专题24 勾股定理（5大知识点+8大题型+真题检验）-2025年新八年级数学暑假班预修讲义沪教版五四制2024

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题24 勾股定理 知识点一、直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边； 定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说，垂线段最短。 知识点二、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用. 2.符号语言：如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则. 3. 变式与应用 （1）变式：， （2）应用：，， 知识点三、勾股定理的证明 对于勾股定理的证明,现在世界上已找出很多种运用图形的割、移补、拼构造特殊图形,并根据面积之间的关系进行推导的方法,现摘取几种著名的证法 方法 图形 证明 赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”) 因为大正方形的边长为 ,所以大正方形的面积为，又大正方形的面积，所以 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为,则.根据“出入相补,以盈补虚”的原理,又有,所以 加菲尔德总统拼图 如图： 利用整体法，梯形的面积为，利用分割法，梯形的面积为，所以 毕达哥拉斯拼图 图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得． 欧几里得证法 注意： (1)勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用不同的方法计算的面积相等. (2)勾股定理的验证,将“形’的问题转化为“数”的问题，体现了数形结合的思想 知识点四、作长为(n为大于1的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的,有理数在数轴上较易找到与它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难由此,我们可借助勾股定理作出长为(n为大于1的整数)的线段 画长为的线段 当直角三角形的两直角边长分别为 ,时斜边长为,即 ;当两直角边长分别为,时,斜边长为,即.依此规律可以画出长为,,，…的线段. 在数轴上表示 构造两条直角边长都是的直角三角形,使用勾股定理得到斜为,再用圆规截取的方法在数轴上画出表示的点;构造两直角边长分别为，的直角三角形,用勾股定理得到斜边长为,再用圆规截取的方法在数轴上画出表示点.依此规律可以画出长为,,，…的点. 主要应用 画出长为无理数的线段,在数轴上画出表示无理数的点. 知识点五、勾股定理的应用 勾股定理把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数的关系.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边求第三边; (2)已知直角三角形的任意一边和另两边的关系,求出未知的两边； (3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度,解决生产、生活中的实际问题. 题型01：用勾股定理解三角形 【例1】1、直角三角形的两条直角边的长为6和8，则斜边上的中线长为_______; 2、直角三角形的两条直角边的长为6和8，则斜边上的高为______; 3、直角三角形两条直角边的比为3:4，斜边长为10，则这个直角三角形的面积为______. 4、直角三角形的两条边长为3、4，则第三边长为__________. 解答方法：注意分类讨论（1）3、4均为直角边，根据勾股定理求斜边； （2）3为直角边、4为斜边，然后根据勾股定理求第三边. 讲解时借助定理“在直角三角形中，斜边大于直角边.”帮助学生理解; (3)提醒学生看清已知条件，不要看到3和4就想5. 答案：（1）5;（2）; （3）24.（4）5或； 【例2】直角三角形的两边长为5和12，求第三边的长及斜边上的高. 解答方法：先根据勾股定理求出第三边，然后利用等积法求出斜边上的高. 解答：第三边长为：13或119 ；斜边上的高为：或. 【跟踪训练】 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 【答案】(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34；(4)6； (5)12． 【详解】试题分析：（1）设a=3x,b=4x,利用勾股定理，可得出的值，继而得出答案； （2）设 利用勾股定理，可得出的值，继而得出答案； （3）根据勾股定理可求出联立可得出 （4）求出 根据直角三角形面积的两种表示形式可得出高； （5）设 利用勾股定理解出的值即可． 试题解析：(1)设a=3x,b=4x,则   解得：x=15，故可得：a=45cm，b=60cm； (2)设a=15x,c=17x,则 解得：x=3,则a=45,故△ABC的面积 (3)即 ∵c−a=4， 则 解得： 即a=30，c=34； (4)   则 解得：   (5)设a=x−1，b=x，c=x+1， 则可得：   解得：x=4，即a=3，b=4，c=5， 故a+b+c=12. 2.（1）在Rt△ABC中，，，，则____________； （2）在Rt△ABC中，，，，则____________． 【答案：；】 3.在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：B． 4.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是____________． 【思路分析：此题只给出两边分别为3和4的条件，并没有说正好是两条直角边为3和4，因此要考虑分别两直角边为3和4的情况和一条直角边为3，斜边是4的情况3不可能是斜边，因为直角三角形斜边大于直角边．】 【答案：7或25】 5.中，．若边上的高，则底边 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形，勾股定理，二次根式的混合运算，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当是锐角三角形时， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ； ②如图2，当是钝角三角形时， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 6.在△ABC中，，，高，则△ABC的周长为____________． 【答案：42或32】 题型02：利用勾股定理求面积 【例3】求____________，____________，____________． 【答案：225；39；225】 【例4】如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定；根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【规范解答】解：三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， （如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 【例5】如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 【跟踪训练】 1．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可． 【详解】∵∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2， ∴S3=S2−S1=10−3=7， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 2．在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键． 证，得，同理，． 【详解】解：如图所示， 在和中， ， ， ，， ， 同理可证， ． 故答案为：10． 3.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】25 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图， 在中，， 在中，， ∴ 故答案为：25． 4.如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： ． 题型03：勾股树问题 【例6】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【答案】 8 5 13 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3， 正方形A，B，C，D的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为， 正方形的面积为13， 故答案为：8，5，13． 【例7】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2 A B C D 7cm 答案：49. 【例8】如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 【跟踪训练】 1.如图是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为 ． 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为，如图所示： ∴由勾股定理可得：，，， ∴， ∴图中阴影正方形的面积之和为； 故答案为：． 2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 3.如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查图形类规律探究，等腰直角三角形的性质，勾股定理，根据题意依次求出前几个正方形的面积，进而得到规律，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴； 故选D． 4.有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， 以此类推，“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选A． 题型04：勾股定理的证明方法 【例9】下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用面积法验证或证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理． 第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理． 第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理． 第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理， 能够验证勾股定理的有4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键． 【跟踪训练】 1.勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：c2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋(b−a)2＝a2＋b2， ∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理． B、大正方形的面积为：（a＋b）2； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2＋b2＋2ab， ∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab， ∴不能证明勾股定理． C、大正方形的面积为：（a＋b）2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋c2＝2ab＋c2， ∴（a＋b）2＝2ab＋c2， ∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理． D、图形的面积两种求法：①2个直角三角形+一个大正方形：2ab＋c2 ②两个正方形+两个直角三角形：a2＋b2+2ab； ∴2ab＋c2＝a2＋b2+2ab， ∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键． 2.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用如图证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2． 【答案】见解析 【分析】利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a， ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab， 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）， ∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）， ， 即a2+b2＝c2． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键． 3.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，根据面积相等的关系证明勾股定理．利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等即可得答案． 【详解】解：大正方形的面积表示为：， 又可以表示为：， ， ， 故选：C． 4.如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有 （填“＞”或“＜”或“”） 【答案】 【分析】证，推出，则，再证，代入求出即可． 【详解】解：如图， ∵正方形a，c的边长分别为a和c， ∴，， 由正方形的性质得：，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形b的面积为， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键． 5.如图，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长、，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明方法，准确识别图形，熟练掌握相关图形积的求解方法是解题的关键．首先根据正方形的面积公式列出表示正方形的面积的代数式，根据三角形的面积公式列出表示四边形的面积的代数式，根据两个四边形的面积相等可得等式，整理可得：． 【详解】解：根据题意可知， ， 由题意得：， ， 整理得：． 6.现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为、，斜边长为，将它们拼合为如图的形状．    (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；   方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ，根据面积相等，直接得等式__________从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： ， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：即； 故答案为：，，，； （2）解：根据题意得：空白部分的面积为 ， 当，时，原式． 题型05：作长为(n为大于1的整数)的线段 【例10】如图，数轴上点，对应的数分别是，，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点点在点的左侧)，则点在数轴上对应的数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；首先利用勾股定理计算出的长，进而可得的长，然后再确定点所对应的数． 【详解】解：点，对应在数分别是，， ， 以为边在数轴上方作正方形， ， ， ， 点对应的数是， 在数轴上对应在数为， 故选：B． 【例11】 阅读下列材料，并回答问题. 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理.请利用这个结论，完成下面活动： (1)一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为_____________； (2)如图，点A在数轴上表示的数是_____________，并请用类似的方法在右图数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）. 【答案】(1)10； (2)，画图见解析 【分析】(1)根据题目中的数据和勾股定理，可以求得这个直角三角形斜边的长； (2)先根据图形和勾股定理写出点A表示的数，然后仿照点A表示的方法，可以在数轴上表示出点B 【详解】（1）解：一个直角三角形的两条直角边分别为6、8， ∴这个直角三角形斜边长为：， 故答案为：10； （2）解：由图可得，点A表示的数为：， ， 如下图所示，点B即为所求， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识和数形结合的思想解答． 【跟踪训练】 1.如图，，，，数轴上点表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．根据勾股定理求得的长，根据数轴即可求点A表示的数． 【规范解答】解：∵，，，， ∴， 数轴上点表示的数是， 故答案为：． 2.如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数． 【规范解答】解：为等腰三角形，， ， 在中，， 以为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ， 点对应的数为． 故选：D． 3.如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、数轴上点表示无理数等知识，在网格中由勾股定理求出，结合尺规作图得到，即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长的求法及数轴上点表示的无理数是解决问题的关键． 【详解】解：在的正方形网格，， 以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点， ，即点在数轴上表示的数为， 故答案为：． 题型06：勾股定理在格点中的应用 【例12】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1，则在网格上的中，边长为有理数的有（   ）    A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理以及有理数的分类，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算求出边长，进行分类即可． 【详解】解：，为有理数， ，不是有理数， ，不是有理数， 故有一条边长为有理数， 故选B． 【例13】如图，在边长为的小正方形网格中，位置如图所示，则点到线段的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题以网格背景考查勾股定理、三角形面积计算公式．求出的面积、边的长，再利用三角形面积公式列方程求解即可．熟练利用面积法是解题的关键． 【详解】解：设点到线段的距离等于， ∵小正方形的边长为 ∴， ， ∵，即， ∴， ∴点到线段的距离为． 故选：D． 【跟踪训练】 1.利用数形结合的思想，可以比较实数的大小．若在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸中每个小方格的边长为1），结合图形可得 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，比较实数的大小关系，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理得出三角形的三边长，再利用三角形的三边关系即可得出结果； 【详解】解：根据图象得，画出的三角形的三边长分别为：， 根据三角形的三边关系可得：， 故答案为：． 2.如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的性质，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：如图，为边上的高， ， ，， ， 解得：． 故选：B． 3.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 4.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； (3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为、、的线段，画三角形即可． （3）利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 【点睛】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决． 5.阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： (1)借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； (2)根据与在数轴上的位置，可得__________；（选搷“>”．“<＂或“=”） (3)若为的小数部分，为的整数部分，求． 【答案】(1)见解析 (2)> (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，准确的用数轴上的点表示实数并用数轴比较大小及估算无理数大小是本题解题关键． （1）以为斜边的直角三角形的直角边为1和2，以为斜边的直角三角形的直角边为1和3，以此为已知尺规作图即可； （2）由（1）中数轴可直观比较； （3）求出的小数部分和整数部分，再代入计算即可． 【详解】（1）如图，点A为，点B为， （2）∵数轴上右边的点大于左边的点， ∴由图得，为， 故答案为：； （3）∵， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴，， ∴ ． 题型07：利用勾股定理解决折叠问题 【例14】如图，折叠，使直角边落在斜边上，点落到点处，已知，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，，，求得，由折叠得，，则，由，求得答案． 【详解】解：∵的斜边为， ∴， ∵，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 故答案为： 【例15】在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：∵点落在的中点， ∴； 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， 即的长为：． 【例16】如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接．证明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是长方形， ∴． 根据题意，，． ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边cm，cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长． 【答案：设，，．】 2.如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得，，则， 根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边的中点上， ∴，， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， 故选：D． 3.如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 题型08：利用勾股定理证明线段的平方关系 【例17】已知△ABC中，，D、E分别是BC、AC上的任意一点．求证：． 【答案：，，所以 】 【例18】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 【跟踪训练】 1.在中，斜边，则的值是 ． 【答案】6． 【分析】利用勾股定理将AC2+BC2转化为AB2，再求值． 【详解】解：∵Rt△ABC中，AB为斜边， ∴AC2+BC2=AB2， ∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC2+BC2=AB2是解决问题的关键． 2.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 题型09：利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离 【例19】点A（3，1）与点B（0，﹣3）之间的距离为 　　． 【分析】直接利用两点间的距离公式可求解． 【解答】解：∵A（3，1），B（0，﹣3）， ∴AB＝＝5， 即点A与点B之间的距离为5． 故答案为：5． 【例20】如果点P（a，3）与点Q（2，﹣2a）的距离等于，那么a的值等于 　　． 【分析】根据两点间距离公式，列出方程即可求出a的值． 【解答】解：由题意得， ＝， 化简得， 5a2+8a＝0， 解得a＝0或﹣． 故答案为：0或﹣． 【点评】本题考查了两点间距离公式，正确列出方程即是解题的关键． 【跟踪训练】 1．如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于 　　． 【分析】根据两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：由两点间的距离公式得，AB＝＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查两点间的距离公式，两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 2.直角坐标平面内的两点P（﹣2，4）、Q（﹣3，5）的距离为　　． 【分析】根据两点间的距离为可直接得到答案． 【解答】解：∵P（﹣2，6）、Q（2，3）， ∴PQ＝＝， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了两点间的距离公式，关键是熟记公式，直接套用即可． 3.在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，那么A、B两点间的距离等于 　　． 【分析】直接根据两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：∵直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴AB∥x轴， ∴A、B两点间的距离等于3﹣＝2； 故答案为：2． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，比较简单．掌握两点间的距离公式是解题的关键． 4．（2022春•杨浦区校级期末）在直角坐标系中，已知两点A、B的坐标分别是（0，﹣4）、（0，2），那么A与B两点之间的距离是 　　（结果保留根号）． 【分析】根据已知条件可知，点A、B都在y轴上，那么A与B两点之间的距离是它们纵坐标的绝对值． 【解答】解：∵点A、B的坐标分别是（0，﹣4）、（0，2）， ∴A与B两点之间的距离是2﹣（﹣4）＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键． 题型10：综合提升 【例21】如图，已知中，，是的角平分线，，，求的值．    【答案】 【分析】在上截取，连接，则，由角平分线可知，即，然后证明，可得，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【跟踪训练】 1.如图，在中，，，D是边的中点，交于点E． (1)求的度数； (2)过点C作垂直于，垂足为点F，如果．求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由中， D是斜边的中点，可得，从而，由外角的，再由得到，从而； （2）根据D是斜边的中点可得，在中，，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”，得到，进而根据勾股定理得到，因此． 【详解】（1）∵在中，， D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 2．（1）结论探究： 如图，图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理； （2）结论推广： 在中，，，；若为锐角，则与的大小有何关系，并给以证明； （3）结论应用： 在中，，，；若是钝角三角形，请直接写出第三边c的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）若是钝角三角形，第三边的取值范围为或． 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． （1）用图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；利用梯形的面积等于三个三角形的面积的和进行计算，由此列出等式即可求出勾股定理； （2）过作于，则，由勾股定理得出，，得出，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，当为钝角时，过点作，交的延长线于点，同（2）推出，当为钝角时，，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，图形是梯形； 根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=． 从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，即． ∵梯形的面积和三个三角形的面积相等， ∴， 化简，得：； （2），理由如下， 如图，过作于，则， 在中：， 在中：， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）当为钝角时，过点作，交的延长线于点，如图： ∵，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴， ∵，，， ∴； 当为钝角时，， 即， ∴， ∴， 综上所述，若是钝角三角形，第三边的取值范围为或． 一、选择题 1.（23-24八年级上存志中学期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是（    ） A．2 B． C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，关键是掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 由勾股定理求出直角三角形斜边长为，由直角三角形斜边上中线的性质即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得到：直角三角形斜边长， ∴直角三角形斜边上的中线长． 故选：B． 2．（2025上海八年级课时作业）已知中，所对的边分别为a、b、c，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理及完全平方公式，要求的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，．根据勾股定理，结合完全平方公式就可以求出的值，进而得到三角形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接，设，，，下列结论正确的数量为（  ） （1） （2） （3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，过点作, 则四边形、是矩形，即可判断（1）；根据可以得，然后根据勾股定理即可判断（3）；根据全等三角形得到，然后利用勾股定理判断（2）． 【详解】（1）过点作, 交于点,过点作, 交于点. ∵, ∴, 又∵, ∴, ∴四边形为矩形， 同理可得，四边形也为矩形， ∴, ∴在中, 直角边. 故（1）正确，符合题意； （2）∵, ∴, 在中， , , 故（2）正确，不符合题意； ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故（3）正确，符合题意； 故选: . 4．（2025上海八年级课时作业）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在第一个图中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故第一个图不能说明勾股定理； 在第二个图中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故第二个图可以证明勾股定理； 在第三个图中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故第三个图可以证明勾股定理； 在第四个图中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故第四个图可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的有3个． 故选：B． 5．（2025上海八年级课时作业）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 6．（2025上海八年级课时作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，勾股定理的应用，无理数的估算等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，勾股定理的应用，无理数的估算是解题的关键． 由的坐标为，可求，则点的横坐标为，由，可求． 【详解】解：∵的坐标为， ∴， ∴点的横坐标为， ∵， ∴，即， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25闵行区八年级期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为_______ 【难度】0.94 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据勾股定理即可求直角三角形的斜边长度． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 此直角三角形的斜边的长度为． 8.（2025上海八年级课时作业）等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为______________． 【答案：8】 9.（2024-25黄浦区期末）在中，，若，，则的面积是_____ 【分析】本题考查的是勾股定的应用，根据勾股定理得到，再由即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 10． （2025上海八年级课时作业）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为_______ 【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积的求法，正确利用等面积法求出的长是解题关键．利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长． 【详解】由题意，得， 由勾股定理，得， ∵， ∴． ∴， 11． （24-2松江区八年级期末）如图，以的三边为边长向外作正方形，，三个正方形的面积分别为，若，则的值为____________    【分析】先由正方形的面积公式将分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为之间的等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形的面积分别为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 【点睛】此题考查勾股定理及其应用，解题的关键是将分别用含、、的式子表示，根据勾股定理得到之间的相等关系，再求出S3的值． 12．（2022上·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）是斜边上的高，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据，设，则，在中根据勾股定理可求出的值，根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，    已知是直角三角形，，，，， 设，则， 在中，，即，解得，， ∴，， ∵，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，运用等面积法求高，掌握以上知识的运用是解题的关键． 13．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知直角坐标平面内两点和，那么A、B两点间的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式． 根据两点间的距离公式解答即可． 【详解】∵直角坐标平面内两点和， ∴A、B两点间的距离等于． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】过点A作于点G，过点D作与点H，根据等边对等角得出，进而得出，分别根据勾股定理得出长度，设，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】过点A作于点G，过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵将沿某直线翻折使得点与点重合， ∴垂直平方， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（24-25徐汇区八年级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 16．（24-25嘉定区八年级期末）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为_______ 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 17.（24-25青浦区八年级期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 18.（24-25浦东新区八年级期末）如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 3、 解答题 19．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． (1)求证：； (2)如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；见解析 【分析】（1）根据已知得到，，证得，，推出； （2）证明即可得到结论； 根据全等三角形的性质得到，根据四边形的面积即可推出． 【详解】（1）证明：∵三角形是直角三角形，直角顶点C在直线上， ∴， ∵过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． ∴， ∴，， ∴； （2）在和中 ∴， ∴； ∵， ∴， ∵四边形的面积 ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的推导，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理及勾股定理的公式是解题的关键． 20．（23-24八年级上延安中学阶段练习）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积．    (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， (2)解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 【答案】(1)，，， (2)图见解析，的面积为3 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可求出的长，利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积； （2）先利用勾股定理和网格特点分别画出，再利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积． 【详解】（1）解：由图可知，， ， ， 的面积为， 故答案为：，，，． （2）解：在图2的正方形网格中画出如下：    则的面积为． 21．（24-25奉贤区八年级期末）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． (1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； (3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1)的长为10 (2)线段的长度为4或6或 (3)或 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，在根据勾股定理即可解答； （2）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点E在线段上，且时，根据可得答案；当时，根据勾股定理可得答案； （3）设，分别当点P在线段上时，或点P在延长线上时，根据，在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， 的长为10； （2）解：①当时： ，， H为中点， ， ； ②当点E在线段上，且时： ， ， ， ③当时：如图 在中 ，， ， 综上所述，线段的长度为6或4或； （3）①如图，当点P在线段上时： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； ②如图，当点P在延长线上时，连接， 设，则，， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质、及分类讨论是解题的关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题24 勾股定理 知识点一、直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边； 定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说，垂线段最短。 知识点二、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用. 2.符号语言：如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则. 3. 变式与应用 （1）变式：， （2）应用：，， 知识点三、勾股定理的证明 对于勾股定理的证明,现在世界上已找出很多种运用图形的割、移补、拼构造特殊图形,并根据面积之间的关系进行推导的方法,现摘取几种著名的证法 方法 图形 证明 赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”) 因为大正方形的边长为 ,所以大正方形的面积为，又大正方形的面积，所以 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为,则.根据“出入相补,以盈补虚”的原理,又有,所以 加菲尔德总统拼图 如图： 利用整体法，梯形的面积为，利用分割法，梯形的面积为，所以 毕达哥拉斯拼图 图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得． 欧几里得证法 注意： (1)勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用不同的方法计算的面积相等. (2)勾股定理的验证,将“形’的问题转化为“数”的问题，体现了数形结合的思想 知识点四、作长为(n为大于1的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的,有理数在数轴上较易找到与它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难由此,我们可借助勾股定理作出长为(n为大于1的整数)的线段 画长为的线段 当直角三角形的两直角边长分别为 ,时斜边长为,即 ;当两直角边长分别为,时,斜边长为,即.依此规律可以画出长为,,，…的线段. 在数轴上表示 构造两条直角边长都是的直角三角形,使用勾股定理得到斜为,再用圆规截取的方法在数轴上画出表示的点;构造两直角边长分别为，的直角三角形,用勾股定理得到斜边长为,再用圆规截取的方法在数轴上画出表示点.依此规律可以画出长为,,，…的点. 主要应用 画出长为无理数的线段,在数轴上画出表示无理数的点. 知识点五、勾股定理的应用 勾股定理把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数的关系.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边求第三边; (2)已知直角三角形的任意一边和另两边的关系,求出未知的两边； (3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度,解决生产、生活中的实际问题. 题型01：用勾股定理解三角形 【例1】1、直角三角形的两条直角边的长为6和8，则斜边上的中线长为_______; 2、直角三角形的两条直角边的长为6和8，则斜边上的高为______; 3、直角三角形两条直角边的比为3:4，斜边长为10，则这个直角三角形的面积为______. 4、直角三角形的两条边长为3、4，则第三边长为__________. 【例2】直角三角形的两边长为5和12，求第三边的长及斜边上的高. 【跟踪训练】 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 2.（1）在Rt△ABC中，，，，则____________； （2）在Rt△ABC中，，，，则____________． 3.在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 4.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是____________． 5.中，．若边上的高，则底边 ． 6.在△ABC中，，，高，则△ABC的周长为____________． 题型02：利用勾股定理求面积 【例3】求____________，____________，____________． 【例4】如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 【例5】如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【跟踪训练】 1．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 2．在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 3.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 4.如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 题型03：勾股树问题 【例6】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【例7】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2 A B C D 7cm 【例8】如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为 ． 2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 3.如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 4.有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 题型04：勾股定理的证明方法 【例9】下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练】 1.勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 2.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用如图证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2． 3.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 4.如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有 （填“＞”或“＜”或“”） 5.如图，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长、，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 6.现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为、，斜边长为，将它们拼合为如图的形状．    (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；   方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ，根据面积相等，直接得等式__________从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 题型05：作长为(n为大于1的整数)的线段 【例10】如图，数轴上点，对应的数分别是，，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点点在点的左侧)，则点在数轴上对应的数为(    ) A． B． C． D． 【例11】 阅读下列材料，并回答问题. 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理.请利用这个结论，完成下面活动： (1)一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为_____________； (2)如图，点A在数轴上表示的数是_____________，并请用类似的方法在右图数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）. 【跟踪训练】 1.如图，，，，数轴上点表示的数是 ． 2.如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为 ． 题型06：勾股定理在格点中的应用 【例12】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1，则在网格上的中，边长为有理数的有（   ）    A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【例13】如图，在边长为的小正方形网格中，位置如图所示，则点到线段的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.利用数形结合的思想，可以比较实数的大小．若在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸中每个小方格的边长为1），结合图形可得 ．（填“”“”或“”） 2.如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 3.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 4.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； (3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）． 5.阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： (1)借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； (2)根据与在数轴上的位置，可得__________；（选搷“>”．“<＂或“=”） (3)若为的小数部分，为的整数部分，求． 题型07：利用勾股定理解决折叠问题 【例14】如图，折叠，使直角边落在斜边上，点落到点处，已知，，则的长为 ． 【例15】在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 【例16】如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【跟踪训练】 1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边cm，cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长． 2.如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 3.如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 题型08：利用勾股定理证明线段的平方关系 【例17】已知△ABC中，，D、E分别是BC、AC上的任意一点．求证：． 【例18】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【跟踪训练】 1.在中，斜边，则的值是 ． 2.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 题型09：利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离 【例19】点A（3，1）与点B（0，﹣3）之间的距离为 　　． 【例20】如果点P（a，3）与点Q（2，﹣2a）的距离等于，那么a的值等于 　　． 【跟踪训练】 1．如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于 　　． 2.直角坐标平面内的两点P（﹣2，4）、Q（﹣3，5）的距离为　　． 3.在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，那么A、B两点间的距离等于 　　． 4．（2022春•杨浦区校级期末）在直角坐标系中，已知两点A、B的坐标分别是（0，﹣4）、（0，2），那么A与B两点之间的距离是 　　（结果保留根号）． 题型10：综合提升 【例21】如图，已知中，，是的角平分线，，，求的值．    【跟踪训练】 1.如图，在中，，，D是边的中点，交于点E． (1)求的度数； (2)过点C作垂直于，垂足为点F，如果．求的长． 2．（1）结论探究： 如图，图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理； （2）结论推广： 在中，，，；若为锐角，则与的大小有何关系，并给以证明； （3）结论应用： 在中，，，；若是钝角三角形，请直接写出第三边c的取值范围． 一、选择题 1.（23-24八年级上存志中学期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是（    ） A．2 B． C．2.5 D．3 2．（2025上海八年级课时作业）已知中，所对的边分别为a、b、c，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接，设，，，下列结论正确的数量为（  ） （1） （2） （3） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025上海八年级课时作业）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2025上海八年级课时作业）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 6．（2025上海八年级课时作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 二、填空题 7．（24-25闵行区八年级期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为_______ 8.（2025上海八年级课时作业）等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为______________． 9.（2024-25黄浦区期末）在中，，若，，则的面积是_____ 10．（2025上海八年级课时作业）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为________ 11. （24-2松江区八年级期末）如图，以的三边为边长向外作正方形，，三个正方形的面积分别为，若，则的值为_______    12．（2022上·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）是斜边上的高，若，，则的长为 ． 13．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知直角坐标平面内两点和，那么A、B两点间的距离等于 ． 14．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 15．（24-25徐汇区八年级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 16． （24-25嘉定区八年级期末）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为________ 17.（24-25青浦区八年级期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    18.（24-25浦东新区八年级期末）如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ． 3、 解答题 19．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． (1)求证：； (2)如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 20．（23-24八年级上延安中学阶段练习）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积．    (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， (2)解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 21．（24-25奉贤区八年级期末）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． (1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； (3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$