精品解析：甘肃兰州市第六十一中学（兰化一中）2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

兰化一中2025～2026学年第二学期期末考试 高一数学 （2026年7月） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，，，若是纯虚数，则的值为（ ） A. 1 B. 0或1 C. 1或2 D. 2 2. 从点，，，中随机抽取2个点，恰有1个点在直线上的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心 7. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥和圆柱组合而成，点在圆锥的底面圆周上，且的面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 与夹角为锐角时，则的取值范围为 D. 当时，在上的投影向量为 10. 下列式子正确的是（   ） A. B. C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为虚数单位，______． 13. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 14. 已知锐角满足，，则面积的取值范围为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，求： （1）； （2）； （3）与的夹角的余弦值． 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 17. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）根据频率分布直方图估计这50名男生身高的第85百分位数（精确到0.1）； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 18. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； 19. 如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． （1）求证：平面； （2）若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰化一中2025～2026学年第二学期期末考试 高一数学 （2026年7月） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，，，若是纯虚数，则的值为（ ） A. 1 B. 0或1 C. 1或2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的加法运算法则求出，再根据纯虚数的定义即可求出的值. 【详解】由题可得， 因为是纯虚数， 所以，解得. 2. 从点，，，中随机抽取2个点，恰有1个点在直线上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概率的公式求解即可. 【详解】从点，，，中在直线上. 则恰有1个点在直线上的概率为. 3. 已知的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质,结合向量加法的平行四边形法则来求解即可. 【详解】因为,，, 所以 则. 故选：D. 4. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中，利用线线，线面，面面之间的关系判断. 【详解】对于选项A，分别把、、当作直线、、，显然，故A不正确； 对于选项B，平面、平面、平面分别视为平面、、，显然，故B不正确； 对于选项C，，，则，故C正确； 对于选项D，平面、平面分别视为平面、，分别视为，则，故D不正确. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角的正弦和余弦公式化简，再分子分母同除以求解. 【详解】解：因为， 所以 ， ， 故选：A 6. 已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心 【答案】D 【解析】 【分析】点  是点  在平面  上的射影，知平面，所以，由直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，证得，从而证得，由此可知 是  的外心. 【详解】由题可知，平面，所以. 所以. 连接，则分别是直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角， 所以. 在中，，是公共边， 所以. 所以. 所以 是  的外心. 故选：D. 7. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥和圆柱组合而成，点在圆锥的底面圆周上，且的面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成的，由可得圆锥母线，结合圆锥的侧面积可得圆锥半径、高，而圆柱底面半径等于圆锥底面半径，圆柱高已知，由圆锥、圆柱体积公式即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则的面积为，解得， 因为圆锥的侧面积为，所以． 故该几何体的体积为． 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为 ， 所以. 则 . 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 与夹角为锐角时，则的取值范围为 D. 当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量坐标计算向量模长和数量积，分别根据各选项中关于向量的加法，数量积，夹角与投影向量的表示，计算即可逐一判断. 【详解】因，，则，. 对于A，由，可得，故A正确； 对于B，时，由，解得，故B错误； 对于C，与夹角为锐角等价于， 解得且，即，即C正确； 对于D，时，，， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列式子正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用辅助角公式、二倍角正余弦公式及正切公式、和角正切公式依次判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确. C：因为，所以，正确； D：因为，所以，错误. 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为虚数单位，______． 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用虚数单位i的性质运算． 【详解】解：由i2＝﹣1可知，i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0． 【点睛】本题考查复数的基本概念及运算，是基础题． 13. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 14. 已知锐角满足，，则面积的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合锐角三角形可得，再利用正弦定理结合三角恒等变换整理可得，即可得和面积的取值范围. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 则 ， 且，则，可得，即， 又因为，则， 则，由题意可得，解得， 由正弦定理可得， 则，， 可得 ， 因为，则，可得， 则， 所以面积， 所以面积的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，求： （1）； （2）； （3）与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义可求解； （2）由向量数量积的运算律及（1），可求解； （3）由向量夹角公式可求解. 【小问1详解】 由，则； 【小问2详解】 由； 【小问3详解】 由，则， . 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【小问1详解】 由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 17. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）根据频率分布直方图估计这50名男生身高的第85百分位数（精确到0.1）； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率； （2）根据频率分布直方图求百分位数； （3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【小问1详解】 第六组的频率为， 故第七组的频率为 【小问2详解】 由直方图得，各组频率依次为，，，，，，，， 因为， 设第85百分位数为， 则，解得， 所以这所学校的800名男生的身高的第85百分位数为. 【小问3详解】 第六组的人数为，设为， 第八组的人数为，设为， 则从中随机抽取两名男生有共有15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件包含的基本事件为共7种情况. 所以. 18. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； 【答案】（1）证明：因为，为中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直. （2）利用体积法求点到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如图： 中，，，， 所以， 且， 所以，所以. 又因为, 由，，，，所以是直角三角形. 故. 设点到平面的距离为，则. 19. 如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． （1）求证：平面； （2）若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明：因，，则, 又因是的中点，则,且, 在中，，则, 又因是的中点，则, 因，则由可得, 因平面，故平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用条件分别证明，，再由线面垂直的判定定理即可得证； （2）（ⅰ）利用线面平行的性质先证得，结合条件推得是的中点，即得；（ⅱ）取的中点，连接，证明平面，作于点，连接，证明即二面角的平面角，借助于题设条件求解即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因平面，在上，则平面， 因平面平面，则， 又因是的中点，则是的中点，故； （ⅱ）取的中点，连接，因是的中点，则，且， 在平面中，作于点，连接. 由（1）得平面，则平面，因面，则， 因平面，则平面， 又平面，则，故即二面角的平面角. 连接，易得， 因平面，平面，则，则， 故，又， 由可得， 在中，由等面积可得， 故在中，， 则，即二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $