第06讲 最简二次根式与同类二次根式（知识详解+6典例精讲+课后作业）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册暑假预习讲义

宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第06讲最简二次根式与同类二次根式（知识详解+6典例精讲+课后作 业) 目标导航 知识点01：最简二次根式 知识点02：同类二次根式 知识详解核心内容 知识点03：合并同类二次根式 题型01：最简二次根式的判断 题型02：化为最简二次根式 典例精讲例题解析 (举三反三) 题型03：已知最简二次根式求参数 题型04：同类二次根式 题型05：已知同类二次根式求参数 题型06：合并同类二次根式 课后作业·巩固延伸 一、 单选题（5) 二、 填空题（12) 三、解答题(5) 0 知识详解·核心内容 【知识点01】最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1； (2)被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式 【知识点02】同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 要点归纳： (1)同类二次根式类似于整式中的同类项. 1 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同. (3)判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相 同 【知识点03】合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.（二次根式的加减同整式的加减类似，归 结为合并同类二次根式，为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式.) 要点归纳： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数： (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 ☆8 ☆ 典例精讲·例题解析 【题型01】最简二次根式的判断 【典例1-1】.(25-26八年级上·上海期末)下列二次根式中，最简二次根式是() a V12a: V0.3a9 C.N2+4 D. V4. 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母，2被开方数不含 能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可. 【详解】解：A、2a=V4×3a=23a,被开方数含能开得尽方的因数4，故A不是最简二次根式： B、V0.3a= 3a 10 被开方数含分母，故B不是最简二次根式： 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 C、a2+4既不含分母，也不能分解出能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件，故C是最简二次根式： a D 4 的被开方数含分母4， 故D不是最简二次根式。 【典例1-2】.(25-26八年级上·上海期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.8a B C.a-1 D.v 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义（被开方数不含能开得尽方的因数、不含 分母，且分母不含根号)，逐一判断各选项。 【详解】解：A、V8a=V4×2a=2V2a,含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式： B 2 被开方数含分母，不是最简二次根式： C、√a2-1被开方数不含能开得尽方的因式，且不含分母，是最简二次根式： D、 V:3=√a×a含能开得尽方的因数a,不是最简二次根式. 故选：C 【典例1-3】.(25-26八年级上·上海·期末)写出一个被开方数小于20的最简二次根式： 【答案】 √2（答案不唯一） 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 含分母、被开方数不含能开尽方的因数或因式： 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开尽方的因数或因式，且被开方数小于20，即可写出符 合条件的二次根式。 【详解】，被开方数2小于20，且2不含能开尽方的因数， ∴.√2是最简二次根式. 故答案为：√2（答案不唯一） 【变式1-1】.下列二次根式中，属于最简二次根式的是() /1 A. 12 V3 C. D.02 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解答本题的关键， 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项， 【详解】解：：选项A:V2=V4×3=2V5,含完全平方因数4，不符合题意； 1 选项B: 3被开方数含分母，不符合题意： 选项C: √7被开方数7是质数，无完全平方因数且无分母，符合题意： 选项D: √0.2 被开方数含分母，不符合题意： 故选C. 4 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 【变式1-2】.(25-26八年级上：上海期中)下列二次根式√+1、2、8a、Va+2b+b中，最简二次 根式是 【答案】Va+1 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键. 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可。 【详解】 解：a2+1>0,因此√a2+1是最简二次根式： 2 V2 =2,因此2 不是最简二次根式： V8a=2W2a,因此V8a不是最简二次根式： Va2+2ab+b=V(a+b)=a+b,因此√a+2ab+b2不是最简二次根式， 故答案为：2+1. 【变式1-3】.(22-23八年级上上海长宁期中)二次根式中：√a2+b、√0.5、√4a、Vxy是最简二次根式 的是 【答案】Va2+b 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可. 【详解】解：√a2+b是最简二次根式， 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 -2 4a=2Ja, y=. √0.5、√4a、Vxy不是最简二次根式. 故答案为：√a2+b. 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含 分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 【题型02】化为最简二次根式 【典例2-1】.(23-24八年级上上海阶段检测)化简：V32ab(a>0)= 【答案】4a√2ab 【知识点】化为最简二次根式 【详解】解：V32ab(a>0)=4a√2ab ab 【典例2-2】.化简： 2 (a>0)= 2ab 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案。 b 【详解】解：原式4 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 √2ab 2 2ab 故答案为： 2 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的除法运算法则，本题属于基础题 型 【变式2-1】.(22-23八年级上·上海期中)化简：4 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据二次根式化简求解即可 555 【详解】442 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟悉二次根式化简是解题的关键. 【变式2-2】.(2025八年级上·上海专题练习)化简. (1)N45: of' (3)0.5: 【答案】(1)3v5 7 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 5 o号 36 5 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键. (1)根据二次根式的乘法法则进行化简即可： (2)根据二次根式的除法法则进行化简即可 (3)根据二次根式的除法法则进行化简即可： (4)根据二次根式的除法法则进行化简即可. 【详解】(1)解：V45=V9x5=V9×V5=3V5: T 1 1x5 5 (2)解：1 5=5=5x55 T11×2-V2 (3)解： 05-22×22 933×W535 (4)解： 355x552 【变式2-3】.（第02讲最简二次根式与同类二次根式【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（沪教 版，上海专用))将下列二次根式化成最简二次根式： 8 0) 8 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床。 (2)V1.5a3: 3)3a（b<02 bs (4)\27ac （a>0'b>0'c>0). 【答案】026 (②)v6 2 6 3a ④v3ahc 9a'c 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【分析】(I)根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解： (2)将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解： (3)根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解： (4)根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解。 8√822x526 【详解】(1)解：3万3x53· 2)解：15-号月 3a_V3a3aW3a×V2_aW6a √2×N2 2 b2-b b3a (3)解： V3a 3a 3a 9 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 √b2√b_b23abc (4)解： V27a'c 27a'c 3avac 9a'c 【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算方法 是解题的关键。 【题型03】已知最简二次根式求参数 【典例3-1】，若二次根式√3m+9是最简二次根式，则可取的最小整数为() A.1 B.0 C.-1 D.-2 【答案】D 【知识点】己知最简二次根式求参数 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可· 【详解】解：3m+9≥0， m≥-3，当m=-3时，V3m+9=√0=0，不是最简二次根式： 当m=-2时，V3m+9=V5,是最简二次根式， 故m可取的最小整数为-2， 故选：D 【典例3-2】，若2a+5与V3b+a是被开方数相同的最简二次根式，求√ab的值 【答案】2V2 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式的定义列出a,b的方程求出，再代入√ab计算求值 10 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【详解】解：，√2a+5与√3b+a是被开方数相同的最简二次根式 [a-1=2 12a+5=3b+a a=3 解得： 8 b=3 .2a+5=11>0 a=3 b= 8符合题意 ..ab= 3x8=2N5 3 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母：(2)被开方数中不含能开的尽的因数或 因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.本题求出α，b后还需检验，因为被开方数必须为非 负数。 【变式3-1】，二次根式√3m是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： 【答案】1 【知识点】己知最简二次根式求参数 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此3m需 无平方因子，故m不能是3的倍数且自身无平方因子， 【详解】解：当m=1,则3m=3,3无平方因子，故V3是最简二次根式 故答案为：1（答案不唯一）. 【变式3-2】.(24-25八年级·上海暑假作业)已知二次根式√23-a化成最简二次根式后与V2被开方数相同. 若a是正整数，则a的最小值为 11 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】5 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式 的解法是解题的关键。 根据题意可得23-a必须是2乘以某个完全平方数，即23-a=2m2(m为正整数)，进而求出a的可能值，取 最小正整数即可 【详解】解：由于√23-a化成最简二次根式后与√2被开方数相同， 则V23-a的最简形式为mW2,其中m为正整数， 即23-a=2m2, 解得a=23-2m2 由a为正整数，得23-2m2>0, 解得m2<11.5, 则m可取1,2,3， 当m=1时，a=21;当m=2时，a=15;当m=3时，a=5 因此a的最小值为5， 故答案为：5 【变式3-3】.(2425八年级下上海随堂练习)已知最简二次根式5与3a+b是同类二次根式，求(a+b)川 的值. 【答案】1 【知识点】零指数幂、已知最简二次根式求参数、代入消元法 12 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a,b的值，再代入计算即可： 【详解】解：：最简二次根式b与V3a+b是同类二次根式， a+b=2 .b=3a+b' a=0 解得： b=2' ∴.(atb)a=(0叶2)=1： 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得 尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键。 【题型04】同类二次根式 【典例4-1】(23-24八年级上·上海阶段检测)下列二次根式中，不是同类二次根式的是() 1 A.√45和√20 B.s和2 C,5和2 0.24和5 D. 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，比较被开方数，找出被开方数不同的一组即可. 【详解】解：A选项：V4巧=V9x5=3W5,√20=√4×5=2W5, ,两个二次根式被开方数都是5，是同类二次根式： 3 3 2 13 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 两个二次根式被开方数都是2，是同类二次根式： C选项：，V7=V25×3=55,V2=√4x3=2V5. ∴两个二次根式被开方数都是3，是同类二次根式： D选项：V0.24= 24_26.6 315 100105，V5=5, .两个二次根式被开方数分别为6和15，不相同，不是同类二次根式. 【典例4-2】.下列各式中，与√2是同类二次根式的是（) 2 A √20 B.8 C.3 D.0.2 【答案】B 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的判定，需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简形 式，对比被开方数是否与√2的被开方数相同即可. 【详解】，同类二次根式的定义是：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次 根式 ∴，对各选项化简： A选项：√20=V4×5-25,被开方数为5，与V2的被开方数2不同，不是同类二次根式. B选项：8=9×2=32，被开方数为2，与√2的被开方数相同，是同类二次根式. C选项： 2 V3 3,被开方数为6，与、√2的被开方数2不同，不是同类二次根式。 5 D选项： 02=店了，被开方数为5，与2的被开方数2不同，不是同类二次根式. 14 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故选：B 【变式4-1】，.若a+b>0,下列各式中与Va+b是同类二次根式的是() A.I(a+by B. e 3V3(a+b) 1 a+b C.2 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查二次根式的性质，同类二次根式.同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可 【详解1解：A+可-+)，与66不是同类二次根式，不合题： 10 B. 33a+与、√a+b不是同类二次根式，不合恩意： a+b C 与a+b不是同类二次根式，不合题意： 4 2va+b D Natb a+b，与a+b是同类二次根式，符合题意： 故选：D 【变式4-2】，(25-26八年级下·上海阶段检测)下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是() A.0.7与万 B.Na+b与Va-b(其中a>b>0) C.24与6 D.与r(其中x>0'y>0) 【答案】C 【知识点】同类二次根式 15 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可. 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A:V0.7与V7,被开方数分别为0.7和7，不同，故不是同类二次根式： 1 a-b 选项B:Va+b与a-b(其中a>b>0），a-b可化为 a-b, 被开方数分别为a+b和。-b”不同，故 不是同类二次根式： 选项C:√24=V4×6=26:6=6,两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式： 选项D:Vy=xV可，V=y,其中x>0,y>0,被开方数分别为y和x,不同，故不是同类二次根 式 故选：C 【变式43】.判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ 1 (1)a+a和6ab+6: 3a+2b a (②)9a2+12ab+45和V3a+2b· 【答案】(1)不是： (2)不是. 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的 关键。 16 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 (1)根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案。 (2)根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案。 【详解】(1)解：aNa+a2=aa2(a+1)=a2a+i； 1 63 1 √ab+b √ab+b=√ab+b ab+b ab+b' 1 aa+a和√ab+方不是同类二次根式： 3a+2b 3a+2b 1 3a+2b (2)解：V9a2+12ab+4b2 V(3a+2b2 V3a+2b 3a+2b: a 3a2+2ab V3a+2b 3a+2b 3a+2b a V9r+12ab+4你和√3a+2b不是同类二次根式. 【题型05】已知同类二次根式求参数 【典例5-1】.(23-24八年级上·上海阶段检测)若V7x+3与V6是同类二次根式，则x的最小正整数是 【答案】3 【知识点】同类二次根式 【分行】根据同类二次根式的定义，设十36：〈4为正装数)，整程得6,3。从的录小正整数开始 依次代入找到x的最小正整数即可. 【详解】√7x+3与√6是同类二次根式， ,设7x+3=6k2(k为正整数)， 17 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 整理得x=62-3 7 当k=1时，x=6x1-33 7一=7，不是正整数，不符合要求， 肾2时，x=6×23-2=3,是正整数，符合要求 77 ,x的最小正整数是3 【变式5-1】.(25-26八年级上·上海阶段检测)若最简二次根式3x-92x+y-5和Vx-3y+I1是同类二次根式， 求x、y平方和的平方根. 【答案】±5 【知识点】求一个数的平方根、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，求一个数的平方根，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二 3x-10=2 次根式，据此可得方程组 2x+y-5=x-3y+11:解方程组求出不、y的值，再根据平方根的定义求解即可. 【详解】解：最简二次根式3x-92x+y-5和Vx-3y+11是同类二次根式， 3x-10=2,2x+y-5=x-3y+11, [3x-10=2 即12x+y-5=x-3y+11' x=4 解得y=3 x、y的平方和为x2+y2=16+9=25. .x、y平方和的平方根为5 【变式5-2】.最简根式2√m2-3与4V9m+7是同类二次根式，则m= 18 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】10 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，同类二次根式要求被开方数相同，据此列方程求解，并验证被开方数的非负性， 【详解】解：：最简根式2√m2-3与4V9m+7是同类二次根式， .m2-3=9m+7, 解得m=10或m二1 检验：当m=10时，m2-3=97>0,9m+7=97>0;当m=1时，m2-3=-2<0,不符合二次根式定义， 故m=10 故答案为：10 【变式5-3】.(25-26八年级上上海阶段检测)如果最简二次根式V-1与V⑧是同类二次根式，那么t= 【答案】3 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析)本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同，把√8化为最简二 次根式后，因此令1-1等于V⑧化简后的被开方数即可求解. 【详解】解：：V⑧=2V2,-1与V⑧是同类二次根式， .t-1=2,解得t=3 故答案为3 【题型06】合并同类二次根式 【典例6-1】.(25-26八年级上·上海阶段检测)下列二次根式中，能与√5合并的是() 19 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 A.8 B. C.80 D.05 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查二次根式性质及同类二次根式定义，熟记同类二次根式的定义是解决问题的关键. 先利用二次根式性质对各选项中的二次根式进行化简，再根据同类二次根式定义判断即可得到答案。 【球1能：纸题，低-3得-.而45-得9 ·√80与5是同类二次根式，可以合并. 故选：C. 【典例6-2】.(2025八年级上·上海专题练习)若√7-2x是最简二次根式，且与5可以进行加减合并，则x 的值为() A.1 B.-5 C.-1 D.5 【答案】A 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称 为同类二次根式. 根据同类二次根式的定义列式整理即可求解。 【详解】解：，√7-2x是最简二次根式，且与√5可以进行加减合并， .7-2x=5, 解得：x=1. 20 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故选：A, 【典例6-3】.(25-26八年级上：上海期末)若最简二次根式√a+2与V8能合并，则a= 【答案】0 【知识点】己知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的含义是解题的关键；V8=2√2，由题意知，α+2=2， 即可求解. 【详解】解：：V⑧=2V2,且最简二次根式va+2与V8可以合并， .a+2=2, 解得：a=0: 故答案为：0. 【典例6-4】.(25-26八年级上上海期中)若最简二次根式VQ-1与V-b可以合并，则a+b的值是 【答案】2 【知识点】己知最简二次根式求参数、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同， 就把这几个二次根式叫做同类二次根式.掌握同类二次根式的概念是解本题的关键. 根据同类二次根式的概念列出方程，求出a+b. 【详解】解：：最简二次根式√a-1与V1-b可以合并， .a-1=1-b .a+b=2. 故答案为2. 21 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 【变式6-l】,若√8与最简二次根式√m+1能合并，则m的值为 【答案】1 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念 先将V8化简为2√2，被开方数为2，因此√m+1的被开方数也应为2，即可得出结果。 【详解】解：V8=V4×2=22, .被开方数为2， :V⑧与最简二次根式Vm+1能合并， 又：√m+1是最简二次根式， .√m+1的被开方数与2相同， 即m+1=2,解得m=1, 故答案为：1. 【变式6-2】.己知最简二次根式V2x-3与V5可以合并，则x的值是 【答案】4 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了同类二次根式的定义. 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同. 【详解】解：由题意，V2x-3与V5可以合并， 因此它们是同类二次根式， 22 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 故被开方数相等， 即2x-3=5, 解方程：2x-3=5, 移项得2x=8, 解得x=4. 故答案为：4. 【变式6-3】.若最简二次根式V2m+n与m√m+7可以合并，求m的算术平方根. 【答案】5 【知识点】求一个数的算术平方根、同类二次根式、加减消元法 【分析】由题意可知√2m+n与m√m+7是同类二次根式，列出关于m,n的二元一次方程组，求出心，n的 值，代入m”求解即可. 【详解】解：最简二次根式√2m+n与m-Vm+7可以合并， .2m+n与-Vm+7是同类二次根式， m+7=2m+n m-n-1=2, m=5 解得 n=2, .m"=52=25, .Vm"=√25=5， 即m”的算术平方根是5 23 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【点睛】本题考查同类二次根式、解二元一次方程组、有理数的乘方、算术平方根等知识点，根据√2m+与 m√m+7是同类二次根式求出m,的值是解题的关键。 【变式6-4】.(25-26八年级上上海课后作业)若V12与最简二次根式√m+2可以合并，则m= 【答案】1 【知识点】化为最简二次根式、已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得V2=25,因为25与最简二次根式√m+2 可以合并，故m+2=3,即可作答 【详解】解：依题意，V12=2√5. ,2W3与最简二次根式Vm+2可以合并， m+2=3, m=1, 故答案为：1. 【变式6-5】，如果最简二次根式V3a-8与V17-2a在二次根式的加减运算中可以合并，则a= 【答案】5 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是根据最简二次根式 的定义与同类二次根式的定义可得3a-8=17-2a,从而求解. 【详解】解：最简二次根式√3a-8与V17-2a可以合并， ∴.V3a-8与V17-2a是同类二次根式， .3a-8=17-2a, 24 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 解得：a=5, 故答案为：5. 【变式6-6】.已知最简二次根式V5a-√5历与2a+4可以合并，且(a-3c}2+Vb-√5c=0,求代数式 √5a+b-√45c的值. 【答案】V5 【知识点】二次根式有意义的条件、已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质，由同类二次根式的定义和非负数的性质 得出a=3c①，b=V5c②，3a-V5b=4③，将①、②代入③得9c-5c=4,求得c=1,继而可得a=3、b=V5 将分式化简、代入计算可得. 【详解】解：最简二次根式V5a-√5与2a+4可以合并，(a-3c2+Vb-√5c=0, .a-3c=0且b-V5c=0、5a-V5b=2a+4, 则a=3c①，b=V5c②，3a-5b=4③， 将①、②代入③，得：9c-5c=4, 解得：c=1, a=3、b=V5, 5a+b-45c =35+V5-√45x1 =45-35 =5」 【变式6-7】.合并下列各式中的同类二次根式： 25 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 25-25+兮5+5： (2)3xy-axy+bxy: (3)318-V50+5√72： (4)(3b/B+avB)-(4ab+ab/B) 【路灯四，9 2 (2)3-a+b)√ (3)34V2 (4)3b+a-ab)vb-2b√ab 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式、同类二次根式、二次根式的混合运算 【分析】(1)直接合并同类二次根式求解即可得到答案： (2)提公因式即可求解： (3)根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案： (4)去括号后，直接合并同类二次根式即可求解。 【详解】()解：25-25+5+5 72,3 3 2； (2)解：3Vy-aV+b√ =(3-a+b)Ny: 26 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (3)解：3W18-50+5√72 =9W2-52+30W2 =34V2; (4)解：(3bNb+aNb)-(N4ab+ab√b =(3b+a-ab)vb-2b√ab 【点睛】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再 利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键。 课堂小结·知识梳理 一、核心关联与运算规则 1.二次根式加减运算的本质：合并同类二次根式，与整式合并同类项规则一致。 2.运算步骤：先把所有二次根式化为最简二次根式→找出同类二次根式→系数相加减，被开方数和根号保 持不变→最终结果保留最简形式。 3.注意：非同类二次根式不能合并。如√2+3无法合并，直接保留原式。 二、高频易错点总结 判定同类二次根式时，不化简直接判断，导致出错， 化简不彻底，残留可开方的因数或分母，未化为最简形式： 合并同类二次根式时，错误改动被开方数，或胡乱合并非同类根式， 忽略被开方数的取值范围，字母化简时未考虑正负性。 课后作业•巩固延伸 一、 单选题 27 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 1.在下列二次根式中，是最简二次根式的是() a Va2+2a+1 V2 D. √a2-i 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的判定，关键是明确最简二次根式的两个条件：①被开方数不含分母：②被开 方数中不含能开得尽方的因数或因式。 根据最简二次根式的定义逐项判断即可： 【详解】解：选项A:√匠=Va2a=a√a,被开方数含能开得尽方的因式a,不是最简二次根式： 选项B: √a2+2a+1=√(a+1)2=a+1,被开方数是完全平方式，不是最简二次根式： 2a 选项C: V2 2， 被开方数含分母，不是最简二次根式： 选项D:V2-1,被开方数不含分母，且a2-1无法分解为能开得尽方的因式，是最简二次根式 故选：D 2.下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是() A √27ab2和V12a B.5V√2x和5V3x C. V2和V2y D.a和 【答案】A 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断.解题的关键在于，需化简为最简二次根式后，检查被开方数是否 相同.根据二次根式的化简，化简后再判断出同类二次根式即可. 【详解】选项A:化简V27ab2=V9x3×a2×axb=3alV3a,化简√2a=√4x3xa=23a,两式最简形式 28 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 被开方数均为3a,为同类二次根式.符合题意： 选项B:5V2x和5V3x,被开方数分别为2x和3x,故不是同类二次根式，不符合题意： 选项C:Vy2=y小V和√y=VF,被开方数分别为x和y,故不是同类二次根式，不符合题意： 11 1 选项D: 化简后不是二次根式，故不是同类二次根式，不符合题意. 故选A 3.下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是() A.8与V32 B.-0.i与40 c.√ab与Vab D.V12b与√3a2b3 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键，判断二次根式是否同 类，需化简为最简二次根式后检查被开方数是否相同. 12 【详解】解：A.8=22,32=-8，被开方数均为2，是同类二次根式，故A不符合题意： 110 B。一0=0=一0，V0=20:被开方数均为10，是同类二次根式，故B不符合题意 C.√b被开方数为ab,Vab2=ab,化简后非二次根式，不是同类二次根式，故C符合题意： D.√12b=23b,V3ab=dbW3b,被开方数均为3b,是同类二次根式，故D不符合题意. 故选：C 29 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 4.若√18与最简二次根式√m+1能合并，则m的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式.熟练掌握利用二次根式的性质进行化简， 最简二次根式是解题的关键， 由题意知，V8=3√2，则m+1=2,计算求解即可. 【详解】解：由题意知，V18=3V2, .m+1=2, 解得，m=1, 故选：B, 5.在下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A.1.3x B.va2+a C.va+b2 D.V18 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因数或 因式，被开方数的因数是整数，因式是整式，依据此两项要求进行判断即可. 【详解】解：A、V1.3x= 13 V130x x= V10 10 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意： B、Va2+a=laV1+a被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意： C、√a2+b2是最简二次根式，符合题意： D、V8=3V2被开方数含有看得见的因数，不是最简二次根式，不符合题意： 30 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故选：C 二、填空题 6.在2’ 3 0.1,2，√a2+b,√a6中最简二次根式有一个. 【答案】3 【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键.根据最简二次根式的定义判断 即可. 【详解】解：V- 10 .√0.1不是最简二次根式， :Va'b=lalVB, :Va2乃不是最简二次根式， 6 最简二次根式有：，2，a+6,共3个， 故答案为：3 7.如果最简二次根式-2√3+b与2V10是同类二次根式，那么ab的值等于 【答案】28 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键. 根据同类二次根式的定义，根指数相同且被开方数相同，列出方程求解. 【详解】解：由于最简三次根式-2√3+b与2W0是同类二次根式， 则根指数a-2=2,解得a=4, 31 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 被开方数3+b=10,解得b=7, 因此，ab=4×7=28」 故答案为：28 8在次根武吸：3：50：+：0：-6+9中是最简=次根式的园 【答案】V15,√30，√a2+b 【分析】根据最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的 因数或因式：2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式：判断即可. 【详解】解：√48=4V5,不是最简二次根式； √15，是最简二次根式： 1 714 不是最简二次根式： √30，是最简二次根式： √a2+b2,是最简二次根式： 0i=00 不是最简二次根式： VX2-6x+9=V(x-3},不是最简二次根式： ∴是最简二次根式的有：√15，V30,√a2+b2, 故答案为：√15，√30，√a2+b. 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键 32 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 4a2 9.已知a>0' 化简b 【答案】 6/2av6 6 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质 被开方数分子和分母同乘以b,再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解：“a>0' 4a2 b 有意义， ∴.b>0 4a2 b 4a"b =b2 2a b, b 故答案为： 2a b 10.化简V12a2b3(a>0)= 【答案】2abv3b 【分析】由二次根式有意义的条件，结合己知>0，确定b之0，保证开方结果符合算术平方根的非负性，再将 被开方数拆分为可开尽的4b2与最简根式部分3b的乘积，把平方因式开方后移出根号即可. 【详解】解：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即12ab3≥0， ,a>0, 33 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .a2>0, 又12>0， .b3≥0，即b≥0， :.12ab=14x3xaxbxb=4xvax/bx/3b=2ab/3b=2ab/3b. 故答案为：2abV3b 11.若最简二次根式√2n+1与最简二次根式√4n-m相等，则n= m= 【答案】 35 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方 数相同的二次根式称为同类二次根式. 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案. 【详解】解：最简二次根式"√2n+1与最简二次根式√4n-m相等， ∴.n-1=2,2n+l=4n-m 解得：n=3,m=5 故答案为：3,5. 12.若最简二次根式√3b+5与√4a-1是同类二次根式，则代数式a2-ab+b2的值为 【答案】7 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式 叫做同类二次根式，也考查了代数式求值.根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解后，再求代 数式的值即可. 【详解】解：由题意，得 34 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 a-1=2 4a-1=3b+5’ a=3 解得1b=2' ∴a2-ab+b2=32-3×2+22=7 故答案为：7 13.己知最简二次根式√7m-1与V17-14m可以合并，则m的值是 6 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的含义，同类二次根式的含义.根据最简二次根式的定义，同类二次根 式的含义可得7m-1=17-14m,再进一步求解即可： 【详解】解：，最简二次根式√7m-1与V17-14m可以进行合并， .最简二次根式√7m-1与V17-14m是同类二次根式， .7m-1=17-14m, 解得 6 故答案为： 7· 14.√m与√2是同类二次根式，n可以取的数为4,6,8,12,16,32中的一. 【答案】8,32 【分析】本题考查了同类二次根式的定义.要化简为最简二次根式后再判断. 先化简二次根式，然后再判断是否与√2是同类二次根式。 35 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 【详解】解：√4=2，与√2不是同类二次根式： √6与√2不是同类二次根式： √8=2√2，与√2是同类二次根式： √2=2V3,与√2不是同类二次根式： √16=4，与√2不是同类二次根式： √32=42，与2是同类二次根式： 故答案为：8,32 15.己知最简二次根式Va+3与V18是同类二次根式，则a的值为 【答案】-1 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先将V18化简为最简二次根式，再根据被开方 数相同的最简二次根式叫做同类二次根式可得关于α的方程，解方程即可得到答案. 【详解】解：18=V9×2=3V2, ,最简二次根式√a+3与V18是同类二次根式， .a+3=2, ∴.a=-1, 故答案为：-1. 16.最简二次根式2Wx-1与V11-2x是同类二次根式，则x=_ 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键.根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根 36 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式2Wx-1与V11-2x是同类二次根式， .x-1=11-2x, 解得x=4, 故答案为：4。 17.己知A=2√2x+1,B=3x+3,C=V0x+3y,其中A,B为最简二次根式，且A+B=C,则2y-x的值 为 【答案】68 【分析】根据题意得出2x+1=x+3,求出x=2,进而得出10x+3y=(55=125,求出y=35,再代入求值 即可 【详解】A,B为最简二次根式，且A+B=C, .2x+1=x+3, 解得x=2, .A=2W5,B=35,A+B=5V5=C, ÷.10x+3y=(55=125, 解得y=35 .2y-x=2×35-2=68 故答案为：68. 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出x=2是解题的关键. 37 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床。一 三、解答题 18.把下列二次根式化成最简二次根式： 27 3: (2)2.5: 35 2 (4)20 【答案】(1)5 0 2 8210 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键. (1)把27写成9×3，然后化简： (2)先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简： (3)分子分母都乘以5，然后化简： (4)先把分母化简，然后分子分母同乘以V5,然后化简. 【详解】(1)解：原式= 35-万 3 38 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考今 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床。 10 2)原式=2 =2· (3)原式=402w0 5 2=5 (4)原式255· 19.化简： (1)V45. (2)V50. (3)V56. (4)V63 【答案】(1)3√5 (2)5V2 (3)214 (4)37 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键. (1)(2)(3)(4)根据最简二次根式的性质进行计算，即可解答。 【详解】(1)解：原式=V32x5=V3×√5=35. (2)原式=V52×2=V5×V2=5V2. (3)原式=V22x14=V2×√14=24. 39 ...5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。一 (4)原式=V32×7=V3×万=3√万 20.判断下列二次根式是否为同类二次根式. ②后和2 (3)V2a和2a2: m+n m-n (4 (m>n>0). Nm-n 和 m+n 【答案】(1)不是； (2)不是： (3)不是： (4)是. 【分析】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键. (1)根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； (2)根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； (3)根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案： (4)根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案. 【详解1山解：写2-，5-9。 3 3 和5 1 不是同类二次根式： 40 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 a v2a (2)解：2=2 a 一后和2不是同类二次根式： (3)解：V2a2=2a: ∴.√2a和V2a2不是同类二次根式： m-n (4)解：1 m+n_√m2-m =Vm2- m-n m-n ,m+n m+n m+n m-n 一Vm-n和m+n是同类二次根式。 21.若最简二次根式√2a-2与V-a+16是同类二次根式. (1)求a的平方根： ②对于任意不相等的两个数书，y,定义一种运算“”如下：※y=+卫 如：3※2=3+2-5，请求 ※ 3-2 a※[a※(-2)的值. 【答案】(1)±√6 、10 223 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算，二次根式的化简， 熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键. (1)根据同类二次根式的定义得出2a-2=-a+16,求出a,再根据平方根的定义求出a的平方根即可： (2)先根据新运算求出α※(-2)=4，再根据新运算求出6※4的值即可。 41 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床三 【详解】(1)：最简二次根式√2a-2与√-a+16是同类二次根式， ∴.2a-2=-a+16, 解得a=6, ∴a的平方根是±V6: (2)a=6, ∴.a※(-2)=6※(-2)= V6+(-2)1 6-(-2)4 a※-2=6 6+ 6- 4 5 23 4 10 23 22.二次根式√28与最简二次根式√2a+1是同类二次根式，b是8的立方根 (1)求a+3b的平方根： (②)若x=Vb-a,求x2+6x+7的值. 【答案】(1)±3 (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义 42 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (1)根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可： (2)把x2+6x+7变形为(x+3-2,然后把x=2-3代入计算即可. 【详解】(1)解：：二次根式√28=2、7与最简二次根式V2a+1是同类二次根式， .2a+1=7, .a=3 ,b是8的立方根， .b=2, .a+3b=3+6=9, .a+3b的平方根±V9=±3： (2)解：a=3,b=2, .x=b-a=2-3, .x2+6x+7 =x2+6x+9-2 =(x+3)2-2 =（2-3+3}-2 =2-2=0」 43 第06讲 最简二次根式与同类二次根式（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：最简二次根式 知识点02：同类二次根式 知识点03：合并同类二次根式 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：最简二次根式的判断 题型02：化为最简二次根式 题型03：已知最简二次根式求参数 题型04：同类二次根式 题型05：已知同类二次根式求参数 题型06：合并同类二次根式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（5） 二、填空题（12） 三、解答题（5） 【知识点01】最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 【知识点02】同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 要点归纳： （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【知识点03】合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式.) 要点归纳： 　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 【题型01】最简二次根式的判断 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A．； B．； C．； D．． 【典例1-2】．（25-26八年级上·上海·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-3】．（25-26八年级上·上海·期末）写出一个被开方数小于20的最简二次根式：_______________． 【变式1-1】．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 【变式1-3】．（22-23八年级上·上海长宁·期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是______． 【题型02】化为最简二次根式 【典例2-1】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）化简：_____． 【典例2-2】．化简：（a＞0）＝___； 【变式2-1】．（22-23八年级上·上海·期中）化简：______． 【变式2-2】．（2025八年级上·上海·专题练习）化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】．（第02讲最简二次根式与同类二次根式-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 【题型03】已知最简二次根式求参数 【典例3-1】．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【典例3-2】．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【变式3-1】．二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：______． 【变式3-2】．（24-25八年级·上海·暑假作业）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【变式3-3】．（24-25八年级下·上海·随堂练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【题型04】同类二次根式 【典例4-1】（23-24八年级上·上海·阶段检测）下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例4-2】．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（25-26八年级下·上海·阶段检测）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 【变式4-3】．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 【题型05】已知同类二次根式求参数 【典例5-1】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根． 【变式5-2】．最简根式与是同类二次根式，则___________． 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 【题型06】合并同类二次根式 【典例6-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】．（2025八年级上·上海·专题练习）若是最简二次根式，且与可以进行加减合并，则的值为（    ） A．1 B． C． D．5 【典例6-3】．（25-26八年级上·上海·期末）若最简二次根式与能合并，则_______． 【典例6-4】．（25-26八年级上·上海·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值是________． 【变式6-1】．若与最简二次根式能合并，则的值为________． 【变式6-2】．已知最简二次根式与可以合并，则的值是_______． 【变式6-3】．若最简二次根式与可以合并，求的算术平方根． 【变式6-4】．（25-26八年级上·上海·课后作业）若与最简二次根式可以合并，则_____． 【变式6-5】．如果最简二次根式与在二次根式的加减运算中可以合并，则______． 【变式6-6】．已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【变式6-7】．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 一、核心关联与运算规则 1. 二次根式加减运算的本质：合并同类二次根式，与整式合并同类项规则一致。 2. 运算步骤：先把所有二次根式化为最简二次根式 → 找出同类二次根式 → 系数相加减，被开方数和根号保持不变 → 最终结果保留最简形式。 3. 注意：非同类二次根式不能合并。如无法合并，直接保留原式。 二、高频易错点总结 判定同类二次根式时，不化简直接判断，导致出错； 化简不彻底，残留可开方的因数或分母，未化为最简形式； 合并同类二次根式时，错误改动被开方数，或胡乱合并非同类根式； 忽略被开方数的取值范围，字母化简时未考虑正负性。 一、单选题 1．在下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在，，，，中最简二次根式有______个． 7．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于____________________． 8．在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是______． 9．已知，化简__________. 10．化简:____． 11．若最简二次根式与最简二次根式相等，则______．______． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则代数式的值为__________． 13．已知最简二次根式与可以合并，则的值是________． 14． 与 是同类二次根式，n 可以取的数为4，6，8，12，16，32中的_____． 15．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为_________． 16．最简二次根式与是同类二次根式，则______． 17．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 三、解答题 18．把下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 20．判断下列二次根式是否为同类二次根式． (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 21．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 22．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $