1.1 集合的概念 同步练习 2026-2027学年 高中数学 高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 高中数学集合概念同步练，分层设计梯度清晰，从基础概念辨析到综合应用拓展，适配新授课巩固需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|集合概念、元素特性、基本表示法|单选为主，直接考查定义（如第1题判断集合）| |中档|集合表示辨析、元素关系应用|填空与单选结合，深化概念理解（如第5题集合比较）| |提升|综合应用、新定义与证明|多选与解答题，培养推理能力（如第16题证明题）|

1.1 集合的概念 1. 下列对象的全体可以组成集合的是(　 　) A. 人口密度大的国家 B. 所有美丽的城市 C. 地球上的四大洋 D. 优秀的高中生 2. 若“booknote”中的字母构成一个集合，则该集合的元素个数是(　 　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 将集合用列举法表示，正确的是(　 　) A. {2，3} B. {(2，3)} C. {x＝2，y＝3} D. (2， 3) 4. 下列关于集合的表示方法的叙述，正确的是(　 　) A. 第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B. 不等式x－1＜4的解集为{x＜5} C. {全体整数} D. 实数集可表示为R 5. 已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，G＝{x|x≥1}，则(　 　) A. P与F相等 B. Q与E相等 C. E与F相等 D. Q与G相等 6. 已知集合A＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含的元素个数为(　 　) A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 7. (2024·嘉兴一中高一检测)用描述法表示下图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标构成的集合，下列选项中，正确的是(　 　) A. {－2≤x≤0，且－2≤y≤0} B. {(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0} C. {(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y＜0} D. {(x，y)|－2≤x≤0，或－2≤y≤0} 8. (多选)(2024·淮阴中学高一检测)已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列说法中，正确的是(　 　) A. x1·x2∈A B. x2·x3∈B C. x1＋x2∈B D. x1＋x2＋x3∈A 9. (多选)(2024·温州十校联合体高一联考) 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a－1＝0}中只有1个元素，则a的取值可能为(　 　) A. 0 B. 2 C. －1 D. 4 10. 集合A＝＝　 　(用列举法表示).  11. 若实数a满足a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为　 　.  12. 集合 A 由 a － 2，2a2 ＋ 5a，12 这三个元素组成，且－3∈A，实数 a ＝　 　.  13. (2024·台州中学高一检测)用适当的方法表示下列集合： (1)用从1，2，3中抽出的一部分数字或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合； (2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合. 14. (2024·金华一中高一检测)下列三个集合： ①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}； ③{(x，y)|y＝x2＋1}. (1)它们是否为相等集合? (2)它们各自的含义是什么? 15. (2024·重庆南开中学高一月考) 已知有限集A＝{a1，a2，a3，…，an}，定义集合B＝{ai＋aj|1≤i＜j≤n，i，j∈N*}的元素个数为集合A的“容量”，记为L(A).若集合A＝{x∈N*|1≤x≤4}，则L(A)＝　 　；若集合A＝{x∈N*|1≤x≤2n，n∈N*}，且L(A)＝8 093，则正整数n的值是　 　.  16. (2024·苏州中学高一检测)设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1). 求证：(1)若2∈A，则A中必含有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 1. 下列对象的全体可以组成集合的是(　C　) A. 人口密度大的国家 B. 所有美丽的城市 C. 地球上的四大洋 D. 优秀的高中生 【解析】由题意，A，B，D都不满足集合元素的确定性，C中的元素是确定的，可以组成集合. 2. 若“booknote”中的字母构成一个集合，则该集合的元素个数是(　B　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【解析】根据集合元素的互异性可知，“booknote”中的不同字母有b，o，k，n，t，e，共6个，故该集合的元素个数为6. 3. 将集合用列举法表示，正确的是(　B　) A. {2，3} B. {(2，3)} C. {x＝2，y＝3} D. (2， 3) 【解析】由题意知该集合为点集，A表示数集，C表示集合有两个元素分别是 x＝2和y＝3，D表示点(2， 3)而非集合，综上可知只有B符合要求. 4. 下列关于集合的表示方法的叙述，正确的是(　D　) A. 第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B. 不等式x－1＜4的解集为{x＜5} C. {全体整数} D. 实数集可表示为R 【解析】对于A，集合{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}表示第二、四象限内的点及坐标轴上的点，不符合要求；B应表示为{x|x＜5}，不符合要求；“{ }”本身就是“所有”“全部”的意思，故C不符合题意；只有D符合要求. 5. 已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，G＝{x|x≥1}，则(　D　) A. P与F相等 B. Q与E相等 C. E与F相等 D. Q与G相等 【解析】∵P＝{y＝x2＋1}是单元素集，集合中的元素是y＝x2＋1，Q＝{y|y＝ x2＋1}＝{y|y≥1}，E＝{x|y＝x2＋1}＝R，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}中的元素是点，G＝{x|x≥1}，∴Q与G相等. 6. 已知集合A＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含的元素个数为(　D　) A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 【解析】由题知集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含10个元素. 7. (2024·嘉兴一中高一检测)用描述法表示下图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标构成的集合，下列选项中，正确的是(　B　) A. {－2≤x≤0，且－2≤y≤0} B. {(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0} C. {(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y＜0} D. {(x，y)|－2≤x≤0，或－2≤y≤0} 【解析】由题图可知，阴影部分的点的横坐标满足－2≤x≤0，纵坐标满足 －2≤y≤0，∴所表示的集合为{(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}. 8. (多选)(2024·淮阴中学高一检测)已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列说法中，正确的是(　ABC　) A. x1·x2∈A B. x2·x3∈B C. x1＋x2∈B D. x1＋x2＋x3∈A 【解析】∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，∴x1＋x2＋x3为偶数，D错误. 9. (多选)(2024·温州十校联合体高一联考) 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a－1＝0}中只有1个元素，则a的取值可能为(　ABC　) A. 0 B. 2 C. －1 D. 4 【解析】当a＝0时，A＝，满足题意；当a≠0时，由题意知Δ＝(2)2－4a(a－1)＝0，即a2－a－2＝0，解得a＝2，或a＝－1. 10. 集合A＝＝　{5，4，2，－2}　(用列举法表示).  【解析】∵x∈Z，∈N，∴6－x∈{1，2，4，8}，∴x∈{5，4，2，－2}，即A＝{5，4，2，－2}. 11. 若实数a满足a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为　{－1，－2，2，0}　.  【解析】∵实数a满足a2∈{1，4，a}，∴a2＝1或4或a，解得a＝－1或1或－2或2或0.当a＝1时，集合为{1，4，1}，不符合题意；当a＝－1或±2或0时，符合题意，∴实数a的取值集合为{－1，－2，2，0}. 12. 集合 A 由 a － 2，2a2 ＋ 5a，12 这三个元素组成，且－3∈A，实数 a ＝　 －　.  【解析】由 －3∈A，可得－3＝a－2，或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1，或a＝－.当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1舍去；当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－. 13. (2024·台州中学高一检测)用适当的方法表示下列集合： (1)用从1，2，3中抽出的一部分数字或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合； (2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合. 解：(1)当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.由于元素个数有限，故用列举法表示为{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}. (2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n＜500，n∈N}. 14. (2024·金华一中高一检测)下列三个集合： ①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}； ③{(x，y)|y＝x2＋1}. (1)它们是否为相等集合? (2)它们各自的含义是什么? 解：(1)它们是互不相等的集合. (2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x的取值组成的集合.∵x可以取任意实数，∴{x|y＝x2＋1}＝R. 集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合. ∵x2≥0，∴y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}. 集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合. 15. (2024·重庆南开中学高一月考) 已知有限集A＝{a1，a2，a3，…，an}，定义集合B＝{ai＋aj|1≤i＜j≤n，i，j∈N*}的元素个数为集合A的“容量”，记为L(A).若集合A＝{x∈N*|1≤x≤4}，则L(A)＝　5　；若集合A＝{x∈N*|1≤x≤2n，n∈N*}，且L(A)＝8 093，则正整数n的值是　2 024　.  【解析】若A＝{x∈N*|1≤x≤4}＝{1，2，3，4}，则B＝{3，4，5，6，7}，∴L(A)＝5.若A＝{x∈N*|1≤x≤2n，n∈N*}＝{1，2，3，…，2n－1，2n(n∈N*)}，则易知集合A中任意两个元素的和的最小值是1＋2＝3，最大值是2n－1＋2n＝4n－1，且对任意k∈N*，3≤k≤4n－1，都存在ai，aj∈A，使得ai＋aj＝k，∴L(A)＝4n－1－3＋1＝4n－3.由4n－3＝8 093，解得n＝2 024. 16. (2024·苏州中学高一检测)设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1). 求证：(1)若2∈A，则A中必含有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 证明：(1)若a∈A，则∈A.∵2∈A，∴＝－1∈A. ∵－1∈A，∴∈A.∵∈A，∴＝2∈A.根据集合中元素的互异性可知，A中另外两个元素为－1，，结论得证. (2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无实数解，∴a≠，∴集合A不可能是单元素集. 学科网（北京）股份有限公司 $