精品解析：辽宁朝阳市建平县高级中学2025-2026学年高二下学期6月质量检测数学试卷

2025-2026高二数学质量检测 （答题时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知不共线，且，，，则（    ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 4. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四掕台的体积为（ ） A. 60 B. 20 C. 40 D. 56 6. 五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为( ) A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 7. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为 A. B. C. D. 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 记等比数列的前项和为，若，，公比，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则（ ） A. 准线的方程为 B. 可能在直线上 C. 的最小值为9 D. 面积的最小值为16 11. 已知圆：与圆：，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 圆心距 C. 圆与圆相交 D. 圆与圆的公共弦的长为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，且，则的最小值是__________. 13. 已知等差数列的前项和为，，，则_________． 14. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积的比值为__________． 四､解答题 15. 某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了100名同学的身高数据（单位:），制作成频率分布直方图如图所示. （1）估计这100名同学身高的上四分位数； （2）用分层抽样的方法从中抽出一个容量为17的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人? 16. 如图，在三棱锥中，两两垂直， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 18. 已知椭圆的长轴长为，点在上． （1）求的离心率； （2）若点在上，为坐标原点，求面积的最大值； （3）设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴的交点坐标． 19. 已知函数，． （1）判断函数的单调性． （2）若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二数学质量检测 （答题时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数的几何意义可得. 【详解】因为． 所以． 2. 已知，则“”的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由于可得，故“”是“”的必要条件， 由不能得到，，，比如， 故选：D 3. 已知不共线，且，，，则（    ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 【答案】A 【解析】 【分析】由两向量共线的充要条件逐一判断即可. 【详解】对于A，因为 所以， 所以、、三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得， 所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得， 所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得， 所以A、C、D三点不共线，故D错误.. 4. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以，所以. 5. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四掕台的体积为（ ） A. 60 B. 20 C. 40 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6， 所以该正四棱台的体积. 故选：D. 6. 五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为( ) A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】借助捆绑法把相邻的甲乙打包，分单元内部排序、整体全排列两步相乘求解排列总数. 【详解】将甲、乙捆绑合并为1个单元，单元内部的站位排列数为， 剩余3人与该单元构成4个独立元素，4个元素全排列的排列数为. 可得总站法种数. 7. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式可求出的值，结合为第二象限角，以及同角三角函数的基本关系可得出、的值，即可得出所求代数式的值. 【详解】因为为第二象限角，所以，， 由，即， 整理可得，所以，故， 因为，，所以，， 故. 8. 已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示：当时，，，；当时，，，，故当时，其解集为，∵是偶函数，是奇函数，∴是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是 ，故选C. 点睛：本题主要考查函数的奇偶性在解不等式中的应用，还考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法；观察图象选择函数值异号的部分，再由是偶函数，是奇函数，得到是奇函数，从而求得对称区间上的部分，最后两部分取并集 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 记等比数列的前项和为，若，，公比，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式化简条件依次判断选项即可. 【详解】若，则，故A正确； 所以， 化简得：，解得：或（舍去），故B正确； 所以，故C错误； ，， 所以，故D正确； 10. 已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则（ ） A. 准线的方程为 B. 可能在直线上 C. 的最小值为9 D. 面积的最小值为16 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线求解选项A.设点的坐标，求出直线方程代入点，得到，无解，求解选项B.联立直线与抛物线方程，得到点的坐标，求出，根据基本不等式求解即可.根据直线方程求出坐标，根据距离公式求出，得到的面积，再利用基本不等式求解即可. 【详解】易知，所以准线的方程为，A选项正确； 设点的坐标为，因为，所以点处的切线斜率为， 所以直线的斜率为， 所以直线， 若在直线上，则，即，无解，B选项错误； 直线与联立可得，，解得， 即的横坐标为，所以的纵坐标为， 所以，当且仅当时，等号成立.C选项正确； 直线的方程为：，令，则， 所以， 所以，， 所以的面积为， 设，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为.D选项正确. 11. 已知圆：与圆：，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 圆心距 C. 圆与圆相交 D. 圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【解析】 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，且，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用给定条件化简目标式，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，所以，即， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 故的最小值是. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，，，则_________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据题意列出关于和的方程，求解出，再求出. 【详解】设等差数列的公差为. ，，得. ，. 14. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积的比值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥底面半径为，又圆锥的轴截面是等边三角形，故圆锥母线长为，圆锥的高为， 设球的半径为，球心到底面圆心的距离为，有, ，化简得， 则该圆锥的体积为，球的体积为， 故圆锥与球的体积的比值为. 四､解答题 15. 某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了100名同学的身高数据（单位:），制作成频率分布直方图如图所示. （1）估计这100名同学身高的上四分位数； （2）用分层抽样的方法从中抽出一个容量为17的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人? 【答案】（1）176.25 （2）7人，6人，4人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得，再由百分位数的定义列方程求解即得； （2）根据抽样比即可计算出各组应抽取的人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三组的频率为，第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10， 则解得， 因为前3组的频率和为0.7，前4组的频率和为0.9， 所以第75百分位数在第四组，不妨设为， 则， 解得，即第75百分位数约为176.25； 【小问2详解】 根据题意，第组应抽取人， 第组应抽取人， 第组应抽取人. 16. 如图，在三棱锥中，两两垂直， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量公式可得答案； （2）求出两个半平面的法向量，利用向量夹角公式可求二面角. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系； ，,； 设平面的一个法向量为，则， 令，得，即， 设直线与平面所成角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 易求平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 18. 已知椭圆的长轴长为，点在上． （1）求的离心率； （2）若点在上，为坐标原点，求面积的最大值； （3）设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，再由点在上，代入求得，进而求得，结合椭圆离心率的公式，即可求解； （2）由（1）得到椭圆的方程为，且为，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程组，利用，求得的值，得到两平行线间的最大距离为，进而求得的面积的最大值； （3）设，，分别求得直线和的方程，联立方程组，求得和，得到直线的得方程，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由椭圆的长轴长为，可得，解得， 又由点在上，可得，解得，即， 所以， 所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 解：由（1）知：且，所以椭圆的方程为， 又由，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，可得， 可得，解得， 所以直线与直线之间的距离为： ， 直线与直线之间的距离为： ， 所以两平行线间的最大距离为， 又因为， 所以的面积的最大值为. 【小问3详解】 解：因为动点在直线上，可设，其中， 再设，且， 可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，可得， 所以，即， 同理可得：直线的方程为，且， 所以直线的斜率的倒数为， 所以直线的方程为，整理得， 设直线与轴的交点为， 令，可得，所以直线与轴的交点为. 19. 已知函数，． （1）判断函数的单调性． （2）若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）①②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负判断函数的单调区间即可； （2）①将方程分离参数得，构造函数，由导数判断函数的单调性，从而得到最小值，即可求得的取值范围； ②先构造函数证明，再构造证得，结合的单调性推出，即，联立两步结论，代回原式即可完成不等式证明. 【小问1详解】 因为，，所以． 由，得；由，得 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 ①方程，即，，则． 设，，则方程有两个根， 即函数的图象与直线有两个不同的交点． 因为，， 当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围是． ②证明：由①可知，， 则证不等式，即证， 转化为证． 令，，则． 令，则． 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以． 由①知，． 令，，则． 令，则． 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以单调递增，所以． 所以当时，． 由①及题意可知，，所以． 因为且在上单调递减，所以， 所以，所以． 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $