第7讲 成比例的线段【知识精讲+典例+针对练习】【暑假预习讲义】2026-2027学年沪教版数学九年级上册

第7讲 成比例的线段【知识精讲+典例+针对练习】 暑假预习讲义 新沪教版数学九年级五四制上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 成比例线段的概念，掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积），能灵活运用比例性质进行变形与求值。 · 掌握 利用比例线段求线段长、判断线段是否成比例、求比例中项等方法。 · 理解 黄金分割的定义，掌握黄金比 的推导与应用，能解决与黄金分割相关的实际问题（如人体比例、建筑、艺术设计等）。 · 认识 黄金三角形（顶角36°的等腰三角形），理解其底边与腰的比等于黄金比，并能进行相关计算与证明。 · 体会 比例性质在几何、代数及实际生活中的广泛应用，感受数学之美。 ✨ 核心思想：比例是连接不同量之间的桥梁，黄金分割是自然界与艺术中的和谐之美。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点1：线段的比 1．线段的比 两条线段的长度的比叫作两条线段的比. 提醒 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位度量. 例1 求线段a与线段b的比，其中a=3m,b=150dm. 解：a:b=3m:150dm=30dm:150dm=1:5. 2．线段的比值 两条线段的长度相除所得的商叫作两条线段的比值. 提醒 因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值 总是正数. 例2 已知点B在线段AC上，BC=3A.求下列各组线段的比值. (1)AB:BC; (2)AC:AB; (3)BC:AC. 解：如图，设AB=k，则BC=3k，则AC=4k. (1) (2) (3) ☆知识点:2：线段成比例 1．线段成比例的定义 对于四条线段a、b、c、d，如果a:b=c:d(或表示为，就说a、b、c、d成比例 a、d是比例外项，b、c是比例内项. 提醒 表述比例线段时，要注意顺序.如上述四条线段a、b、c、d是比例线段，a:b=c:d(或表示为，那么a是第一比例项、b是第二比例项、c是第三比例项、d是第四比例项. 例3 下列各组线段中，成比例的是 . ①5cm、6cm、7cm、8dm; ②3cm、6m、2cm、5m; ③2cm、4cm、6cm、8cm; ④12cm、8cm、15cm、10cm. 解析：8dm=80cm,6m=600cm,5m=500cm 序号 排序 方法 结论 ① 5、6、7、80 不成比例 ② 2、3、500、600 不成比例 ③ 2、4、6、8 不成比例 ④ 8、10、12、15 成比例 答案：④ 注意 判断四条线段是否成比例的方法 判断四条线段是否成比例，首先要统一单位，并把四条线段按由小到大（或按由大到小）的顺序排列，然后分别计算前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比是否相等或首尾两项的积是否等于中间两项的积.若相等，则成比例，否则不成比例. 2．比例中项 如果三条线段a、b、c满足a:b=b:c，那么线段b叫作线段a、c的比例中项. 提醒 由比例式求线段长、比例中项时，应为正数. ☆知识点3：比例的性质 1．比例的基本性质 如果，那么ad=bc. 提醒 （1）还可以得到：如果，那么，其中abcd≠0. 比例式 等积式 多个 唯一 （2）如果，那么 2．合比性质 如果，那么合比性质证明如下： 证法1 由已知，不妨设比值为k， 证法2 即，可得a=kb,c=kd. 3．分比性质 如果，那么 提醒 可以根据合比性质的证明思路，证明分比性质. 4．等比性质 如果，那么 等比性质证明如下： 证明：由，可得a=kb,c=kd,∴ 由此可得结论： 等比性质也可推广到任意有限多个相等的比的情形.例如：如果，那么 提醒 在实数范围内，要使等比性质仍然成立，要注意式中的分母不能为零，如b+等. 例4 已知，则下列结论错误的是( ). A. B. D 解析：(1）合、分比性质中，分子、分母相加、减后作分子，分母不变；(2）等比性质中，分子、分母同加后分别作分子、分母. ，故A项正确；，故B项正确；，故C 项正确；设x=2k(k≠0)，则y=3k，故，只有当k=1时，，其余情况均不等于，故D项错误. 答案：D 1．黄金分割 如图，点P将线段AB分割成两段，其中较长一段（AP）为较短一段（BP）和线段AB 的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点.根据线段的对称性，可以找到线段AB的另外一个黄金分割点P'. 2．黄金数 黄金分割得到的较长线段与整条线段的比值叫作黄金数，它是一个无理数，近似值通常取为0.618． 黄金数的求解过程： 如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，设线段AP的长为x，那么线段PB的长为l-x. 由，得到关于x的方程 即 解得 因为 （舍去）， 所以，线段AP的长是 由，得 例5 已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点， 则较长线段MP的长是 cm. 解析：答案： 总结 利用黄金分割求线段长的解题技巧 灵活运用黄金分割的定义，根据题目条件和求解线段选择合适的公式求解. 相关公式简记为：长·全 短·长 短＝全-长 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】利用线段成比例求线段长（第1-8题） ※ 方法总结 · 判断成比例： 将线段长度排序，验证“最大×最小 = 中间两数乘积”。 · 求未知线段： 根据比例式列出方程，利用比例基本性质（内项积=外项积）求解。 · 比例中项： 若 是 、 的比例中项，则 ，注意 取正值（线段长）。 · 设参数法： 当已知几个量的比时，常设每一份为 ，用 表示各量，再根据条件列方程求解。 · 注意： 线段长度为正数，解方程后需舍去负值。 1．（2026春•金山区期中）如果a、b、c、d都不为0并且ad＝bc，那么下列正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•杨浦区期末）下列各组线段的长度中，成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，4，8 C．1.5，3，4.5，6 D．3，4，5，6 3．（2026春•黄浦区期中）在3、4、5中添加一个数，不能使这四个数成比例的是（　　） A． B． C． D．4 4．（2026春•黄浦区期中）已知b是a和c的比例中项，且a：b＝1：3，则b：c＝　 　 ． 5．（2026春•金山区校级月考）在比例尺为1：500的图纸上，测得一块正方形的土地边长为4cm，这块地的实际面积是　 　 平方米． 6．（2025秋•松江区校级月考）已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值． 7．（2025秋•松江区期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且． （1）如果△ABC的周长为60，求a的值； （2）如果△ABC的面积为60，求a的值． 8．（2026春•浦东新区校级月考）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【考点2】比例性质的应用（第9-18题） ※ 方法总结 · 合比、分比性质： 用于将比例式变形为和差形式，便于求值。 · 等比性质： 用于多个相等比的求和与比值计算，注意分母不为零。 · 设 法： 设 ，则 ，，代入化简。 · 连比式化简： 若 ，可设 ，，。 · 注意： 当比例式中的分子或分母含有加减运算时，灵活运用合分比性质。 9．（2026春•浦东新区期末）如果3x＝5y（x、y≠0），那么x：y＝　 　 ． 10．（2026春•虹口区期中）如果x：y＝1：5，则　 　 ． 11．（2026春•黄浦区校级期中）已知：，且a﹣2b+3c＝4，那么a＝　 　 ． 12．（2026春•上海校级月考）如果a+b+c＝108，且a：b：c＝3：4：5，则a+c的值是（　　） A．72 B．36 C．18 D．9 13．（2024秋•虹口区校级月考）已知x：y＝5：3，则下列等式中，正确的是（　　） A．5x＝3y B． C． D． 14．（2026春•浦东新区校级期中）若，且满足a+b+c＝66，求a、b、c的值． 15．（2026春•浦东新区校级期中）已知，求k的值． 16．（2026春•虹口区校级期中）已知，求的值． 17．（2026春•青浦区校级月考）如果，求2x：（y﹣3z）的比值． 18．（2025秋•金山区校级月考）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a，b，c的值． 【考点3】黄金分割的应用（第19-29题） ※ 方法总结 · 黄金比： ，记住常见变形：，。 · 黄金分割点求法： 若 已知，较长部分 ，较短部分 。 · 黄金三角形： 底边 = 腰，顶角36°，底角72°。 · 黄金矩形： 宽 = 长，截去正方形后仍为黄金矩形。 · 实际应用： 如人体雕塑、建筑窗户、唢呐设计等，常转化为比例问题，利用黄金比列方程求解。 19．（2026•闵行区校级开学）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 20．（2025秋•浦东新区期末）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝10，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 21．（2025秋•闵行区校级月考）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm 22．（2025秋•崇明区期末）已知线段AB的长为4cm，如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么AP的值是　 　 cm． 23．（2026春•闵行区校级月考）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此、若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100cm，则其身高是　 　 厘米（结果保留到整数）． 24．（2026春•浦东新区校级月考）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段AB，腹部看成线段BC，则蜻蜓的腹部长BC与全身长AB之比等于头部、胸腹总长AC与腹部长BC之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长AB是8cm，则蜻蜓的腹部长BC是　 　 cm．（结果保留根号） 25．（2026春•闵行区校级月考）已知点C是在线段AB上，满足BC2＝AC•AB，若AB＝4，则线段AC的长为　 　 ． 26．（2026•惠城区二模）顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°． （1）尺规作图：作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：△BCD为黄金三角形． 27．（2026•鼓楼区校级模拟）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0开展探究． （1）当m＝1时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； （2）若实数a，b满足a2+a﹣m＝0，b2+3b﹣9m＝0，且3a≠b，求3a+b的值； （3）若两个不相等的实数p，q满足p2+p﹣m＝mq，q2+q﹣m＝mp，求证：pq＝m2． 28．（2026春•平桥区月考）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．若设，，求下面的值： （1）a+b＝　 　 ，a2025b2026＝　 　 ； （2）求a2+ab+b2的值． 29．（2026春•潍坊期中）如图，四边形ABCD是一个长、宽之比为3：2的矩形，其面积为120cm2． （1）求矩形ABCD的周长； （2）黄金分割比是公认的最美比例，广泛用于建筑、艺术设计等领域，其比值为，宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形．若将图中矩形的长增加14cm，为了使图中矩形变为黄金矩形，宽应增加多少？ 【考点4】创新及压轴题（第30-32题） ※ 方法总结 · 新定义类： 如“白银分割点”“黄金分割数的应用”等，理解定义并转化为比例式或一元二次方程求解。 · 尺规作图： 利用垂直平分线、垂线和圆规作黄金分割点（如构造直角三角形，斜边为 倍）。 · 证明类： 利用角度计算证明黄金三角形，或利用比例性质证明矩形为黄金矩形。 · 综合题策略： ① 仔细阅读材料，提取关键信息；② 将文字语言转化为数学表达式（比例、方程）；③ 应用黄金比或比例性质求解；④ 注意检验结果的合理性。 30．（2026•寒亭区二模）阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为36°的等腰三角形叫作黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D． （1）求证：△BCD为黄金三角形； （2）若AC＝4，求DC的长．（结果保留根号） 31．（2026•交城县模拟）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段AB上一点，点C把线段AB分成AC和BC两段，其中AC＜BC．若线段AC，BC，AB之间的关系满足，则点C是线段AB的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设AB＝1，BC＝x，则AC＝1﹣x， … 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有　 　 个黄金分割点； （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程； （3）拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段AB的黄金分割点C，使得AC＞BC．（保留作图痕迹，不写作法） 32．（2025秋•大连期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，a≠b，c≠d，若，则． 如下证明这个结论的正确性，设，则a＝bk，c＝dk，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且b+d+…n≠0，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 求两个数的比例中项（注意符号，线段长取正值）。 · 练习2： 利用等比性质（若 ）求分式的值。 · 练习3： 理解“白银分割点”新定义，利用已知比例求线段长。 · 练习4： 黄金分割在实际瓶装水问题中的应用（近似计算）。 · 练习5： 黄金三角形中，利用底腰比求线段长（角平分线构造）。 · 练习6： 黄金分割在唢呐设计中的应用，列方程求线段长。 【练习1】（2026•宁波模拟）已知a＝3，b＝27，则a，b的比例中项为 　 　 ． 【练习2】（2026•鼓楼区二模）若（b+d≠0），则　 　 ． 【练习3】（2026•深圳校级模拟）数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足，则点C为线段AB的白银分割点．已知点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），且BC＝4，则AC＝ 　 　 ． 【练习4】（2026•兴庆区校级二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比（约等于0.618）时，可以发出“sol”的音符．若AC＝12cm，且可以发出“sol”的音符，则水面高度BC为　 　 ．（精确到0.1cm） 【练习5】（2026•金凤区校级二模）我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为，如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝4，则CD的长为　 　 ． 【练习6】（2026•迎泽区校级二模）唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，唢呐主要由唢呐杆AP和唢呐碗PB两部分组成．制作唢呐时，通常将连接点P设计在唢呐AB的黄金分割点（即AP2＝BP•AB），这样唢呐既美观又有最好的音效．现有一个长度为22cm的唢呐杆，准备用其制作一个这样的黄金分割唢呐，则需要制作的唢呐碗的长度是　 　 cm．（结果保留根号） 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 判断四条线段是否成比例（利用最大×最小=中间两数积）。 · 作业2： 比例尺应用（图上距离与实际距离的换算）。 · 作业3： 比例线段的再判断（基础练习）。 · 作业4： 已知黄金分割点满足的比例式，求线段总长（解一元二次方程）。 · 作业5： 求比例中项（直接利用平方关系）。 · 作业6： 黄金分割点求线段长度（注意可能有两种情况，较长或较短）。 · 作业7： 已知两数之比，求含比式的比值（代入法）。 · 作业8： 利用等比性质求分式的值（设 法）。 · 作业9： 连比式求代数式的值（设参数 ）。 · 作业10： 黄金分割在实际雕塑设计中的应用（列方程解一元二次方程）。 · 作业11： 黄金分割数的运算（求 、 及分式值）。 · 作业12： 黄金矩形的判定与证明（利用比例关系推导）。 ❤复习建议 本讲核心是“比例的性质与黄金分割”，重点掌握： 比例的基本性质（内项积=外项积）及其变形（合比、分比、等比）； 设参数法（设 ）解决连比问题； 黄金比 的推导与记忆； 黄金三角形、黄金矩形的性质及其应用； 实际问题中建立比例方程，注意解的取舍。 【作业1】（2025秋•虹口区期末）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【作业2】（2026春•虹口区期中）在一幅比例尺为1：500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（　　） A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km 【作业3】（2025秋•浦东新区期末）下列各组线段中，能构成比例线段的是（　　） A．1，2，3，4 B．1，2，2，4 C．2，3，4，5 D．2，3，5，7 【作业4】（2025秋•长宁区期末）若点P是线段AB上的一点，满足AP2＝BP•AB，已知，那么AB的长为　 　 ． 【作业5】（2026春•闵行区校级期中）已知6是x和12的比例中项，那么x的值为 　 　 ． 【作业6】（2026春•徐汇区校级月考）已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么线段AP的长是　 　 ． 【作业7】（2026春•宝山区校级期中）已知x：y＝1：5，求（2x+y）：（20x﹣3y）的比值． 【作业8】（2025春•宝山区校级期中）已知．求． 【作业9】（2025•徐汇区一模）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值． 【作业10】（2025秋•大足区期末）在设计人体雕塑时，为了增加视觉美感，雕塑师在雕刻时将雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比．美学家认为这个比值是黄金分割数，它能增加美感．据说一些名画和雕塑中的人体大体都符合这个比． （1）如图，AB＝4cm，线段AB上有一点C把线段分成分为两段，其中AC是较小的一段，且满足AC：CB＝CB：AB，求BC的值． （2）雷锋精神代代传．在辽宁抚顺雷锋纪念馆前有一座高2米的雷锋雕像就是按以上的比例进行雕刻的．应用上面的结论，请问雕塑上部（上部比下部短）是多少米？ 【作业11】（2026春•海淀区校级期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设，，求下面的值： （1）直接写出a+b和ab的值：a+b＝　 　 ，ab＝　 　 ； （2）求的值． 【作业12】（2025秋•攀枝花月考）将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB、AB的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点． （1）设AP＝m，PB＝n，按照定义恒成立，请你推导黄金比； （2）黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无处不在．我们把宽与长的比为的矩形叫黄金矩形，比如按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如图，是某同学为自家设计的子母窗户结构示意图，在一个黄金矩形ABCD里分割出一个正方形AMND，那么右边窗户BCNM还是黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 成比例的线段【知识精讲+典例+针对练习】 暑假预习讲义 新沪教版数学九年级五四制上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 成比例线段的概念，掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积），能灵活运用比例性质进行变形与求值。 · 掌握 利用比例线段求线段长、判断线段是否成比例、求比例中项等方法。 · 理解 黄金分割的定义，掌握黄金比 的推导与应用，能解决与黄金分割相关的实际问题（如人体比例、建筑、艺术设计等）。 · 认识 黄金三角形（顶角36°的等腰三角形），理解其底边与腰的比等于黄金比，并能进行相关计算与证明。 · 体会 比例性质在几何、代数及实际生活中的广泛应用，感受数学之美。 ✨ 核心思想：比例是连接不同量之间的桥梁，黄金分割是自然界与艺术中的和谐之美。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点1：线段的比 1．线段的比 两条线段的长度的比叫作两条线段的比. 提醒 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位度量. 例1 求线段a与线段b的比，其中a=3m,b=150dm. 解：a:b=3m:150dm=30dm:150dm=1:5. 2．线段的比值 两条线段的长度相除所得的商叫作两条线段的比值. 提醒 因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值 总是正数. 例2 已知点B在线段AC上，BC=3A.求下列各组线段的比值. (1)AB:BC; (2)AC:AB; (3)BC:AC. 解：如图，设AB=k，则BC=3k，则AC=4k. (1) (2) (3) ☆知识点:2：线段成比例 1．线段成比例的定义 对于四条线段a、b、c、d，如果a:b=c:d(或表示为，就说a、b、c、d成比例 a、d是比例外项，b、c是比例内项. 提醒 表述比例线段时，要注意顺序.如上述四条线段a、b、c、d是比例线段，a:b=c:d(或表示为，那么a是第一比例项、b是第二比例项、c是第三比例项、d是第四比例项. 例3 下列各组线段中，成比例的是 . ①5cm、6cm、7cm、8dm; ②3cm、6m、2cm、5m; ③2cm、4cm、6cm、8cm; ④12cm、8cm、15cm、10cm. 解析：8dm=80cm,6m=600cm,5m=500cm 序号 排序 方法 结论 ① 5、6、7、80 不成比例 ② 2、3、500、600 不成比例 ③ 2、4、6、8 不成比例 ④ 8、10、12、15 成比例 答案：④ 注意 判断四条线段是否成比例的方法 判断四条线段是否成比例，首先要统一单位，并把四条线段按由小到大（或按由大到小）的顺序排列，然后分别计算前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比是否相等或首尾两项的积是否等于中间两项的积.若相等，则成比例，否则不成比例. 2．比例中项 如果三条线段a、b、c满足a:b=b:c，那么线段b叫作线段a、c的比例中项. 提醒 由比例式求线段长、比例中项时，应为正数. ☆知识点3：比例的性质 1．比例的基本性质 如果，那么ad=bc. 提醒 （1）还可以得到：如果，那么，其中abcd≠0. 比例式 等积式 多个 唯一 （2）如果，那么 2．合比性质 如果，那么合比性质证明如下： 证法1 由已知，不妨设比值为k， 证法2 即，可得a=kb,c=kd. 3．分比性质 如果，那么 提醒 可以根据合比性质的证明思路，证明分比性质. 4．等比性质 如果，那么 等比性质证明如下： 证明：由，可得a=kb,c=kd,∴ 由此可得结论： 等比性质也可推广到任意有限多个相等的比的情形.例如：如果，那么 提醒 在实数范围内，要使等比性质仍然成立，要注意式中的分母不能为零，如b+等. 例4 已知，则下列结论错误的是( ). A. B. D 解析：(1）合、分比性质中，分子、分母相加、减后作分子，分母不变；(2）等比性质中，分子、分母同加后分别作分子、分母. ，故A项正确；，故B项正确；，故C 项正确；设x=2k(k≠0)，则y=3k，故，只有当k=1时，，其余情况均不等于，故D项错误. 答案：D 1．黄金分割 如图，点P将线段AB分割成两段，其中较长一段（AP）为较短一段（BP）和线段AB 的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点.根据线段的对称性，可以找到线段AB的另外一个黄金分割点P'. 2．黄金数 黄金分割得到的较长线段与整条线段的比值叫作黄金数，它是一个无理数，近似值通常取为0.618． 黄金数的求解过程： 如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，设线段AP的长为x，那么线段PB的长为l-x. 由，得到关于x的方程 即 解得 因为 （舍去）， 所以，线段AP的长是 由，得 例5 已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点， 则较长线段MP的长是 cm. 解析：答案： 总结 利用黄金分割求线段长的解题技巧 灵活运用黄金分割的定义，根据题目条件和求解线段选择合适的公式求解. 相关公式简记为：长·全 短·长 短＝全-长 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】利用线段成比例求线段长（第1-8题） ※ 方法总结 · 判断成比例： 将线段长度排序，验证“最大×最小 = 中间两数乘积”。 · 求未知线段： 根据比例式列出方程，利用比例基本性质（内项积=外项积）求解。 · 比例中项： 若 是 、 的比例中项，则 ，注意 取正值（线段长）。 · 设参数法： 当已知几个量的比时，常设每一份为 ，用 表示各量，再根据条件列方程求解。 · 注意： 线段长度为正数，解方程后需舍去负值。 1．（2026春•金山区期中）如果a、b、c、d都不为0并且ad＝bc，那么下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、由得，cd＝ab，故本选项不符合题意； B、由得，ab＝cd，故本选项不符合题意； C、由得，ab＝cd，故本选项不符合题意； D、由得，ad＝bc，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，需熟记． 2．（2025秋•杨浦区期末）下列各组线段的长度中，成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，4，8 C．1.5，3，4.5，6 D．3，4，5，6 【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断． 【解答】解：A、1×4≠2×3，不成比例线段，不符合题意； B、2×8＝4×4，成比例线段，符合题意； C、1.5×6≠3×4.5，不成比例线段，不符合题意； D、3×6≠4×5，不成比例线段，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 3．（2026春•黄浦区期中）在3、4、5中添加一个数，不能使这四个数成比例的是（　　） A． B． C． D．4 【分析】根据成比例的线段的特点分析即可． 【解答】解：根据成比例的线段的特点可得： A、，这四个数成比例，不符合题意； B、，这四个数成比例，不符合题意； C、，这四个数成比例，不符合题意； D、这四个数的所有组合为3×4≠4×5，4×4≠3×5，不能使这四个数成比例，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查比例线段，正确进行计算是解题关键． 4．（2026春•黄浦区期中）已知b是a和c的比例中项，且a：b＝1：3，则b：c＝　1：3　 ． 【分析】根据比例线段的性质进行计算即可． 【解答】解：由题意可得：， ∵a：b＝1：3，即， ∴，即b：c＝1：3． 故答案为：1：3． 【点评】本题考查比例线段，正确进行计算是解题关键． 5．（2026春•金山区校级月考）在比例尺为1：500的图纸上，测得一块正方形的土地边长为4cm，这块地的实际面积是　400　 平方米． 【分析】根据比例尺换算出正方形土地的实际边长，然后计算即可． 【解答】解：由条件可知实际正方形土地的边长为4×500＝2000厘米＝20米， ∴这块地的实际面积是20×20＝400平方米． 故答案为：400． 【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺的应用是关键． 6．（2025秋•松江区校级月考）已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值． 【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k． （1）代入计算即可； （2）构建方程求出k即可． 【解答】解：设k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k， （1）； （2）∵a+b+c＝60， ∴3k+4k+5k＝60， ∴k＝5， ∴a＝15，b＝20，c＝25． 【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k进而得出k的值是解题关键． 7．（2025秋•松江区期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且． （1）如果△ABC的周长为60，求a的值； （2）如果△ABC的面积为60，求a的值． 【分析】（1）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k，然根据三角形周长定义得到5k+4k+6k＝60，解关于k的方程求出k，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，根据三角形的面积即可求解． 【解答】解：（1）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∴5k+12k+13k＝60， 解得k＝2， 所以a＝10． ∴5k+12k+13k＝60， 解得k＝2， 所以a＝10； （2）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k，则a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积为ab＝60， ∴5k×12k＝60，解得k（负值舍去）， 所以a＝5． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了勾股定理的逆定理． 8．（2026春•浦东新区校级月考）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【分析】（1）设a＝3k，b＝2k，c＝4k，构建方程求解； （2）根据比例中项的定义构建方程求出x即可． 【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：4， ∴可以假设a＝3k，b＝2k，c＝4k， ∵a+2b+c＝33， ∴3k+4k+4k＝33， ∴k＝3， ∴a＝9，b＝6，c＝12； （2）由题意x2＝ab＝54， ∴x＝3（负根已经舍去）． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【考点2】比例性质的应用（第9-18题） ※ 方法总结 · 合比、分比性质： 用于将比例式变形为和差形式，便于求值。 · 等比性质： 用于多个相等比的求和与比值计算，注意分母不为零。 · 设 法： 设 ，则 ，，代入化简。 · 连比式化简： 若 ，可设 ，，。 · 注意： 当比例式中的分子或分母含有加减运算时，灵活运用合分比性质。 9．（2026春•浦东新区期末）如果3x＝5y（x、y≠0），那么x：y＝　　 ． 【分析】根据比例的性质求解即可． 【解答】解：∵3x＝5y（x、y≠0）， ∴． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 10．（2026春•虹口区期中）如果x：y＝1：5，则　　 ． 【分析】根据x：y＝1：5，转化成y＝5x，代入原式化简即可得到答案． 【解答】解：由条件可知y＝5x，代入原式化简可知： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比的化简和求比值，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2026春•黄浦区校级期中）已知：，且a﹣2b+3c＝4，那么a＝　　 ． 【分析】直接利用已知比例式用a表示出b，c的值，进而利用a﹣2b+3c＝4，得出答案． 【解答】解：由条件可得，c＝3a， ∵a﹣2b+3c＝4， ∴a﹣5a+9a＝4， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比例的性质．熟练掌握该知识点是关键． 12．（2026春•上海校级月考）如果a+b+c＝108，且a：b：c＝3：4：5，则a+c的值是（　　） A．72 B．36 C．18 D．9 【分析】根据a、b、c三个数的和以及这三个数的比例可求出a、c的值，进而可得a+c的值． 【解答】解：∵， ∴a+c＝27+45＝72． 故选：A． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握此知识点是解题的关键． 13．（2024秋•虹口区校级月考）已知x：y＝5：3，则下列等式中，正确的是（　　） A．5x＝3y B． C． D． 【分析】设x＝5k，y＝3k，再根据比例的性质求解即可． 【解答】解：∵x：y＝5：3， ∴设x＝5k，y＝3k， A．由比例的性质得到3x＝5y，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 14．（2026春•浦东新区校级期中）若，且满足a+b+c＝66，求a、b、c的值． 【分析】设k，则根据比例的性质得到a﹣1＝3k，b﹣2＝4k，c﹣3＝5k，再用k分别表示a、b、c，接着把它们分别代入a+b+c＝66得到3k+1+4k+2+5k+3＝66，解关于k的方程，从而可求出a、b、c的值． 【解答】解：设k，则a﹣1＝3k，b﹣2＝4k，c﹣3＝5k， ∴a＝3k+1，b＝4k+2，c＝5k+3， ∵a+b+c＝66， ∴3k+1+4k+2+5k+3＝66， 解得k＝5， ∴a＝3×5+1＝16，b＝4×5+2＝22，c＝5×5+3＝28． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 15．（2026春•浦东新区校级期中）已知，求k的值． 【分析】讨论：当a+b+c+d≠0时，根据等比性质得到k，再化简分式得到k；当a+b+c+d＝0，则b+c+d＝﹣a，所以k，约分得到k＝﹣2． 【解答】解：当a+b+c+d≠0时， ∵k， ∴k， 即k， ∴k； 当a+b+c+d＝0， ∴b+c+d＝﹣a， ∴k， 解得k＝﹣2， 综上所述，k的值为或﹣2． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 16．（2026春•虹口区校级期中）已知，求的值． 【分析】根据比例的性质，可用x表示y，用x表示z，根据分式的性质，可得答案． 【解答】解：由，得 y，z＝2x． 3． 【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出y，z＝2x是解题关键． 17．（2026春•青浦区校级月考）如果，求2x：（y﹣3z）的比值． 【分析】根据比例的性质，利用设参数法进行求解即可． 【解答】解：由题意得， 设，则x＝3k，y+z＝4k，z+x＝5k， ∴z＝2k，y＝2k， ∴． 【点评】本题考查的是比例的性质，能利用设出比例系数的方法求解是解题的关键． 18．（2025秋•金山区校级月考）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a，b，c的值． 【分析】（1）设k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值． 【解答】解：（1）设k，则a＝2k，b＝3k，c＝5k， 所以原式； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44得4k+3k+15k＝44， 解得k＝2， 所以a＝4，b＝6，c＝10． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 【考点3】黄金分割的应用（第19-29题） ※ 方法总结 · 黄金比： ，记住常见变形：，。 · 黄金分割点求法： 若 已知，较长部分 ，较短部分 。 · 黄金三角形： 底边 = 腰，顶角36°，底角72°。 · 黄金矩形： 宽 = 长，截去正方形后仍为黄金矩形。 · 实际应用： 如人体雕塑、建筑窗户、唢呐设计等，常转化为比例问题，利用黄金比列方程求解。 19．（2026•闵行区校级开学）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解即可． 【解答】根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99（cm）， 设需要穿的高跟鞋是y， 根据黄金分割的定义得：， 解得：y≈8． ∴为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为8cm． 故选：C． 【点评】本题考查了黄金分割的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2025秋•浦东新区期末）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝10，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割点的定义，结合AC是较长的部分，满足AC2＝AB×BC，结合AB＝10，设AC＝x，则BC＝10﹣x，列出方程求解． 【解答】解：根据黄金分割点的定义可得：AC2＝AB×BC， 设AC＝x，则BC＝10﹣x， 故x2＝10×（10﹣x）， 整理得x2+10x﹣100＝0， a＝1，b＝10，c＝﹣100， 故Δ＝b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣100）＝100+400＝500， ∴， 解得，（舍去）， ∴AC的长为． 故选：A． 【点评】本题主要考查黄金分割点的概念，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 21．（2025秋•闵行区校级月考）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比，且AB＝10cm， 所以AC≈0.618AB＝6.18（cm）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 22．（2025秋•崇明区期末）已知线段AB的长为4cm，如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么AP的值是　（22）　 cm． 【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可． 【解答】解：∵线段AB的长为4cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴APAB4＝（22）（cm）， 故答案为：（22）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 23．（2026春•闵行区校级月考）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此、若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100cm，则其身高是　162　 厘米（结果保留到整数）． 【分析】根据黄金分割的定义，黄金比值约为0.618，设头顶至肚脐的长度为x～cm，利用已知比例关系求出x，再将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加得到身高，即可求解． 【解答】解：设此人头顶至肚脐的长度为x cm，根据题意可得， 解得x≈61.8，则身高为61.8+100＝161.8≈162（cm）． 故答案为：162． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握该知识点是关键． 24．（2026春•浦东新区校级月考）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段AB，腹部看成线段BC，则蜻蜓的腹部长BC与全身长AB之比等于头部、胸腹总长AC与腹部长BC之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长AB是8cm，则蜻蜓的腹部长BC是　（44）　 cm．（结果保留根号） 【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可． 【解答】解：∵AB＝8cm，蜻蜓的腹部长BC与全身长AB之比等于头部、胸腹总长AC与腹部长BC之比，即， ∴BCAB8＝（4）cm， 故答案为：（44）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 25．（2026春•闵行区校级月考）已知点C是在线段AB上，满足BC2＝AC•AB，若AB＝4，则线段AC的长为　　 ． 【分析】设AC的长为x，根据线段和差关系用x表示出BC的长，代入已知等式得到一元二次方程，求解后舍去不符合题意的根，即可得到AC的长． 【解答】解：设AC＝x，则BC＝AB﹣AC＝4﹣x， 将BC＝4﹣x，AB＝4代入BC2＝AC•AB得：（4﹣x）2＝4x， 展开整理得：x2﹣12x+16＝0， ∴， ∵AC＜AB＝4，，不符合题意，舍去， ∴． 故答案为：6﹣2． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握该知识点是关键． 26．（2026•惠城区二模）顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°． （1）尺规作图：作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：△BCD为黄金三角形． 【分析】（1）根据题意，画出图形即可； （2）根据黄金三角形的定义进行证明即可． 【解答】（1）解：如图所示， ； （2）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠C＝∠BDC， ∴BD＝BC， ∴△BCD是顶角为36°的等腰三角形， ∴△BCD为黄金三角形． 【点评】本题主要考查了黄金分割、等腰三角形的性质及作图﹣基本图形，能根据题意画出图形及熟知黄金三角形的定义是解题的关键． 27．（2026•鼓楼区校级模拟）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0开展探究． （1）当m＝1时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； （2）若实数a，b满足a2+a﹣m＝0，b2+3b﹣9m＝0，且3a≠b，求3a+b的值； （3）若两个不相等的实数p，q满足p2+p﹣m＝mq，q2+q﹣m＝mp，求证：pq＝m2． 【分析】（1）代入m＝1，利用求根公式求出方程的正根即可； （2）将已知等式变形，得到a和是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出3a+b的值； （3）对两个已知等式作差，结合p≠q得到p+q的关系式，再推导出p，q是新一元二次方程的两个根，利用根与系数关系证明结论． 【解答】（1）解：将m＝1代入x2+x﹣m＝0，得x2+x﹣1＝0， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵a2+a﹣m＝0，b2+3b﹣9m＝0， 将b2+3b﹣9m＝0两边同时除以9，得， ∵3a≠b， ∴， ∴a，是一元二次方程x2+x﹣m＝0的两个不相等的实数根， ∴， ∴3a+b＝﹣3； （3）证明：∵p2+p﹣m＝mq①，q2+q﹣m＝mp②， ①﹣②得：p2﹣q2+p﹣q＝m（q﹣p）， 整理得：（p﹣q）（p+q）+（p﹣q）＝﹣m（p﹣q）， ∵p≠q， ∴p﹣q≠0， 等式两边同时除以p﹣q得：p+q+1＝﹣m，即p+q＝﹣m﹣1， ∴q＝﹣m﹣1﹣p 将q＝﹣m﹣1﹣p代入①得：p2+p﹣m＝m（﹣m﹣1﹣p）， 整理得：p2+p﹣m＝﹣m2﹣m﹣mp， 移项整理得：p2+（1+m）p+m2＝0， 同理，将p＝﹣m﹣1﹣q代入②，整理得q2+（1+m）q+m2＝0， ∵p≠q， ∴p，q是一元二次方程x2+（1+m）x+m2＝0的两个不相等的实数根， ∴pq＝m2． 【点评】本题考查了根与系数的关系、黄金分割，熟练掌握以上知识点是关键． 28．（2026春•平桥区月考）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．若设，，求下面的值： （1）a+b＝　　 ，a2025b2026＝　　 ； （2）求a2+ab+b2的值． 【分析】（1）根据题意可直接代值进行求解即可； （2）根据完全平方公式可进行求解． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）由（1）可知：， ∴． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握该知识点是关键． 29．（2026春•潍坊期中）如图，四边形ABCD是一个长、宽之比为3：2的矩形，其面积为120cm2． （1）求矩形ABCD的周长； （2）黄金分割比是公认的最美比例，广泛用于建筑、艺术设计等领域，其比值为，宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形．若将图中矩形的长增加14cm，为了使图中矩形变为黄金矩形，宽应增加多少？ 【分析】（1）设矩形ABCD长为3xcm，则宽为2xcm，求出，即可求出矩形ABCD的周长； （2）设宽应增加ycm，根据宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形列方程求解即可． 【解答】解：（1）设矩形ABCD长为3xcm，则宽为2xcm，根据题意可得： 3x•2x＝120， 解得：（负值舍去）， ∴矩形ABCD长为，则宽为， ∴矩形ABCD的周长； （2）设宽应增加ycm， 此时矩形ABCD长为，则宽为， ∵宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形， ∴， 解得：y＝8． 即宽应增加8cm． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握该知识点是关键． 【考点4】创新及压轴题（第30-32题） ※ 方法总结 · 新定义类： 如“白银分割点”“黄金分割数的应用”等，理解定义并转化为比例式或一元二次方程求解。 · 尺规作图： 利用垂直平分线、垂线和圆规作黄金分割点（如构造直角三角形，斜边为 倍）。 · 证明类： 利用角度计算证明黄金三角形，或利用比例性质证明矩形为黄金矩形。 · 综合题策略： ① 仔细阅读材料，提取关键信息；② 将文字语言转化为数学表达式（比例、方程）；③ 应用黄金比或比例性质求解；④ 注意检验结果的合理性。 30．（2026•寒亭区二模）阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为36°的等腰三角形叫作黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D． （1）求证：△BCD为黄金三角形； （2）若AC＝4，求DC的长．（结果保留根号） 【分析】（1）根据黄金三角形的定义进行证明即可； （2）结合黄金三角形的定义进行计算即可． 【解答】（1）证明：由作图可知，BP平分∠ABC， ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠BCD∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BC＝BD， ∴△BCD是顶角为36°的等腰三角形， ∴△BCD为黄金三角形； （2）解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴△ABC是黄金三角形， ∴． ∵AC＝4， ∴BC． ∵△BCD为黄金三角形， ∴， ∴CD． 【点评】本题主要考查了黄金分割、角平分线的性质、等腰三角形的性质及作图﹣基本作图，熟知黄金三角形的定义是解题的关键． 31．（2026•交城县模拟）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段AB上一点，点C把线段AB分成AC和BC两段，其中AC＜BC．若线段AC，BC，AB之间的关系满足，则点C是线段AB的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设AB＝1，BC＝x，则AC＝1﹣x， … 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有　2　 个黄金分割点； （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程； （3）拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段AB的黄金分割点C，使得AC＞BC．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（1）由于线段有两个方向，从线段的两个端点分别去考虑满足黄金分割条件的点，此时一条线段有2个黄金分割点； （2）根据题意线段比例关系及线段的表达式列出方程求解x即可； （3）作线段AB的垂直平分线OF，交线段AB于点O，过点B作AB的垂线，截取BD＝OB，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，交AD于点E，最后以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点C，此时点C即为所求． 【解答】解：（1）∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比， ∴一条线段有2个黄金分割点， 故答案为：2． （2）设AB＝1，BC＝x，则AC＝1﹣x， ∵， ∴， ∴1﹣x＝x2， ∴x2+x﹣1＝0， 解得，（舍去）， ∴． （3）作线段AB的垂直平分线OF，交线段AB于点O，过点B作AB的垂线，截取BD＝OB，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，交AD于点E，最后以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点C，如图所示，点C即为所求（答案不唯一）； 作线段AB的垂直平分线OF，交线段AB于点O，过点B作AB的垂线，截取BD＝OB，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，交AD于点E，最后以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点C，此时点C即为所求． 证明：设AB的长度为2a， ∵OF为AB的垂直平分线， ∴AO＝OB＝a， 又∵BD＝OB＝a， ∴在Rt△ABD中，由勾股定理得，， ∵DB＝DE＝a， ∴， ∵， ∴． 【点评】本题考查黄金分割，解一元二次方程，掌握黄金分割是解题的关键． 32．（2025秋•大连期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，a≠b，c≠d，若，则． 如下证明这个结论的正确性，设，则a＝bk，c＝dk，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且b+d+…n≠0，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 【分析】（1）设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，所以，然后进行分式的化简即可得到结论； （2）设k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可． 【解答】（1）证明：设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk， ∵b+d+…n≠0， ∴k， ∴； （2）解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k， 所以． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了比例的性质． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 求两个数的比例中项（注意符号，线段长取正值）。 · 练习2： 利用等比性质（若 ）求分式的值。 · 练习3： 理解“白银分割点”新定义，利用已知比例求线段长。 · 练习4： 黄金分割在实际瓶装水问题中的应用（近似计算）。 · 练习5： 黄金三角形中，利用底腰比求线段长（角平分线构造）。 · 练习6： 黄金分割在唢呐设计中的应用，列方程求线段长。 【练习1】（2026•宁波模拟）已知a＝3，b＝27，则a，b的比例中项为 　±9　 ． 【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决． 【解答】解：设a、b的比例中项为x， ∵a＝3，b＝27， ∴， 即x2＝81， ∴x＝±9， ∴a，b的比例中项为±9， 故答案为：±9． 【点评】本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么b叫做a与c的比例中项． 【练习2】（2026•鼓楼区二模）若（b+d≠0），则　2　 ． 【分析】根据已知比例关系，用b和d表示a和c，再代入所求分式进行化简． 【解答】解：由条件可知a＝2b，c＝2d， ∴． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【练习3】（2026•深圳校级模拟）数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足，则点C为线段AB的白银分割点．已知点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），且BC＝4，则AC＝ 　　 ． 【分析】根据白银分割点的定义得到，即可求出AC的长． 【解答】解：∵点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC）， ∴， ∵BC＝4， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了成比例线段，理解白银分割点的定义是解题关键． 【练习4】（2026•兴庆区校级二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比（约等于0.618）时，可以发出“sol”的音符．若AC＝12cm，且可以发出“sol”的音符，则水面高度BC为　7.4cm ．（精确到0.1cm） 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比，AC＝12cm， ∴BC≈0.618AC＝0.618×12≈7.4（cm）， ∴水面高度BC约为7.4cm， 故答案为：7.4cm． 【点评】本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【练习5】（2026•金凤区校级二模）我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为，如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝4，则CD的长为　　 ． 【分析】根据黄金三角形的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BD＝BC， ∴△BDC是黄金三角形， ∴． ∵BC＝4， ∴CD． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了黄金分割及等腰三角形的性质，理解所给黄金三角形的定义是解题的关键． 【练习6】（2026•迎泽区校级二模）唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，唢呐主要由唢呐杆AP和唢呐碗PB两部分组成．制作唢呐时，通常将连接点P设计在唢呐AB的黄金分割点（即AP2＝BP•AB），这样唢呐既美观又有最好的音效．现有一个长度为22cm的唢呐杆，准备用其制作一个这样的黄金分割唢呐，则需要制作的唢呐碗的长度是　（33）　 cm．（结果保留根号） 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为AP2＝BP•AB且AB＝22cm， 则AP2＝22（22﹣AP）， 整理得，AP2+22AP﹣484＝0， 解得AP（舍负）， 所以BP＝AB﹣AP＝22﹣（）＝（33）cm． 故答案为：（33）． 【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 判断四条线段是否成比例（利用最大×最小=中间两数积）。 · 作业2： 比例尺应用（图上距离与实际距离的换算）。 · 作业3： 比例线段的再判断（基础练习）。 · 作业4： 已知黄金分割点满足的比例式，求线段总长（解一元二次方程）。 · 作业5： 求比例中项（直接利用平方关系）。 · 作业6： 黄金分割点求线段长度（注意可能有两种情况，较长或较短）。 · 作业7： 已知两数之比，求含比式的比值（代入法）。 · 作业8： 利用等比性质求分式的值（设 法）。 · 作业9： 连比式求代数式的值（设参数 ）。 · 作业10： 黄金分割在实际雕塑设计中的应用（列方程解一元二次方程）。 · 作业11： 黄金分割数的运算（求 、 及分式值）。 · 作业12： 黄金矩形的判定与证明（利用比例关系推导）。 ❤复习建议 本讲核心是“比例的性质与黄金分割”，重点掌握： 比例的基本性质（内项积=外项积）及其变形（合比、分比、等比）； 设参数法（设 ）解决连比问题； 黄金比 的推导与记忆； 黄金三角形、黄金矩形的性质及其应用； 实际问题中建立比例方程，注意解的取舍。 【作业1】（2025秋•虹口区期末）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【分析】根据比例线段的定义，进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为1×4≠2×3， 所以A选项不符合题意； 因为2×5≠3×4， 所以B选项不符合题意； 因为1×5≠2×3， 所以C选项不符合题意； 因为2×6＝3×4， 所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． 【作业2】（2026春•虹口区期中）在一幅比例尺为1：500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（　　） A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【解答】解：设实际距离为xcm，则： 1：500000＝25：x， 解得x＝12500000． 12500000cm＝125km． 故选：A． 【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算． 【作业3】（2025秋•浦东新区期末）下列各组线段中，能构成比例线段的是（　　） A．1，2，3，4 B．1，2，2，4 C．2，3，4，5 D．2，3，5，7 【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析，即可求解． 【解答】解：A：1，2，3，4，任意两个比值均不相等，如1：2≠3：4，1：3≠2：4等，不符合题意； B：1，2，2，4，∵1：2＝2：4，∴能构成比例线段，符合题意； C：2，3，4，5，任意两个比值均不相等，如2：3≠4：5，2：4≠3：5等，不符合题意； D：2，3，5，7，任意两个比值均不相等，如2：3≠5：7，2：5≠3：7等，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 【作业4】（2025秋•长宁区期末）若点P是线段AB上的一点，满足AP2＝BP•AB，已知，那么AB的长为　　 ． 【分析】根据题意，设AP＝x，则，代入解方程即可． 【解答】解：设AP＝x，则， ∵AP2＝BP•AB， ∴， 化简，得， 解得，x1＝2，（负值舍去）， ∴x＝2， ∴已知，那么． 故答案为：． 【点评】本题考查比例线段，一元二次方程的求解，熟练掌握相关知识是关键． 【作业5】（2026春•闵行区校级期中）已知6是x和12的比例中项，那么x的值为 　3　 ． 【分析】根据比例的性质得到方程62＝12x，再解方程即可求解． 【解答】解：根据题意得62＝12x， 解得x＝3． 故x的值为3， 故答案为：3． 【点评】考查了比例线段，关键是熟悉比例中项的定义． 【作业6】（2026春•徐汇区校级月考）已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么线段AP的长是　（22）厘米或（6﹣2）厘米　 ． 【分析】根据黄金分割点的定义，AP可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求解即可． 【解答】解：当AP＞BP时， ∵点P是线段AB的黄金分割点，AB＝4厘米， ∴APAB4＝（22）（厘米）， 当AP＜BP时，BPAB4＝（22）（厘米）， ∴AP＝AB﹣BP＝4﹣（22）＝（6﹣2）（厘米）， 故答案为：（22）厘米或（6﹣2）厘米． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【作业7】（2026春•宝山区校级期中）已知x：y＝1：5，求（2x+y）：（20x﹣3y）的比值． 【分析】根据x：y＝1：5，转化成y＝5x，代入原式化简即可得到答案； 【解答】解：由条件可知y＝5x， ∴原式． 【点评】本题主要考查了比的化简和求比值，熟练掌握该知识点是关键． 【作业8】（2025春•宝山区校级期中）已知．求． 【分析】根据等比性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴． 【点评】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业9】（2025•徐汇区一模）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值． 【分析】（1）设k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值． 【解答】解：（1）设k，则a＝2k，b＝3k，c＝5k， 所以原式； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44得4k+3k+15k＝44， 解得k＝2， 所以a＝4，b＝6，c＝10． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 【作业10】（2025秋•大足区期末）在设计人体雕塑时，为了增加视觉美感，雕塑师在雕刻时将雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比．美学家认为这个比值是黄金分割数，它能增加美感．据说一些名画和雕塑中的人体大体都符合这个比． （1）如图，AB＝4cm，线段AB上有一点C把线段分成分为两段，其中AC是较小的一段，且满足AC：CB＝CB：AB，求BC的值． （2）雷锋精神代代传．在辽宁抚顺雷锋纪念馆前有一座高2米的雷锋雕像就是按以上的比例进行雕刻的．应用上面的结论，请问雕塑上部（上部比下部短）是多少米？ 【分析】（1）设BC为xcm，则AC＝AB﹣BC＝4﹣x（cm），根据AC：CB＝CB：AB列出方程，求解即可； （2）设上部为ym，则下部为（2﹣y）m，根据（1）中线段的比列出方程，求解并根据实际取舍即可解答． 【解答】解：（1）设BC为xcm，则AC＝AB﹣BC＝4﹣x（cm）， ∴（4﹣x）：x＝x：4， 即x2+4x﹣16＝0， 解得，， ∵BC＞0， ∴， 答：BC的长为． （2）设上部为ym，则下部为（2﹣y）m，根据题意得： y：（2﹣y）＝（2﹣y）：2， 即y2﹣6y+4＝0， 解得，， ∵，不合题意，舍去， ∴， 答：雕塑的上部是． 【点评】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据题意列出方程是解题的关键． 【作业11】（2026春•海淀区校级期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设，，求下面的值： （1）直接写出a+b和ab的值：a+b＝　　 ，ab＝　1　 ； （2）求的值． 【分析】（1）根据a，b的值，求出a+b和ab即可． （2）利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：（1）因为，， 所以a+b， ab． 故答案为：． （2）由题知， S． 【点评】本题考查黄金分割及分式的加减法，整体思想的巧妙运用是解题的关键． 【作业12】（2025秋•攀枝花月考）将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB、AB的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点． （1）设AP＝m，PB＝n，按照定义恒成立，请你推导黄金比； （2）黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无处不在．我们把宽与长的比为的矩形叫黄金矩形，比如按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如图，是某同学为自家设计的子母窗户结构示意图，在一个黄金矩形ABCD里分割出一个正方形AMND，那么右边窗户BCNM还是黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 【分析】（1），得n2+mn﹣m2＝0，将m看作常数，将此方程看作关于n的一元二次方程，解方程即可得m与n之间的关系式，即可得证； （2）根据黄金分割设出矩形ABCD的长和宽，然后表示出矩形BCNM的宽，再求出宽与长的比值即可得证． 【解答】解：（1）∵， ∴n（m+n）＝m2， 整理得：n2+mn﹣m2＝0． ∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣m2）＝5m2． ∴． ∵m＞0，n＞0， ∴． ∴； （2）右边窗户BCNM是黄金矩形． 证明：∵矩形ABCD是黄金矩形， ∴设，AB＝x． ∵四边形AMND是正方形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴矩形BCNM是黄金矩形． 【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分割比． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $