专题07直角三角形与角平分线暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

专题07直角三角形与角平分线暑假预习讲义 ·识记定理：牢记直角三角形角度、斜边中线、30° 边角性质与 HL 判定；掌握角平分线性质、逆定理及内心特点。 ·作图操作：理解尺规作角平分线原理，能规范完成作图并保留痕迹。 ·基础计算：利用两节知识点求解线段长度、三角形内角度数。 ·几何证明：规范书写 HL、角平分线相关证明，会作垂线、斜边中线两类辅助线。 ·识图推理：从组合图形提取直角、角平分线条件，结合全等完成简单综合题。 ·思维规范：分清定理与逆定理，养成严谨几何书写习惯，为后续几何学习铺垫。 预习必备 知识梳理 1.直角三角基本概念 2.直角三角形三大性质 3.直角三角形全等判定 4.直角三角形判定 5.角平分线 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.直角三角形的性质 2.直角三角形的判定 3.斜边中线等于斜边的一半 4.含30度角的直角三角形 5.用HL证全等 6.全等的性质和HL综合 7.作角平分线 8.角平分线的性质定理 9.角平分线的判定定理 10.角平分线性质的实际应用 强化题型 解答题8题 知识点01：直角三角形基本概念 1.定义：有一个内角等于90的三角形叫做直角三角形，记作Rt△ABC（∠ C=90）。 2.边的命名：构成直角的两条边叫直角边；直角所对的最长边叫斜边。 3.角的标识：直角符号，直角固定为90，另外两个锐角均为锐角。 知识点02：直角三角形三大性质（含几何语言、判定推论） 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点03:直角三角形全等的判定（HL 定理） 一般判定：SSS、SAS、ASA、AAS（均适用）。 特殊判定（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' ⇒ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 注意：HL 仅适用于直角三角形，书写必须注明 “Rt△”。. 知识点04:直角三角形判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点05:角平分线 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 几何特征：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点06：高频易错点 易错类型 错误表述 / 做法 标准正确结论 定理适用范围混淆 普通三角形用 HL、普通三角形用斜边中线结论 HL、斜边中线定理仅直角三角形专用 线段相等判定漏洞 角平分线连斜线直接相等；30° 直角边倍数写反 角平分线仅垂线段相等；30° 对直角边 =½ 斜边 逆定理条件缺失 距离相等直接证角平分；中线等于边长一半直接判定直角 逆定理需要完整前提（角内部 / 该边为最长边） 几何书写不规范 HL 不标注 Rt△；证明不标注定理依据 全等注明三角形类型，每一步推理标注对应定理 辅助线遗漏 斜边中点不连中线；角平分不作垂线 固定套路：中点连中线、平分作垂线简化证明 图形概念混淆 内心到三边边长相等；勾股随便套任意三角形 内心到三边垂距相等；勾股定理仅限 Rt△ 题型1.直角三角形的性质 【典例】一个直角三角形的一个锐角为度，则另一个锐角的度数是________度． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． 【跟踪专练3】将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 题型2.直角三角形的判定 【典例】若中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【跟踪专练1】如图，平分，，，，则是____三角形． 【跟踪专练2】如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 题型3.斜边中线等于斜边的一半 【典例】如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为________． 【跟踪专练1】图1是某脚手架的实物图，图2是其示意图，，是的中点，若，则支撑杆的长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为______________________． 【跟踪专练3】如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿水平面向左移动时，点和点的距离（     ） A．先变小后变大 B．不断变小 C．不断变大 D．始终不变 题型4.含30度角的直角三角形 【典例】景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【跟踪专练1】如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【跟踪专练2】如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．平分 题型5.用HL证全等 【典例】如图，在与中，，要使，还需要添加一个条件：______． 【跟踪专练1】如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【跟踪专练3】如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 题型6.全等的性质和HL综合 【典例】如图，已知，垂足为B，，，若，，则_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，点在上，，，，垂足分别为，，且，则的长为 _____． 【跟踪专练2】如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型7.作角平分线 【典例】如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可求得__________． 【跟踪专练3】如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．11 D．14 题型8.角平分线的性质定理 【典例】如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 【跟踪专练1】如图，是的平分线，于点D，且，则点C到的距离是（     ） A．5 B．3 C．2 D．无法确定 【跟踪专练2】如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 【跟踪专练3】如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（     ） A． B． C． D． 题型9.角平分线的判定定理 【典例】两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为___________． 【跟踪专练1】如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为______． 【跟踪专练3】如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 题型10.角平分线性质的实际应用 【典例】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． 【跟踪专练1】如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【跟踪专练2】如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 【跟踪专练3】如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，中，，于，平分交于． (1)当时，求的度数； (2)猜想：与、有什么关系，并说明理由． 2．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 3．如图，在中，，于点，点在线段上，连接，，点是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 5．如图，为等腰三角形，，请用尺规作图的方法在上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 6．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 7．如图，平分，平分，求证：平分． 8．如图，在中，，，点在线段的延长线上，与不重合，且．连接，过作于点，与交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07直角三角形与角平分线暑假预习讲义 ·识记定理：牢记直角三角形角度、斜边中线、30° 边角性质与 HL 判定；掌握角平分线性质、逆定理及内心特点。 ·作图操作：理解尺规作角平分线原理，能规范完成作图并保留痕迹。 ·基础计算：利用两节知识点求解线段长度、三角形内角度数。 ·几何证明：规范书写 HL、角平分线相关证明，会作垂线、斜边中线两类辅助线。 ·识图推理：从组合图形提取直角、角平分线条件，结合全等完成简单综合题。 ·思维规范：分清定理与逆定理，养成严谨几何书写习惯，为后续几何学习铺垫。 预习必备 知识梳理 1.直角三角基本概念 2.直角三角形三大性质 3.直角三角形全等判定 4.直角三角形判定 5.角平分线 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.直角三角形的性质 2.直角三角形的判定 3.斜边中线等于斜边的一半 4.含30度角的直角三角形 5.用HL证全等 6.全等的性质和HL综合 7.作角平分线 8.角平分线的性质定理 9.角平分线的判定定理 10.角平分线性质的实际应用 强化题型 解答题8题 知识点01：直角三角形基本概念 1.定义：有一个内角等于90的三角形叫做直角三角形，记作Rt△ABC（∠ C=90）。 2.边的命名：构成直角的两条边叫直角边；直角所对的最长边叫斜边。 3.角的标识：直角符号，直角固定为90，另外两个锐角均为锐角。 知识点02：直角三角形三大性质（含几何语言、判定推论） 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点03:直角三角形全等的判定（HL 定理） 一般判定：SSS、SAS、ASA、AAS（均适用）。 特殊判定（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' ⇒ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 注意：HL 仅适用于直角三角形，书写必须注明 “Rt△”。. 知识点04:直角三角形判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点05:角平分线 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 几何特征：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点06：高频易错点 易错类型 错误表述 / 做法 标准正确结论 定理适用范围混淆 普通三角形用 HL、普通三角形用斜边中线结论 HL、斜边中线定理仅直角三角形专用 线段相等判定漏洞 角平分线连斜线直接相等；30° 直角边倍数写反 角平分线仅垂线段相等；30° 对直角边 =½ 斜边 逆定理条件缺失 距离相等直接证角平分；中线等于边长一半直接判定直角 逆定理需要完整前提（角内部 / 该边为最长边） 几何书写不规范 HL 不标注 Rt△；证明不标注定理依据 全等注明三角形类型，每一步推理标注对应定理 辅助线遗漏 斜边中点不连中线；角平分不作垂线 固定套路：中点连中线、平分作垂线简化证明 图形概念混淆 内心到三边边长相等；勾股随便套任意三角形 内心到三边垂距相等；勾股定理仅限 Rt△ 题型1.直角三角形的性质 【典例】一个直角三角形的一个锐角为度，则另一个锐角的度数是________度． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键，根据直角三角形两锐角互余计算即可得到答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角为度，直角三角形两锐角互余， 另一个锐角的度数为． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． 【答案】的度数为或或 【分析】分、三种情况，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 若，则； 若，如图， 则； 若，如图， 则； 综上，的度数为或或． 【跟踪专练3】将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：． 【详解】解：如下图所示，在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 题型2.直角三角形的判定 【典例】若中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，从而可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【跟踪专练2】如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解本题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得；再证明可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C． 题型3.斜边中线等于斜边的一半 【典例】如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为________． 【答案】2026 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质求解即可 【详解】解：∵，互相垂直，即， 又∵点为公路的中点， ∴ ． 【跟踪专练1】图1是某脚手架的实物图，图2是其示意图，，是的中点，若，则支撑杆的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，即可求解． 【详解】解：，是的中点，， ， 支撑杆的长为． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为______________________． 【答案】/50度 【分析】先根据直角三角形斜边中点的性质可得，再由垂直可得的度数，由此可解． 【详解】解：∵在中，，是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 【跟踪专练3】如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿水平面向左移动时，点和点的距离（     ） A．先变小后变大 B．不断变小 C．不断变大 D．始终不变 【答案】D 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，即，且点是梯子的中点， ∴， ∵梯子的长度为定值， ∴的长度为定值，即点和点的距离始终不变． 题型4.含30度角的直角三角形 【典例】景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 【跟踪专练1】如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【答案】 【分析】作于点，求得，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，即点到水平线的距离为分米． 【跟踪专练2】如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 【答案】6 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴，则， ∴， ∴，则． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】因为，，，可得，，，逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，故B选项正确； ∵，∴不平分，故D选项错误； ∵，∴与不平行，故C选项错误； ∵，故A选项错误． 题型5.用HL证全等 【典例】如图，在与中，，要使，还需要添加一个条件：______． 【答案】或 【详解】解：根据全等三角形判定可知，在两个直角三角形中，有一组斜边相等和一组直角边相等的三角形全等； ∵图中可知，两直角三角形的斜边是公共边， ∴只需要再有一组直角边相等即可， ∴或均可． 【跟踪专练1】如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 【跟踪专练2】如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【答案】或（写一个即可） 【分析】先证明，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：，而， 在和中， ， ∴， 添加：，而， 在和中， ， ∴． 【跟踪专练3】如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充，可得：， 在和中， ， ∴． 【点睛】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 题型6.全等的性质和HL综合 【典例】如图，已知，垂足为B，，，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在中，，点在上，，，，垂足分别为，，且，则的长为 _____． 【答案】 【分析】证明，得，则，再由含角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可证得与，得到，，再计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可证明，则，因此． 【详解】解：根据题意可得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型7.作角平分线 【典例】如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线．根据作图痕迹可知射线是的平分线，利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，射线是的平分线， ． ， ． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 【答案】/36度 【分析】利用等边对等角求出，再利用角平分线的定义求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据尺规作图可得，平分， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可求得__________． 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理可解得，由尺规作图的痕迹可以判断，是的平分线，即可求出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， 根据尺规作图痕迹，可以判断是的平分线， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，， ， 由作图方法可得：平分， ， 在和中 ， ， ， 的周长为：． 题型8.角平分线的性质定理 【典例】如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】如图，过作于点，首先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵，平分， ∴， ∴的面积是． 【跟踪专练1】如图，是的平分线，于点D，且，则点C到的距离是（     ） A．5 B．3 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】过点C作于E，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于E， 是的平分线，，， ， 即点C到边的距离为3． 【跟踪专练2】如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，于点，由角平分线的性质推出，由三角形的面积求出，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵平分，，， ， ∵平分，，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∴ ． 【跟踪专练3】如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为． ∵，，平分， ∴． ∴，即， ∴． 题型9.角平分线的判定定理 【典例】两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为___________． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，把实际问题转化为数学问题求解是解题的关键；根据两把长方形直尺相同，表明点P到射线的距离相等，由角平分线的判定定理知，射线是角平分线，即可求解． 【详解】解：∵两把长方形直尺相同， ∴点P到射线的距离相等， ∴射线是的平分线， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵到，的距离均为米， ∴是的角平分线， ∵， ∴ 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 先证明为的平分线，再根据垂线段最短，可知当时，的长度最小，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ，即为的平分线， 为的平分线， 当时，的长度最小， 又∵， ， ，， ，即长的最小值为5． 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，计算即可求解． 【详解】如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ， 同理可得， ， ，， 是的平分线， ． 题型10.角平分线性质的实际应用 【典例】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 【跟踪专练1】如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 【跟踪专练2】如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 【答案】6 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 解答题 1．如图，中，，于，平分交于． (1)当时，求的度数； (2)猜想：与、有什么关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： 分别是的高和角平分线， ，， ， ． 【分析】（1）由，可得，根据平分，得，再根据，可得，即可求得的度数； （2）由，可得，由平分，可得，即可得出． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：略． 2．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 3．如图，在中，，于点，点在线段上，连接，，点是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， 在与中，，， ∴， ∴． (2)2 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，证明是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 4．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图，为等腰三角形，，请用尺规作图的方法在上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求．（作法不唯一，合理即可） 【分析】作的角平分线，则，又因为，，根据“”即可得到． 【详解】略 6．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 7．如图，平分，平分，求证：平分． 【答案】过点O作 ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分． 【详解】解：略 8．如图，在中，，，点在线段的延长线上，与不重合，且．连接，过作于点，与交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线的作法； （1）利用同角的余角相等得到，进而可证； （2）利用等腰三角形的性质及角平分线的判定得到角的相等关系，进而在中论证即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴； （2）如图1，过点作，，垂足分别为，． 由（1）知， ∴，； ∴， ∴； ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线的作法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $