图像与性质综合 例1．（25-26高一上·海南·期末）已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)若将函数的图象上各点向左平移个单位后得到函数的图象，记函数. （i）求的值域； （ii）若，，求的值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）因为， 令，，解得， 所以图象的对称轴方程是. （2）由题知，， 于是 （i）因为，所以， 即的值域是. （ii）若，即， 因为，所以， 所以，， 所以， 即. 例2．（25-26高三上·福建·月考）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数． 所以. 因为，所以，所以.令， 根据二次函数的性质，在上单调递减，所以. 因为，. 所以在区间上的值域为. （2）令，则，所以. 列出零点为， 因为函数在区间上有4个零点， 所以，解得. 所以的取值范围为. 例3．（25-26高一上·天津·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值与最小值并求出取得最大值与最小值时的值； (3)若函数在区间上恰有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2)，此时；，此时 (3) 【详解】（1）因为 ， 所以函数的最小正周期为； （2）因为，所以， 所以，所以，即， 所以，此时，解得； ，此时，解得； （3）由函数在区间上恰有一个实根， 可得和在区间上恰有一个交点， 画出函数在区间上的图像如图所示：    根据与有唯一公共点，可得或， 所以实数的取值范围为． 例4．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）由题意，． 求单调递减区间： 由，得， 求单调递增区间： 由，得． 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）由题意，当时，关于的不等式有解， 即不等式有解; 因为当时，，所以有解， 只需要即可． 而． 令，则在上单调递减， 所以当时，，即， 所以实数的取值范围为． 变式1．（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知函数． (1)求的对称中心坐标； (2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：（1）因为． 由，得． 故的对称中心坐标为． （2）由（1）知， 那么将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到． 当时，，， 由方程有解，可得实数m的取值范围为 变式2．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知函数，其中． (1)若函数的周期为，求函数在的值域； (2)若在区间上为增函数，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 由周期为且，得， 解得，即，由，得，故，所以函数在上的值域为． （2）因为在区间上单调递增， 故在区间上为单调递增． 由题知，存在使得成立，则必有 则，解得，故，所以的最大值为． 变式3．（25-26高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数与的图象关于对称，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由图知，，， ，解得， 又过点，即，， ，解得， ，， ； （2）的单调递增区间为， ， 解得， 故的单调递增区间为； （3）函数与的图象关于对称， ， 则函数的最小正周期，且为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 的解集为． 变式4．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题意可得 ， 所以. （2）由（1）可知，， 当时，， 因为方程在区间有两个不同的实数解， 所以与，图象有两个不同的交点， ，图象如图： 方程有两个不同的解，由图象可知. 所以实数的取值范围为 （3） 当时，，则， 当，，则， ，记在上的值域为， 因为若对任意的，总存在，使得成立， 所以，显然当时，不满足题意； 当时，，故， 则，解得，所以； 当时，，故， 则，解得，所以； 综上所述，． 考点二 三角函数的实际应用 例1．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）佳木斯水源山公园是国家AAA级旅游区，公园内的动物园动物种类丰富，此外，公园内还有水上乐园、过山车、摩天轮等游乐设施.其中摩天轮又名“冬极之眼”，是佳木斯的地标性建筑，其最高点离地面高度89m，最低点离地面高度9m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，假如你坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为40m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在你乘坐一周的过程中，有16min时间距地面高度超过29m 【答案】D 【详解】设距离地面高度为，其中, 因为最高点离地面高度，最低点离地面高度， 所以，，即摩天轮的直径为，所以A错误； 又因为转一周的时间约为，所以，可得， 所以， 又由当时，，可得，即， 因为，所以，所以，所以B、C错误； 由， 令，即，即， 可得，解得， 因为，令，可得， 所以乘坐一周的过程中，有时间距地面高度超过，所以D正确. 故选：D. 例2．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 例3．（25-26高一上·安徽阜阳·月考·多选）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻t（单位:s）时过山车（看作质点）离地面的高度h（单位:m）满足.已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面52 m，当t=11时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面12 m，则（   ） A．A=30 B．ω= C．过山车启动时距地面32-10 m D．一个周期内过山车距离地平面不低于42 m的时间是4 s 【答案】BCD 【详解】由题意知，周期T满足，解得T=12，所以=. 又因为解得 所以.由，得， 则，解得. 因为，所以，所以. 故,A错误，B项正确; ,故C项正确; 令，则， 则，故， 即， 所以一个周期内过山车距离地平面不低于42 m的时间是4 s，故D项正确. 故选：BCD 例4．（25-26高一上·北京·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有 ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】②③ 【详解】对于①：由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故①错误； 对于②：因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故②正确； 对于③：若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故③正确； 对于④：，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故④错误． 故答案为：②③ 例5．（24-25高一下·贵州安顺·期末）某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为， 且的最小正周期为，即正好为一个满周期， 可知的最大值为，最小值为， 所以最大温差为， 由题意得，即 又因为为正实数， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 例6．（25-26高一上·湖南长沙·期末）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.    (1)若，求的长； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为平方米. 【详解】（1）因为，在中，（米）， 故（米）， 在中，则（米）. （2）因为四边形是矩形，可得， 所以在中，，， 在中，，则， 于是， 则矩形的面积 ， 所以 由，得， 则当时，即时，， 所以当时，取得最大值，最大值为平方米. 变式1．（25-26高三上·山东青岛·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（   ） A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时10秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】A 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 由A可知，点P第一次到达最高点需用时秒，B错误； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C错误； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：A 变式2．（24-25高一下·安徽·月考）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【分析】由数据知，所以，A错误；，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·海南海口·月考·多选）潮汐是海洋在日月引力作用下产生的周期性涨落现象．某港口一天的海水水位变化近似满足关系式，其中表示海水水位，表示时间，则（    ） A．曲线的振幅为2 B．曲线的最小正周期为12 C．曲线关于点中心对称 D． 时，函数的值域为 【答案】ABD 【详解】对于A，曲线 的振幅为2，故A正确． 对于B，曲线 的最小正周期 ，故B正确． 对于C，由，得，所以曲线 的图象的对称中心为，故C错误． 对于D，时，，此时，则函数 的值域为，故D正确． 故选：ABD． 变式4．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【详解】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故答案为：. 变式5．（24-25高一下·上海·月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 【答案】 【详解】由函数， 因为，可得， 所以，可得， 所以，即， 又由函数的图象过点，可得， 即，可得，即，即， 因为，所以为的倍数，所以或， 当时，可得， 则， 此时是函数的一个周期，不符合图象； 当时，可得， 则 此时是函数的一个周期，符合函数的图象，所以. 故答案为：. 变式6．（25-26高一上·陕西榆林·期末）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1），该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米．摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后座舱距离地面的高度为H米，．已知游客在座舱转到距离地面最近的位置点P处（如图2）进舱，转一周大约需要18分钟．      (1)当游客坐上摩天轮的座舱后，在摩天轮转动一周的过程中，求H关于t的函数解析式； (2)坐上摩天轮转动一周，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．请问游客能有多长时间感受这个过程？ 【答案】(1)， (2)游客坐上摩天轮能有6分钟感受这个过程. 【详解】（1）， 由题可得，解得， 又，得，所以， 因为，所以，故， 所以，. （2）由（1），，， 令，则，即， 因为，所以，所以，解得， 所以游客坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数的图像与性质综合、三角函数的实际应用专项训练 三角函数的图像与性质综合、三角函数的实际应用专项训练 考点目录 三角函数的图像与性质综合 三角函数的实际应用 考点一 三角函数的图像与性质综合 例1．（25-26高一上·海南·期末）已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)若将函数的图象上各点向左平移个单位后得到函数的图象，记函数. （i）求的值域； （ii）若，，求的值. 例2．（25-26高三上·福建·月考）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 例3．（25-26高一上·天津·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值与最小值并求出取得最大值与最小值时的值； (3)若函数在区间上恰有一个实根，求实数的取值范围． 例4．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知函数． (1)求的对称中心坐标； (2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围． 变式2．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知函数，其中． (1)若函数的周期为，求函数在的值域； (2)若在区间上为增函数，求的最大值． 变式3．（25-26高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数与的图象关于对称，求不等式的解集． 变式4．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 考点二 三角函数的实际应用 例1．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）佳木斯水源山公园是国家AAA级旅游区，公园内的动物园动物种类丰富，此外，公园内还有水上乐园、过山车、摩天轮等游乐设施.其中摩天轮又名“冬极之眼”，是佳木斯的地标性建筑，其最高点离地面高度89m，最低点离地面高度9m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，假如你坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为40m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在你乘坐一周的过程中，有16min时间距地面高度超过29m 例2．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 例3．（25-26高一上·安徽阜阳·月考·多选）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻t（单位:s）时过山车（看作质点）离地面的高度h（单位:m）满足.已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面52 m，当t=11时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面12 m，则（   ） A．A=30 B．ω= C．过山车启动时距地面32-10 m D．一个周期内过山车距离地平面不低于42 m的时间是4 s 例4．（25-26高一上·北京·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有 ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 例5．（24-25高一下·贵州安顺·期末）某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ． 例6．（25-26高一上·湖南长沙·期末）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.    (1)若，求的长； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 变式1．（25-26高三上·山东青岛·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（   ） A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时10秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 变式2．（24-25高一下·安徽·月考）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 变式3．（25-26高三上·海南海口·月考·多选）潮汐是海洋在日月引力作用下产生的周期性涨落现象．某港口一天的海水水位变化近似满足关系式，其中表示海水水位，表示时间，则（    ） A．曲线的振幅为2 B．曲线的最小正周期为12 C．曲线关于点中心对称 D． 时，函数的值域为 变式4．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 变式5．（24-25高一下·上海·月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 变式6．（25-26高一上·陕西榆林·期末）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1），该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米．摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后座舱距离地面的高度为H米，．已知游客在座舱转到距离地面最近的位置点P处（如图2）进舱，转一周大约需要18分钟．      (1)当游客坐上摩天轮的座舱后，在摩天轮转动一周的过程中，求H关于t的函数解析式； (2)坐上摩天轮转动一周，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．请问游客能有多长时间感受这个过程？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $