精品解析：四川省凉山州2024-2025学年高一下学期期末统一检测数学试题

凉山州2024—2025学年度下期期末统一检测高一年级试题 数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算确定复数，再根据复数虚部的概念确定复数的虚部. 【详解】因为，所以. 所以复数的虚部为：. 故选：B 2. 某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】由分层抽样的相关知识求解即可. 【详解】选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为. 故选：C. 3. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为向量，，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 4. 已知四棱锥的高为2，其底面水平放置时的斜二测画法直观图为平行四边形，如图所示，已知，，则四棱锥的体积为（ ） A. B. 4 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由直观图可得到底面为矩形，同时可求矩形的面积，然后利用锥体体积公式计算可得答案. 【详解】由题意可知，四边形为矩形，因为直观图中，，所以，，所以矩形的面积为，所以四棱锥的体积为. 故选：B. 5. 若点是的外心，，则（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，由外心的性质可知，即，利用向量的运算法则将 转化为即可得解. 【详解】 取的中点，连接， 因为点是的外心，所以，所以. 因为 ， 因为，所以. 故选：D 6. 已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析出角最大，角最小，再根据余弦定理求出角即可得解. 【详解】由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小. 因为，所以设， 则由余弦定理 可得， 又因为，所以； 因为，所以， 所以三角形的最大角与最小角之和为. 故选：A 7. 若将函数的图象向左或右平移个单位，所得的图象与的图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求关于轴对称的函数的解析式，再根据函数图象平移的规律求. 【详解】函数关于轴对称的函数的解析式为： ， 又， 所以将向右平移个单位可得的图象. 则的最小正值是 故选：B 8. 已知圆锥的侧面面积为，母线长为，则圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆锥的底面圆半径和高，找到球心的位置，根据半径相等得到方程，求出，进而求出外接球表面积. 【详解】圆锥母线长，设圆锥底面圆半径为，则， 解得，圆锥的高为， 设圆锥的外接球的球心为，则在上，设半径为， 则，， ， 即，解得， 故圆锥的外接球的表面积为. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知中，点，，分别为，，的中点，则（ ） A. B. C. 点A的坐标为 D. 的面积为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，两点的坐标求出向量的坐标，即可判断A，利用，再由的坐标求出的坐标，即可判断B；设，，，根据中点坐标公式列出方程组，求出三点坐标，即可判断C，分别求出，即可求出的面积，即可判断D. 【详解】 因为，，所以，故A正确； 因为分别为，的中点， 所以，故B错误； 设，，， 则有，，， 解得，故C正确； 由C可知， 所以的面积为，故D正确. 故选：ACD 10. 某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩（单位：厘米）为：145，155，132，135，140，130，136，则（ ） A. 该组数据的极差是35 B. 该组数据的中位数是136 C. 该组数据的40%分位数是135 D. 该组数据的平均数为139 【答案】BCD 【解析】 【分析】找到该组数据的最大值及最小值，求出极差，即可判断A；将该组数据从小到大排序依次，找到中位数，即可判断B；求出该组数据的40%分位数，即可判断C；求出该组数据的平均数即可判断D. 【详解】该组数据的最大值是155，最小值是130，所以极差是，故A错误； 将该组数据从小到大排序依次为130,132,135,136,140,145,155， 可知中位数是136，故B正确； 因为，所以该组数据的40%分位数是第3个数据，即135，故C正确； 因为，故D正确. 故选：BCD 11. 记，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则b的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦余弦函数的值域判断A，应用辅助角公式计算判断C，应用同角三角函数关系计算判断B，D. 【详解】因为，的取值范围为，A选项正确； ，当时，的最小值为，C选项正确； 因为，， 所以平方和为， 则 若，则，则， 当时，所以不一定是0，B选项错误； 若，则，则当时，b的最大值为1，D选项正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足，则的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设复数，由已知得，进而可得，最后由即可求解. 【详解】设复数， 因为， 所以，即， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以时，最大为. 故答案为：2. 13. 样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为______． 【答案】4 【解析】 【分析】设第五个值为，由该样本的平均数为2，根据平均数的计算公式求出，再根据方差的公式计算即可. 【详解】设第五个值为， 则由该样本的平均数为2，可知，解得. 则样本方差. 故答案为：4 14. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【详解】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴m. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在边长为1的菱形中，，，设，． （1）用，，表示，并求； （2）若，，求实数的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，根据向量加法的三角形法则表示，再根据向量模的求法计算即可； （2）由，在中，根据向量加法的三角形法则表示出，再由，，列出方程，即可求出实数的值. 【小问1详解】 因为，所以。 因为，，所以， 则， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， 即，解得． 16. 某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）． 【答案】（1） （2）中位数约为86.67．平均数为84. 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为求参数即可； （2）由中位数的定义，结合直方图求中位数；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出平均数. 【小问1详解】 由图知：， 可得 【小问2详解】 因为 所以中位数在区间内，令其为m， 则，解得． 所以满意度评分的中位数约为86.67． 由频率分布直方图可知，平均数为 ． 17. 已知向量，，设函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）设，且，，求的值． 【答案】（1）π （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，结合周期公式计算即可； （2）由整体代入法求解即可； （3）首先求得，即，进一步结合的取值范围即可得解. 【小问1详解】 由题意可知： ， 由， 得的最小正周期为π． 【小问2详解】 由（1）知意， 令，， 即，． 所以的单调递增区间为 ，． 【小问3详解】 由题意 ， 又，所以， 又， 则，即． 又，即 所以，即， 故的值为． 18. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，． （1）求b； （2）若，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理角化边运算求解即可； （2）利用余弦定理可得，进而可得，即可得面积； （3）利用余弦定理可得，结合锐角三角形可得，结合向量求的取值范围. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理可得，解得． 又因为，由正弦定理得，所以． 【小问2详解】 由（1）可知：，，且， 由余弦定理得， 且，可得， 所以的面积． 【小问3详解】 由（1）可知：，， 由余弦定理可得， 且为锐角三角形， 则，解得， 因为，可得 则， 可得，所以的取值范围为． 19. 如图1，图2，在正方体中，M为的中点． （1）图1中求证：平面； （2）图1中求二面角的正切值； （3）图2中，已知，为的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，求三棱锥的体积的最小值． 【答案】（1）证明：如图所示，连接，交于G，连接， ∵是正方体，∴是正方形，∴G为的中点， 又∵为的中点，则，∵平面，平面， ∴平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于G，连接，由三角形的中位线可得，再根据线面平行的判断定理证明即可； （2）过作交的延长线于，通过证明平面，得到为二面角的平面角，再在求解即可； （3）设为的中点，连接交于，设，，通过证明平面，得到，即可求的面积，进而表示出三棱锥的体积，又由，且，利用不等式的得到，进而求出三棱锥体积的最大值，即可得到三棱锥的体积的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过作交的延长线于，连结． ∵平面，∴是在平面内的射影， ∵平面，∴，∵ ∴平面，∵平面，∴， ∴为二面角的平面角． 设正方体的棱长为1． ∵M是的中点，且，则在直角中，，， ，，， ∴二面角的正切值为． 【小问3详解】 如图所示，设为的中点，连接交于， 设， ∵ ，，， ∴，∴， ∴，即，∴， 又∵平面，平面，∴， 又∵，∴平面， ∵平面，∴， 又∵平面，∴就是三棱锥的高 ∴， ∵，且，∴， 即，∵， ∴ 当且仅当，即时取等号， 此时 ，解得，即. 即三棱锥的体积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凉山州2024—2025学年度下期期末统一检测高一年级试题 数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 50 3. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知四棱锥的高为2，其底面水平放置时的斜二测画法直观图为平行四边形，如图所示，已知，，则四棱锥的体积为（ ） A. B. 4 C. D. 12 5. 若点是的外心，，则（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 6. 已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ） A. B. C. D. 7. 若将函数的图象向左或右平移个单位，所得的图象与的图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的侧面面积为，母线长为，则圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知中，点，，分别为，，的中点，则（ ） A. B. C. 点A的坐标为 D. 的面积为4 10. 某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩（单位：厘米）为：145，155，132，135，140，130，136，则（ ） A. 该组数据的极差是35 B. 该组数据的中位数是136 C. 该组数据的40%分位数是135 D. 该组数据的平均数为139 11. 记，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则b的最大值为1 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足，则的最大值为______． 13. 样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为______． 14. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在边长为1的菱形中，，，设，． （1）用，，表示，并求； （2）若，，求实数的值． 16. 某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）． 17. 已知向量，，设函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）设，且，，求的值． 18. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，． （1）求b； （2）若，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 19. 如图1，图2，在正方体中，M为的中点． （1）图1中求证：平面； （2）图1中求二面角的正切值； （3）图2中，已知，为的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，求三棱锥的体积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $