四川凉山州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025—2026学年度下期期末 高一数学参考答案及评分标准 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1~4．ACAB 5~8．DDCB 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分． 9．AC 10．BC 11．AB 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 13．【答案】2 14．【答案】-1 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解】（1），， （2分） 由已知， 得， （4分） 解得； （6分） （2），， （8分） 若，，三点共线，则， 则， （12分） 解得． （13分） 16．（15分）（本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分） （1）证明：如图1所示，连接， 空间四边形中， 当时， 即、分别是、的中点 （2分） 又、分别是、的中点， 所以且，且， （4分） 所以且． 即四边形是平行四边形． （7分） （2）如图2所示，连接，， 空间四边形中，、分别是、的中点， 则且． （8分） 又，则且． （11分） 即且， （12分） 则与交于一点，记为， 平面，在平面内， 同理在平面内，且平面平面， ∴点在直线上， ∴直线，，相交于一点． （15分） 17．（15分） 【解】（1）因， 由正弦定理，得， 即． （3分） 所以，又， 所以． （6分） （2）由（1）知． 所以， （8分） 又， 所以， （10分） 所以，即． 所以的周长为． （15分） 18．（17分） 【解】（1）因为， 所以； （3分） （2）由频率分布直方图可知，月平均用电量众数的估计值为230度， （5分） 记、、…、的频率分别为，，…，， 则，，，，，，， 于是平均数的估计值为 ， （9分） 即该城市所有居民月平均用电量的众数为230度，平均数的估计值为225.6度； （10分） （3）因为，， （11分） 因此，75%分位数位于内．由， （14分） 可估计样本数据的75%分位数约为247， （15分） 又， 因此，可估计样本数据的95%分位数约为280， （16分） 即第二档的月平均用电量数据范围为．（区间端点开闭不严格要求） （17分） 19．（17分）（本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分） （1）证明：设的中点为，连接，，如图所示， （1分） 因与均为等腰直角三角形，， 所以，，， 且平面，平面， （4分） 故平面，且平面，即； （5分） （2）解：因为故，， 且，由（1）小题可知， （Ⅰ）因， 则为直线和所成的角或补角， （6分） 当时，， 因，， 则，所以， （8分） 中，由余弦定理得， 又，所以，则， 即直线和所成的角为； （10分） （Ⅱ）如图，在平面上，过点作于，连接， 因，所以， （11分） 在菱形中，，， 所以， 因为， 所以， （13分） 在菱形中，同理可得， （14分） 又，则中，由余弦定理得， ， （15分） 即，又， 即， 即或（舍去）， 所以． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下期期末 高一数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．甲学校有2000名学生，乙学校有2500名学生，丙学校有3000名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为75的样本，应在甲，乙，丙三校分别抽取学生（ ▲ ） A．20人，25人，30人 B．30人，25人，20人 C．25人，30人，20人 D．20人，30人，25人 2．已知为虚数单位，且复数满足，则的虚部为（ ▲ ） A． B． C． D． 3．某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（ ▲ ） A．， B．2， C．， D．2， 4．如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地才出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船航行驶完全程需要的时间（ ▲ ） A． B． C． D． 5．已知复数是关于的方程的一个根，则（ ▲ ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 6．已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为，则（ ▲ ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ▲ ） A． B． C． D． 8．在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（ ▲ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9．下列关于平面向量的说法错误的是（ ▲ ） A．若，则或 B．若与反向，则 C．若，，则 D．若存在实数，使得，则 10．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ▲ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 11．已知一组数据，，，，的平均数为1，方差为1，则该组数据的（ ▲ ） A．中位数可能为1 B．众数可能为1 C．极差可能为1 D．第60百分位数可能为2 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．将一个长、宽、高分别是，，的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为__________． 13．已知，，为单位圆上三点，，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则__________． 14．若，，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知向量，，． （1）若，求实数的值； （2）已知，，，若，，三点共线，求实数的值． 16．（15分，本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分） 在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别边，上的点，且 （1）如图1，若，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，求证：直线，，相交于同一点． 17．（15分）已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 18．（17分）为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）．数据的分组依次为、、、、、、. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和平均数的估计值（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，将月平均用电量从低到高分为一、二、三档，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，请确定第二档的月平均用电量范围（精确到1）． 19．（17分，本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分） 如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，． （1）证明：； （2）记二面角的大小为． （Ⅰ）若，求直线和所成角的大小； （Ⅱ）若二面角的大小为，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $