专题07解直角三角形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

专题07解直角三角形暑假预习讲义 1.理解解直角三角形的定义，分清直角三角形 5 个未知元素（两条锐角、三条边），明确：已知两边或一边一锐角，就能求出全部剩余元素；仅知两个锐角无法求边长。 2.熟记直角三角形三类等量关系：三边勾股关系、两锐角互余关系、正弦 / 余弦 / 正切边角关系式，能快速对应选用公式解题。 3.自主梳理解直角三角形 4 类基础题型（已知两直角边、已知斜边 + 直角边、已知斜边 + 一锐角、已知直角边 + 一锐角），掌握每类题标准解题步骤。 4.熟练结合 30°、45°、60° 特殊角三角函数值解直角三角形，能规范书写边角计算过程，区分求边长、求角度的不同思路。 5.学会在含直角的复合图形（梯形、菱形、三角形高分割图形）中，作垂线构造直角三角形，把复杂图形拆解为可解的 Rt△。 6.提前认识仰角、俯角、坡角、坡度、方位角基础概念，能看懂简易测量示意图，初步学会把生活测量题转化为解直角三角形模型。 7.养成解题规范习惯：先标注图形已知量，再判断题型选公式，计算后检验边长、角度是否符合直角三角形基本规律，规避边角对应错误。 8体会数形结合、转化建模两大数学思想，建立 “图形→边角关系→三角函数计算” 完整解题逻辑，为本节实际应用大题打好基础。 预习必备 知识梳理 1.解直角三角基础概念 2.直角三角形三大等量关系 3.特殊直角三角形快速结论 4.构造直角三角形 5.解直角三角形的类型及解法 6.解直角三角形通用解题步骤 7.用锐角三角函数解决问题 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.解直角三角形的相关计算 2.解非直角三角形 3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 4.仰角俯角问题 5.方位角问题 6.坡度坡比问题 7.其他实际问题 强化题型 解答题7题 知识点 01 解直角三角形基础概念 1. Rt△的五个元素 在Rt△ ABC，∠ C=90： 三边：斜边c，直角边a(∠ A对边)\)、b(∠A邻边)； 两锐角：∠ A、∠B。 2. 定义 由直角三角形中已知 2 个元素（至少含一条边），求出其余全部未知元素的过程，叫做解直角三角形。 3. 可解 / 不可解判定表 已知条件 能否解直角三角形 理由 两边（两直角边 / 斜边 + 直角边） 可以 有边长，结合勾股、三角比求角 一边一锐角 可以 边长 + 角度，直接用边角关系 仅两个锐角 不可以 无长度，只能确定形状，无法求边长 知识点 02 直角三角形三大等量关系（解题全部依据） （1）三边关系（勾股定理） a2+b2=c2 适用：已知两边求第三边。 （2）锐角关系（互余） ∠A+∠B=90 适用：已知一个锐角，直接求另一个锐角。 （3）边角关系（三角函数，核心计算工具） 三角比 公式 适用场景 正弦 sinA= sinB= 已知斜边，求对边；已知斜边与对边求角 余弦 cosA= cosB= 已知斜边，求邻边；已知斜边与邻边求角 正切 tanA= tanb= 已知两条直角边，求锐角 知识点 03 特殊直角三角形快速结论（30°/45°） 三角形类型 三边比例 常用结论 含 30°直角三角形（∠A=30） a:b:c=1:\:2 30° 对边 = 斜边一半 等腰直角三角形（∠A=∠B=45） a:b:c=1:1: 两直角边相等 知识点 04 非标准图形：构造直角三角形 很多几何图形无现成直角，需要作高 / 作垂线分割出Rt△再求解： 1.普通三角形：过顶点向对边作高，分成两个直角三角形； 2.梯形：上下底作垂线，拆成矩形 + 两个直角三角形； 3.菱形、平行四边形：作高构造直角； 4.钝角三角形：向底边延长线作高，得到外部直角三角形。 解题核心：化斜为直，把不规则图形转化为可解的直角三角形。 知识点05.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 图形 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 知识点 06 解直角三角形通用解题步骤 1.标图：在图形中标出已知边、已知角，标注字母a、b、c、∠ A、 ∠B； 2.判断：分清属于四类基础题型，确定先用勾股还是三角比； 3.计算：优先使用题目原始数据，减少中间近似误差； 4.求角：边长比值求三角函数，再反推角度； 5.检验： ① 直角边＜斜边； ② 两锐角相加等于 90°； ③ 边长符合勾股定理。 知识点07:用锐角三角函数解决问题 本节核心是将实际问题抽象为解直角三角形的数学模型，解决三类典型应用问题。 模型名称 核心概念与公式 典型场景 仰角 / 俯角 仰角：视线在水平线上方与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方与水平线的夹角。- 关键：构造直角三角形，水平距离为邻边，高度为对边。 测量楼高、树高、旗杆高度、热气球观测等。 坡度 / 坡角 坡角 (α)：坡面与水平面的夹角。 坡度 (i)：坡面垂直高度h与水平宽度l的比，i==tanα。 水坝、斜坡、楼梯、山坡等倾斜问题。 方向角 / 方位角 定义：以正北、正南为基准，描述物体所在方向的角（如北偏东 30°）。 关键：结合平行线性质（内错角相等）转化角度，再解三角形。 航海、方位判断.两船距离计算等 知识点 08 高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确做法 边角对应错乱 求∠A误用当(sin A) 先锁定锐角，分清对边、邻边 计算顺序错误 先用近似角度再求边长，误差大 优先用原始边长计算，最后求角 忽略条件限制 只给两个锐角，强行求边长 牢记必须至少已知一条边 特殊角比值记混 30° 对边等于斜边 熟记30对边是斜边一半 图形不会转化 梯形、钝角三角形直接硬算 作垂线分割，构造直角三角形 题型1.解直角三角形的相关计算 【典例】如图，在中，，，，则的度数为______． 【答案】/60度 【分析】求出的正弦值，即可求解度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，于点，，，则的值______． 【答案】 【分析】由角度等量代换可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 【跟踪专练3】如图，在边长为的正方形中，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好均落在上的点G处，再将沿折叠，点C落在上的点H处，，交于点M，则的长为___________． 【答案】 【分析】由正方形及折叠的性质得，，，，，求出，再解直角三角形，计算即可得出结果． 【详解】解：由正方形及折叠的性质得，，，，， ． ， ， ， ，， ， ， ， ． 题型2.解非直角三角形 【典例】如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 【跟踪专练1】在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作的垂线构造直角三角形，先利用三角形内角和定理求出的度数，再结合锐角三角函数求出点A到的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则即为点A到的距离， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴点A到的距离为． 【跟踪专练2】如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 题型3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例】如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________． 【答案】9 【分析】本题主要考查不规则图形面积的求法，熟练掌握割补法求不规则图形的面积是解题的关键． 设直角三角形中较短直角边为a，利用割补法分别求出，，进而可得答案． 【详解】解：设直角三角形中较短直角边为a，则较长的直角边为， ，， ， 故答案为：9． 【跟踪专练1】如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 【跟踪专练2】如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积公式、含角的直角三角形的边角关系（三角函数的简单应用），熟练掌握“将四边形分割为三角形，利用特殊角求三角形的高”是解题的关键．通过连接对角线将四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的高（利用含角的直角三角形的边角关系），再根据三角形面积公式计算两个三角形的面积，最后求和得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，作于点，作于点， 在中，∵， 在中，∵， . 则该空地的面积 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型4.仰角俯角问题 【典例】如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部O的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为_________m．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】2.2 【分析】过点作，由题意可得，， ，，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】解：过点作 ∴，， 由题意可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 【跟踪专练2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 【跟踪专练3】广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】广州塔的高约为 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，得出，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：． 答：广州塔的高约为． 题型5.方位角问题 【典例】如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：由题意可知，，，， ， 海里， 海里， 即处与处的距离约是． 【跟踪专练1】某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 【跟踪专练2】如果、表示两个港口，港口在港口的正东方向上．海上有一小岛在港口的北偏东方向上，且在港口的北偏西方向上．测得海里，则小岛与港口之间的距离为______海里．（结果可保留根号） 【答案】 【分析】过点作于点，得到两个直角三角形， 用特殊角的三角函数先算出的长，再计算即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ∵小岛在北偏东， ∴； ∵在北偏西， ∴， ∴在中，海里，， ∴海里， 在中，， ∴海里． 【跟踪专练3】如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知C地在A地的北偏东，在B地的西北方向，，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走了多少千米？（，，结果精确到0.1） 【答案】 【分析】过点C作于点D，分别解直角三角形得出、的长，再由从A地到B地汽车少走的距离是，计算即可得出结果． 【详解】解：过点C作于点D，如图： ． ∵，， ∴，． 在中，， ． ． ∴从A地到B地汽车少走的距离是： ， 答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走约． 题型6.坡度坡比问题 【典例】如图，已知斜坡的坡比为，坡长米，则坡高________米． 【答案】 【分析】根据坡比设，则，勾股定理求出，据此列出方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：∵斜坡的坡比为， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， 故（米）． 【跟踪专练1】一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦的定义，在中，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴这名运动员的高度下降了． 【跟踪专练2】如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【跟踪专练3】项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中， ∴, 解得， 而 ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； 由题意得，， ∴ ∴在中， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型7.其他实际问题 【典例】一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【答案】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 【跟踪专练1】如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度约为_____．(，，) 【答案】米/ 【分析】本题通过构造直角三角形，利用旋转不变性得到的长度，再根据锐角三角函数的定义计算得到端升高的高度，考查解直角三角形的实际应用． 【详解】解：过点作 ，交所在直线于点． 由旋转的性质可得 (米)． 在 中，， 因此 (米)． 答：栏杆端升高的高度约为米． 【跟踪专练2】图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 【跟踪专练3】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． (1)求A、两点之间的距离； (2)求长． (结果精确到，参考数据：，，，，) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． （2）过点A作，垂足为G，根据勾股定理即可解决问题 【详解】（1）解：连接，过点作，交的延长线于， ， ． 在中，，， ，， 在中，，， 根据勾股定理，得． （2）解：过点A作，垂足为G， 则四边形为矩形，，， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得． ． 解答题 1．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，点E在上，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ，即． 在和中， （SAS）． (2)8 【分析】（1）运用等腰三角形的判定定理，得到，结合，可得，再利用三角形全等判定定理，证明全等； （2）先证明，解直角三角形求出与，结合，求出、，再利用，求出面积． 【详解】（1）略 （2）， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】是通过作辅助线将斜三角形转化为两个可解的直角三角形，先利用三角形内角和求出的度数，再分别在两个直角三角形中计算和的长度，最后求和得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 过点作于点，如图． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 3．小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 【答案】200mm 【分析】本题考查余角的性质，解直角三角形的应用．通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决． 求的周长就是求和的长，可分别过、作垂线垂直于，通过构造直角三角形根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽等条件来求出、的长． 【详解】解：，， ． 根据题意，得，． 在中，， ． 在中，， ． 矩形的周长． 4．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)长为 (2)约为米 【分析】（1）延长交的延长线于点，设米，可得，，由可得关于的方程，解方程求出的值根据即可求出结果； （2）过点作，交于点，根据求出的长度，根据求出的长度，再根据求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，延长交的延长线于点，设米， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：的长为； （2）解：过点作，交于点， ，， ， 点到楼的水平距离为，即， 在中，，， ， ， 答：楼与之间的距离的长约为米． 5．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 6．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点）．斜坡，坡角．求瀑布的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，） 【答案】瀑布的高度约为米 【分析】过点作，交于点，作，交于点， 分别解，，求得，根据，即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，作，交于点，则四边形是矩形， ∴． 在中，，，， ，， ． 在中，，，， ． 在中，，，， ． ． 答：瀑布的高度约为米． 7．现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 【答案】(1) (2)不是，桌面应下调 【分析】（1）利用正切函数关系即可求解； （2）延长交于点，在中，利用正弦函数关系求得，进而求得，此时不是正确坐姿；在中，计算出调整后的，求得调整前后的差即可． 【详解】（1）解：在中，“视线角”为，，，， ． 答：眼睛与屏幕的距离约为； （2）解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 答：桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07解直角三角形暑假预习讲义 1.理解解直角三角形的定义，分清直角三角形 5 个未知元素（两条锐角、三条边），明确：已知两边或一边一锐角，就能求出全部剩余元素；仅知两个锐角无法求边长。 2.熟记直角三角形三类等量关系：三边勾股关系、两锐角互余关系、正弦 / 余弦 / 正切边角关系式，能快速对应选用公式解题。 3.自主梳理解直角三角形 4 类基础题型（已知两直角边、已知斜边 + 直角边、已知斜边 + 一锐角、已知直角边 + 一锐角），掌握每类题标准解题步骤。 4.熟练结合 30°、45°、60° 特殊角三角函数值解直角三角形，能规范书写边角计算过程，区分求边长、求角度的不同思路。 5.学会在含直角的复合图形（梯形、菱形、三角形高分割图形）中，作垂线构造直角三角形，把复杂图形拆解为可解的 Rt△。 6.提前认识仰角、俯角、坡角、坡度、方位角基础概念，能看懂简易测量示意图，初步学会把生活测量题转化为解直角三角形模型。 7.养成解题规范习惯：先标注图形已知量，再判断题型选公式，计算后检验边长、角度是否符合直角三角形基本规律，规避边角对应错误。 8体会数形结合、转化建模两大数学思想，建立 “图形→边角关系→三角函数计算” 完整解题逻辑，为本节实际应用大题打好基础。 预习必备 知识梳理 1.解直角三角基础概念 2.直角三角形三大等量关系 3.特殊直角三角形快速结论 4.构造直角三角形 5.解直角三角形的类型及解法 6.解直角三角形通用解题步骤 7.用锐角三角函数解决问题 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.解直角三角形的相关计算 2.解非直角三角形 3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 4.仰角俯角问题 5.方位角问题 6.坡度坡比问题 7.其他实际问题 强化题型 解答题7题 知识点 01 解直角三角形基础概念 1. Rt△的五个元素 在Rt△ ABC，∠ C=90： 三边：斜边c，直角边a(∠ A对边)\)、b(∠A邻边)； 两锐角：∠ A、∠B。 2. 定义 由直角三角形中已知 2 个元素（至少含一条边），求出其余全部未知元素的过程，叫做解直角三角形。 3. 可解 / 不可解判定表 已知条件 能否解直角三角形 理由 两边（两直角边 / 斜边 + 直角边） 可以 有边长，结合勾股、三角比求角 一边一锐角 可以 边长 + 角度，直接用边角关系 仅两个锐角 不可以 无长度，只能确定形状，无法求边长 知识点 02 直角三角形三大等量关系（解题全部依据） （1）三边关系（勾股定理） a2+b2=c2 适用：已知两边求第三边。 （2）锐角关系（互余） ∠A+∠B=90 适用：已知一个锐角，直接求另一个锐角。 （3）边角关系（三角函数，核心计算工具） 三角比 公式 适用场景 正弦 sinA= sinB= 已知斜边，求对边；已知斜边与对边求角 余弦 cosA= cosB= 已知斜边，求邻边；已知斜边与邻边求角 正切 tanA= tanb= 已知两条直角边，求锐角 知识点 03 特殊直角三角形快速结论（30°/45°） 三角形类型 三边比例 常用结论 含 30°直角三角形（∠A=30） a:b:c=1:\:2 30° 对边 = 斜边一半 等腰直角三角形（∠A=∠B=45） a:b:c=1:1: 两直角边相等 知识点 04 非标准图形：构造直角三角形 很多几何图形无现成直角，需要作高 / 作垂线分割出Rt△再求解： 1.普通三角形：过顶点向对边作高，分成两个直角三角形； 2.梯形：上下底作垂线，拆成矩形 + 两个直角三角形； 3.菱形、平行四边形：作高构造直角； 4.钝角三角形：向底边延长线作高，得到外部直角三角形。 解题核心：化斜为直，把不规则图形转化为可解的直角三角形。 知识点05.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 图形 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 知识点 06 解直角三角形通用解题步骤 1.标图：在图形中标出已知边、已知角，标注字母a、b、c、∠ A、 ∠B； 2.判断：分清属于四类基础题型，确定先用勾股还是三角比； 3.计算：优先使用题目原始数据，减少中间近似误差； 4.求角：边长比值求三角函数，再反推角度； 5.检验： ① 直角边＜斜边； ② 两锐角相加等于 90°； ③ 边长符合勾股定理。 知识点07:用锐角三角函数解决问题 本节核心是将实际问题抽象为解直角三角形的数学模型，解决三类典型应用问题。 模型名称 核心概念与公式 典型场景 仰角 / 俯角 仰角：视线在水平线上方与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方与水平线的夹角。- 关键：构造直角三角形，水平距离为邻边，高度为对边。 测量楼高、树高、旗杆高度、热气球观测等。 坡度 / 坡角 坡角 (α)：坡面与水平面的夹角。 坡度 (i)：坡面垂直高度h与水平宽度l的比，i==tanα。 水坝、斜坡、楼梯、山坡等倾斜问题。 方向角 / 方位角 定义：以正北、正南为基准，描述物体所在方向的角（如北偏东 30°）。 关键：结合平行线性质（内错角相等）转化角度，再解三角形。 航海、方位判断.两船距离计算等 知识点 08 高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确做法 边角对应错乱 求∠A误用当(sin A) 先锁定锐角，分清对边、邻边 计算顺序错误 先用近似角度再求边长，误差大 优先用原始边长计算，最后求角 忽略条件限制 只给两个锐角，强行求边长 牢记必须至少已知一条边 特殊角比值记混 30° 对边等于斜边 熟记30对边是斜边一半 图形不会转化 梯形、钝角三角形直接硬算 作垂线分割，构造直角三角形 题型1.解直角三角形的相关计算 【典例】如图，在中，，，，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，于点，，，则的值______． 【跟踪专练2】如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在边长为的正方形中，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好均落在上的点G处，再将沿折叠，点C落在上的点H处，，交于点M，则的长为___________． 题型2.解非直角三角形 【典例】如图，在中，，，，则的长为______． 【跟踪专练1】在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，则的长为___________． 【跟踪专练3】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 题型3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例】如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________． 【跟踪专练1】如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【跟踪专练2】如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 题型4.仰角俯角问题 【典例】如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部O的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为_________m．（结果精确到0.1，参考数据：） 【跟踪专练1】如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【跟踪专练2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【跟踪专练3】广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 题型5.方位角问题 【典例】如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【跟踪专练1】某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果、表示两个港口，港口在港口的正东方向上．海上有一小岛在港口的北偏东方向上，且在港口的北偏西方向上．测得海里，则小岛与港口之间的距离为______海里．（结果可保留根号） 【跟踪专练3】如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知C地在A地的北偏东，在B地的西北方向，，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走了多少千米？（，，结果精确到0.1） 题型6.坡度坡比问题 【典例】如图，已知斜坡的坡比为，坡长米，则坡高________米． 【跟踪专练1】一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 【跟踪专练3】项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 题型7.其他实际问题 【典例】一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【跟踪专练1】如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度约为_____．(，，) 【跟踪专练2】图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． (1)求A、两点之间的距离； (2)求长． (结果精确到，参考数据：，，，，) 解答题 1．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，点E在上，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 2．如图，在中，已知，，，求的长． 3．小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 4．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 5．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 6．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点）．斜坡，坡角．求瀑布的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，） 7．现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $