1.1集合的概念课后同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从集合概念理解到逻辑推理的递进，适配新授课知识内化与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|集合定义、元素性质（确定性、互异性）|填空题直接考查概念表述，如“确定性即元素是确定的”，夯实抽象能力| |提升层|集合表示法、元素与集合关系、参数计算|单选题结合互异性求参数（如第3题集合相等求a值），培养推理意识| |拓展层|新定义运算、综合应用|解答题引入“乘法封闭集”（第20题），通过创新情境发展创新意识与数学表达能力|

2026-2027高一上数学《1.1集合的概念》课后同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 3．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 4．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 5．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 7．已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 8．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 9．定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 二、填空题 11．（1）确定性：即给定的集合，它的元素是______的． （2）互异性：即给定集合的元素是______的． 12．一般地，把______统称为元素，把一些元素组成的______叫做集合（简称为集）． 13．集合：把一些______组成的总体叫做集合，简称为______，常用大写拉丁字母______表示． 14．若，则构成集合中的应满足的条件是______． 15．设，集合，若，则______. 16．已知集合，若，则________ 三、解答题 17．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 18．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 19．已知集合，且，求实数的值. 20．设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. (1)已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； (2)已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027高一上数学《1.1集合的概念》课后同步练习（附解析） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C D B C B C A 1．D 【知识点】判断元素能否构成集合 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．C 【知识点】判断是否为同一集合、列举法表示集合、判断两个集合是否相等 【分析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合；选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合；选项C.求出的解，从而得到方程的解组成的集合；选项D.根据集合的确定性判断. 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 3．C 【知识点】根据两个集合相等求参数、根据集合相等关系进行计算、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 4．C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 5．D 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 6．B 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 7．C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 8．B 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 9．C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 10．A 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、常用数集或数集关系应用 【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 11． 确定 互不相同 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】略 【详解】略 12． 研究对象 总体 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】略. 【详解】略. 13． 元素 集 A，B，C， 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】略 【详解】略 14． 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合元素的互异性，可求解. 【详解】根据集合元素的互异性，，解得， 所以应满足的条件是. 故答案为：. 15．2或或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 16． 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 17．(1) (2) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 18．(1) (2) (3) (4) 【知识点】列举法表示集合 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 19． 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【详解】由得，解得， 此时集合 满足元素互异性，符合题意. 20．(1)，或 (2)（i）是，证明见解析；（ii） 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义求解即可； （2）（i）根据“乘法封闭集”的定义进行证明即可； （ii）根据“完美元素”的定义，得到和的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）设集合， 因为集合是一个“乘法封闭集”，所以，，， 所以或， 解得或，解得或， 所以或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时， 若令，则，所以，或，解得或（舍去），此时，或， 综上，，或； （2）（i）设，则， 所以， 因为，所以，， 所以，所以是一个“乘法封闭集”； （ii）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以或， 假设，则，即为3的倍数， 设，若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $