四川凉山州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025—2026学年度下期期末 高一数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡 上，并检查条形码粘贴是否正确。 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔 书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 3.考试结束后，将答题卡收回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.甲学校有2000名学生，乙学校有2500名学生，丙学校有3000名学生，为统计三校学生某 方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为75的样本，应在甲，乙，丙三校分别抽取 学生（▲） A.20人，25人，30人 B.30人，25人，20人 C.25人，30人，20人 D.20人，30人，25人 2.已知i为虚数单位，且复数z满足(1+i)z=2,则z的虚部为（▲） A.1 B.i C.-1 D.-i 3.某简谐运动的函数解析式为y=sima- 一，则这个简谐运动的频率和相位分别为（▲） A子m-胃 B2m-胃 c3胃 D.2号 4.如图，一条河两岸平行，河的宽度d=300m,一艘船从河岸边的A地才出发，向河对岸航行. 已知船的速度的大小为=250m/min,水流速度2的大小为引=200mmin,那么当航程 最短时，这艘船航行驶完全程需要的时间=（▲） A.1.2min B.2min C.3min D.4min 高一数学第1页（共4页） 5.已知复数2+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,9∈R)的一个根，则p+q=(▲) A.-2 B.-1 C.0 D.1 6.已知d,公为单位向量，向量d在向量b方向上的投影向量为-】不，则d-6=(▲) A.V2 B.V2 C.V3 D.V3 2 2 7.若函数x)=cosa+牙(w>0)在区间牙，受1止单调递增，则u的取值范围为（▲） A3别 B.2,31 C.B3.71 D引 8.在正三棱柱ABC-ABC1中，AB=AA=2,P是平面ABC上一动点，点Q是直线BC1上一动点， 则AP+PQ的最小值为（▲） A.3V2 B.V19 C.2V5 D.2V6 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分) 9.下列关于平面向量的说法错误的是（▲） A.若a.b=0,则a=0或6=d B.若a与不反向，则a·不=-a·6 C.若a∥石，元∥c,则a∥c D.若存在实数入，使得a=xb,则a∥b 10.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则（▲） A.若m∥a,ax∥B,则mB B.若m⊥x,a∥B,nCB,则m⊥n C.若m∥n,m⊥，ncB,则a⊥B D.若mCa,ncB,a⊥B,m⊥n,则m⊥B 11.已知一组数据a1,a2,a,4,5的平均数为1，方差为1，则该组数据的（▲） A.中位数可能为1 B.众数可能为1 C.极差可能为1 D.第60百分位数可能为2 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.将一个长、宽、高分别是9cm,8cm,6cm的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的 最大零件的体积为 cm3」 高一数学第2页（共4页） I3.已知A,BC为单位圆上三点，∠ACB=石，点C关于点A的对称点为M,点M关于点B的 对称点为D,则CD= 14.若an6=3ana,n=圣，则cos(2a+2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)已知向量a=(1,2),=(2,3),c=(-1,2) (1)若(ka-c)1(a+b),求实数k的值； (2)已知0A=a,0B=b,0C=入c,若A,B,C三点共线，求实数入的值. 16.(15分，本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分) 在空间四边形ABCD中，H,G分别是AD,CD的中点，E,F分别边AB,BC上的点，且 AE=CE=A(A0)】 AB CB (1)如图1，若A=?,求证：四边形EGA是平行四边形： (2)如图2，若入=4，求证：直线EH,BD,FC相交于同一点 B 图1 图2 17.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(c-b)(sinC+sinB)=a(sinA-sinB). (1)求角C; (2)若△ABC的面积为3，C=V3,求△ABC的周长 2 高一数学第3页（共4页） 18.(17分)为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用 电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）.数据的分组依次为160,180)、[180,200)、 [200,220)、220,240)[240,260)、260,280)、280,300]. 个频率/组距 0.0125 0.011-- 0.0095 0.005 0.0025 0.002 0V160180200220240260280300月平均用电量/度 (1)求频率分布直方图中x的值； (2)求该城市所有居民月平均用电量的众数和平均数的估计值（同一组数据用该区间的中点 值作代表) (3)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价， 将月平均用电量从低到高分为一、二、三档，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民 缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，请确定第二档的月平均用电量范围 (精确到1). 19.(17分，本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分) 如图，在三棱柱ABC-ABC,中，△ABC与△AA1C均为等腰直角三角形，且∠ABC=∠AAC =7,AC-2 (1)证明：AC⊥AB; (2)记二面角A-AC-B的大小为a. (I)若a=号，求直线A1和B,G所成角的大小： (Ⅱ)若二面角B-AA-C的大小为B,a-B号，求cosa 高一数学第4页（共4页）》 2025一2026学年度下期期末 高一数学参考答案及评分标准 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1~4.ACAB 5~8.DDCB 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分：若本题正确答案为2项，则选对1个得3分： 若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分. 9.AC 10.BC 11.AB 三、填空题：本答题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】36元13.【答案】214.【答案】-1 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【解】(1)a-c=(k+1,2k-2),ā+b=(3,5), .（2分) 由已知(ka-c)L(a+b), 得(ka-c)a+b)=3(k+1)+5(2k-2)=0, (4分） 解得k 13 （6分） (2)AB=b-a=(1,1),AC=c-a=(-元-1,2元-2)， .(8分） 若A,B,C三点共线，则AB/AC, 则1×(22-2)-1×(2-1)=0， (12分) 解得天兮 （13分) 16.(15分)（本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分） （1)证明：如图1所示，连接BD, 空间四边形ABCD中， 当2时，4C1 2 AB CB 2 图1 即E、F分别是AB、BC的中点 …（2分) 又H、G分别是AD、CD的中点， 所以iBD且BH=号BD,FG/BD且G=)BD, (4分） 所以EH∥FG且EH=FG. 即四边形EFGH是平行四边形. (7分) (2)如图2所示，连接EF,HG,AC 空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点， 1 则HG/IAC且HG=二AC, 图2 (8分) 又4gC郎1 3 ABCB4,则EF∥AC且ER= AC. 4 …（11分) 即EF/HG且EF≠HG, .(12分) 则EH与FG交于一点，记为P, 'EHC平面ABD,P在平面ABD内， 同理P在平面BCD内，且平面ABDO平面BCD=BD, :点P在直线BD上， ·直线EH,BD,FG相交于一点. .（15分) 17.(15分) 【解】(1)因a(sinA-sinB)=(c-b)(sinC+sinB), 由正弦定理，得a(a-b)=(c-b)(c+b), 即a2+b2-c2=ab. .(3分) 盼以cosC=4+b二c上=号，又C∈(O,元)， 2ab 所以c=骨 .(6 分) (2)由(1)知a2+b2-c2=ab. 所以(a+b)2-3ab=c2=3, (8分) 功s 又s=absinc=V5 4 2 所以ab=2, （10分） 所以(a+b)=3+3ab=9,即a+b=3. 所以△ABC的周长为a+b+c=3+V5· （15分) 18.(17分) 【解】(1)因为(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1, 所以x=0.0075; (3分) (2)由频率分布直方图可知，月平均用电量众数的估计值为230度， (5分)》 记[160,180)、[180,200)、、[280,300]的频率分别为f,f5,,, 则f=0.04,5=0.19,5=0.22,f4=0.25,f5=0.15,6=0.1,斤=0.05， 于是平均数的估计值为 0.04×170+0.19×190+0.22×210+0.25×230+0.15×250+0.1×270+0.05×290=225.6, (9分) 即该城市所有居民月平均用电量的众数为230度，平均数的估计值为225.6度； （10分) (3)因为f++5+f4=0.7,0.7+5=0.85, …（11分) 因此，75%分位数位于240,260)内.由 240+20×075-0.7 ≈247， 0.15 .(14分) 可估计样本数据的75%分位数约为247， (15分) 又0.85+6=0.95， 因此，可估计样本数据的95%分位数约为280， (16分) 即第二档的月平均用电量数据范围为[247,280).（区间端点开闭不严格要求） （17分) 19.(17分)（本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分） （(1)证明：设AC的中点为M,连接BM,4M,如图所示，(1分) 因△ABC与△A4C均为等腰直角三角形，∠ABC=∠A4C= 2, C 所以AM⊥AC,BM⊥AC,AMO BM=M, 且AMC平面AB,BMC平面AMB,.(4分) 故AC⊥平面AMB,且ABc平面AMB,即AC⊥AB; M .(5分) （2)解：因为AC=2故AC=2,AM=BM=AM=MC=1, 且A1A=AB=BC=A,C=√2，由(1)小题可知∠AMB=&, (I)因AA∥CC, 则∠CC,B,为直线AA和BC1所成的角或补角， (6分）》 当a-时，48-a+m-6, 因AG∥AC,AC⊥AB, 则AC1⊥AB,所以BC=V4C+4B=6, .（8分) △CCB中，由余弦定理得cos∠CCB=CC+CB-CB- 2CC.CB 2 又∠CCB∈(O,),所以∠CCB=2 ，则cc& 即直线44和B℃所成的角为 （10分) (Ⅱ)如图，在平面AABB,上，过点A作AN⊥BB,于N,连接CN, 因∠A4C=分所以∠C4NB, (11分） 在菱形AABB,中，AA=√2，AB=√2-2c0sa, 所以AB1=V6+2cosa, 因为A44N=)AB4B, 所以AN= (1-cosa)(3+cosa) 2 （13分) 在菱形CCBB,中，同理可得CN (1+cos a)(3-cosa) (14分) 2 又AC=√2，则△CCB中，由余弦定理得， COSB-4C+4N-CN 2AC.AN .（15分) 即cosB= 1-cosa V3+cosa 又a-B=x 即，cos(a2) 1-cosa 13+cosa 即cosa=√2-2或cosa=-√5-2（舍去）， 所以cosu=√2-2· (17分)