专题06锐角的正弦.余弦.与正切暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

专题06锐角的正弦.余弦.与正切暑假预习讲义 ·理解直角三角形中锐角对边、邻边、斜边的定义，能准确区分任意锐角对应的三条边，夯实三角函数识图基础。 ·掌握正弦、余弦、正切的文字定义与符号表达式，牢记sin A、cos A、tan A的书写规范，分清三者的比值区别，不混淆对边、邻边。 ·明确三角函数是直角三角形中锐角的固定比值，只和角度大小有关，与直角三角形边长无关，理解三角函数的唯一性。 ·会在已知直角三角形三边长度时，正确求出指定锐角的正弦、余弦、正切值；已知一个三角函数值，能逆向设边长，求出另外两个三角函数。 ·掌握特殊角（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切数值，能初步记忆并简单计算含特殊角的三角式。 ·能结合勾股定理先求出直角三角形未知边长，再完整计算三个三角函数值，规范书写解题步骤。 ·区分易混易错点：避免把对边、邻边搞反，分清\tan A与sin A、cos A的比值形式，理解三角函数无单位。 ·初步建立数形结合思想，依托直角三角形模型理解三角函数，为后续解直角三角形、实际测量应用题做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.直角三角形三边定义 2.正弦.余弦.正切的定义 3.同角三角函数值 4.特殊角的三角函数值 5.互余两角三角函数转换 6.三角函数取值范围 7.由三角函数值求锐角 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.正弦的概念辨析 2.求角的正弦值 3.已知正弦值求边长 4.余弦的概念辨析 5.求角的余弦值 6.已知余弦求边长 7.正切的概念辨析 8.求角的正切值 9.已知正切值求边长 10.特殊三角形的三角函数 11.特殊角三角函数值的混合运算 12.特殊三级函数值判三角形形状 13.计算器求锐角三角函数值 14.特殊三角函数值求角度 15.计算器求对应锐角 16.已知角比较三角函数值 17.函数值判断锐角取值范围 18.由同角三角函数关系求值 19.求证同角三角函数关系式 20.互余两角三角函数的关系 21.三角函数综合 强化题型 解答题11题 知识点 01 直角三角形三边定义（识图基础） 在Rt△ ABC， ∠C=90，三边标记：∠ A对边BC=a， ∠A邻边AC=b，斜边AB=c 线段名称 对应边 核心说明 斜边 AB=c 直角对的边，固定最长，不随锐角改变 ∠A的对边 BC=a 不与 ∠A相接的直角边 ∠A的邻边 AC=b 和 ∠A、直角同时相邻的直角边 ∠B的对边 AC=b 换锐角后，对边、邻边互换 易错：对边、邻边随观察锐角变化，不能固定记忆。 知识点 02 正弦、余弦、正切定义（本节核心） 三角函数 文字定义 公式表达式 比值构成 正弦 sin A 锐角对边比斜边 sinA​ 对边 ÷ 斜边 余弦 cos A 锐角邻边比斜边 cosA 邻边 ÷ 斜边 正切 tan A 锐角对边比邻边 tanA== 对边 ÷ 邻边 核心性质： 1.sin A、cos A、tan A是无单位纯比值； 2.函数值只由锐角大小决定，与三角形边长无关； 3.角度确定，三角函数值唯一。 知识点 03 同角三角函数恒等式（计算必考） 设α为任意锐角，两个基础恒等式： 关系类型 公式 推导依据 平方关系 sin2α+cos2α=1 勾股定理 a2+b2=c2 商数关系 tanα 分式约分消去斜边c 补充说明：sin2α=(sinα)2，不能写成sinα2 知识点04:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 1.数值推导与记忆 推导原理：基于含 30°、45° 的直角三角形边长比（30° 对边 = 斜边 1/2，45° 为等腰直角三角形），用三角函数定义计算。 2.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 3.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点 05 互余两角三角函数转换 Rt△中 ∠A+∠B=90，两角互余： 转换公式组 文字规律 sin A=cos B，cos A=sin B 一个角的正弦 = 它余角的余弦 tan A tan B=1 互余两角正切互为倒数 知识点 06 三角函数取值范围 0<α<90 函数 取值范围 sinα 0<sinα<1 cosα 0<cosα<1 tanα taαn>0 知识点07:由三角函数值求锐角 1.核心逻辑 本节核心是由三角函数值反求对应锐角，分两种情况： 特殊值：直接对应 30°、45°、60°（如 sinα= ⇒ α=45°）； 非特殊值：需用科学计算器求解（需调至 DEG 角度模式）。 2.计算器操作步骤（通用） (1)开机并切换至 DEG 模式（确保单位为度）； (2)按函数键（sin/cos/tan）； (3)输入三角函数值； (4)按等号键，显示结果（精确到 0.01° 或按题目要求）。 3.两类常见题型 题型 示例 解题要点 特殊值求角 已知 cosα=，求锐角 α 直接对应 60°，无需计算器 非特殊值求角 已知 sinα=0.35，求锐角 α 用计算器计算，注意模式与精度 4.实际应用场景 结合直角三角形边长比（如已知对边 / 邻边求倾斜角），解决坡度、高度等实际问题。 知识点 08 高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确做法 混淆对边邻边 求sin A用邻边 ÷ 斜边 先找准目标锐角的对边 分母写错 tan A= tan无斜边，分母是邻边 平方书写错误 sin2 A=sin A2 sin2 A=(sin A)2 特殊角记反 sin60= 对照背诵表格区分正弦余弦 互余关系颠倒 sin A=sin B 互余：正、余弦互换 题型1.正弦的概念辨析 【典例】若，则锐角__________锐角（填、或）． 【跟踪专练1】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC=_____． 【跟踪专练3】如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕．若矩形纸片的宽，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 题型2.求角的正弦值 【典例】如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为______． 【跟踪专练1】在中，，，，那么的值是________． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【跟踪专练3】如图，中，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 题型3.已知正弦值求边长 【典例】如图，在中，，，，则______． 【跟踪专练1】如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练2】如图，中，，，；_______． 【跟踪专练3】拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型4.余弦的概念辨析 【典例】比较大小：_____（用“＞”或“＜”填空） 【跟踪专练1】如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知余弦函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点使得，则的值不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型5.求角的余弦值 【典例】如图，在中，，，，则________ 【跟踪专练1】如图，在的正方形方格图形中，的顶点都在格点上，则的余弦值为________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 题型6.已知余弦求边长 【典例】在中，，的余弦值是，，那么的长为______． 【跟踪专练1】如图，在扇形中，，点在上，连，将沿着对折，点恰好与弧上的点重合，连接，______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为（   ） A．或18 B．或18或19 C．或18或19或 D．或18或19或20 题型7.正切的概念辨析 【典例】把的对边与邻边的比叫做的_____，记作_____，即_____ 【跟踪专练1】在中，，、、分别是、、的对边，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 题型8.求角的正切值 【典例】在中，，，，则的值为________． 【跟踪专练1】如图，是方格纸上的格点，则的值为__________． 【跟踪专练2】如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 题型9.已知正切值求边长 【典例】在中，，，，则的长为________． 【跟踪专练1】在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型10.特殊三角形的三角函数 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】已知α为锐角，且，则α等于____． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹，可知的值为（   ）． A． B． C． D． 题型11.特殊角三角函数值的混合运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】计算：__________． 【跟踪专练2】若规定，则（   ） A． B． C． D． 题型12.特殊三级函数值判三角形形状 【典例】在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【跟踪专练1】若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 【跟踪专练2】在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 题型13.计算器求锐角三角函数值 【典例】利用计算器求值时，若按键顺序为，则输出结果为___________（结果保留一位小数）． 【跟踪专练1】如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：    ①按键的结果为4； ②按键的结果为8； ③按键的结果为； ④按键的结果为25． 以上说法正确的序号是___________． 【跟踪专练2】如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型14.特殊三角函数值求角度 【典例】若，则________． 【跟踪专练1】在中，若，满足 则的度数为________． 【跟踪专练2】已知是锐角，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型15.计算器求对应锐角 【典例】若，则_______（精确到）． 【跟踪专练1】已知α为锐角，且，则____．（精确到） 【跟踪专练2】为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（   ） A． B． C． D． 题型16.已知角比较三角函数值大小 【典例】比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【跟踪专练1】比较大小（用＜连接），，，__． 【跟踪专练2】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 题型17.函数值判断锐角取值范围 【典例】若是锐角，，则取值范围为________． 【跟踪专练1】锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【跟踪专练2】若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 题型18.由同角三角函数关系求值 【典例】已知 (为锐角)，则 ___________ 【跟踪专练1】在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知面积为1，点D，E分别在线段，上，且，，则四边形的面积为________． 【跟踪专练3】已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 题型19.求证同角三角函数关系式 【典例】常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 【跟踪专练1】对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 题型20.互余两角三角函数的关系 【典例】在中，，若，则的值为 ______ ． 【跟踪专练1】已知，如图，在中，，若，则______． 【跟踪专练2】在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型21.三角函数综合 【典例】在中，，的对边分别是，那么下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度________米． 【跟踪专练2】，则_________ 【跟踪专练3】现给出如下定义：某一范围内任意都在范围内有唯一的值与之对应，则称这种对应关系为函数，则下面几个式子不可能为函数的是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 2． 解答下列各题∶ (1)化简求值∶ (2)在中，，化简． 3．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 4．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 5．先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 6．如图，在正方形中，，是上一点，连接，， (1)求的长度． (2)求． 7．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 8．如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，求点C到的距离． 9．如图，将的边延长到点，使，连接交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 10．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 11．若，为锐角且时，现有公式：，，利用三个公式求解下列问题： (1)已知，求的值； (2)求的值； (3)证明：中． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06锐角的正弦.余弦.与正切暑假预习讲义 ·理解直角三角形中锐角对边、邻边、斜边的定义，能准确区分任意锐角对应的三条边，夯实三角函数识图基础。 ·掌握正弦、余弦、正切的文字定义与符号表达式，牢记sin A、cos A、tan A的书写规范，分清三者的比值区别，不混淆对边、邻边。 ·明确三角函数是直角三角形中锐角的固定比值，只和角度大小有关，与直角三角形边长无关，理解三角函数的唯一性。 ·会在已知直角三角形三边长度时，正确求出指定锐角的正弦、余弦、正切值；已知一个三角函数值，能逆向设边长，求出另外两个三角函数。 ·掌握特殊角（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切数值，能初步记忆并简单计算含特殊角的三角式。 ·能结合勾股定理先求出直角三角形未知边长，再完整计算三个三角函数值，规范书写解题步骤。 ·区分易混易错点：避免把对边、邻边搞反，分清\tan A与sin A、cos A的比值形式，理解三角函数无单位。 ·初步建立数形结合思想，依托直角三角形模型理解三角函数，为后续解直角三角形、实际测量应用题做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.直角三角形三边定义 2.正弦.余弦.正切的定义 3.同角三角函数值 4.特殊角的三角函数值 5.互余两角三角函数转换 6.三角函数取值范围 7.由三角函数值求锐角 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.正弦的概念辨析 2.求角的正弦值 3.已知正弦值求边长 4.余弦的概念辨析 5.求角的余弦值 6.已知余弦求边长 7.正切的概念辨析 8.求角的正切值 9.已知正切值求边长 10.特殊三角形的三角函数 11.特殊角三角函数值的混合运算 12.特殊三级函数值判三角形形状 13.计算器求锐角三角函数值 14.特殊三角函数值求角度 15.计算器求对应锐角 16.已知角比较三角函数值 17.函数值判断锐角取值范围 18.由同角三角函数关系求值 19.求证同角三角函数关系式 20.互余两角三角函数的关系 21.三角函数综合 强化题型 解答题11题 知识点 01 直角三角形三边定义（识图基础） 在Rt△ ABC， ∠C=90，三边标记：∠ A对边BC=a， ∠A邻边AC=b，斜边AB=c 线段名称 对应边 核心说明 斜边 AB=c 直角对的边，固定最长，不随锐角改变 ∠A的对边 BC=a 不与 ∠A相接的直角边 ∠A的邻边 AC=b 和 ∠A、直角同时相邻的直角边 ∠B的对边 AC=b 换锐角后，对边、邻边互换 易错：对边、邻边随观察锐角变化，不能固定记忆。 知识点 02 正弦、余弦、正切定义（本节核心） 三角函数 文字定义 公式表达式 比值构成 正弦 sin A 锐角对边比斜边 sinA​ 对边 ÷ 斜边 余弦 cos A 锐角邻边比斜边 cosA 邻边 ÷ 斜边 正切 tan A 锐角对边比邻边 tanA== 对边 ÷ 邻边 核心性质： 1.sin A、cos A、tan A是无单位纯比值； 2.函数值只由锐角大小决定，与三角形边长无关； 3.角度确定，三角函数值唯一。 知识点 03 同角三角函数恒等式（计算必考） 设α为任意锐角，两个基础恒等式： 关系类型 公式 推导依据 平方关系 sin2α+cos2α=1 勾股定理 a2+b2=c2 商数关系 tanα 分式约分消去斜边c 补充说明：sin2α=(sinα)2，不能写成sinα2 知识点04:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 1.数值推导与记忆 推导原理：基于含 30°、45° 的直角三角形边长比（30° 对边 = 斜边 1/2，45° 为等腰直角三角形），用三角函数定义计算。 2.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 3.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点 05 互余两角三角函数转换 Rt△中 ∠A+∠B=90，两角互余： 转换公式组 文字规律 sin A=cos B，cos A=sin B 一个角的正弦 = 它余角的余弦 tan A tan B=1 互余两角正切互为倒数 知识点 06 三角函数取值范围 0<α<90 函数 取值范围 sinα 0<sinα<1 cosα 0<cosα<1 tanα taαn>0 知识点07:由三角函数值求锐角 1.核心逻辑 本节核心是由三角函数值反求对应锐角，分两种情况： 特殊值：直接对应 30°、45°、60°（如 sinα= ⇒ α=45°）； 非特殊值：需用科学计算器求解（需调至 DEG 角度模式）。 2.计算器操作步骤（通用） (1)开机并切换至 DEG 模式（确保单位为度）； (2)按函数键（sin/cos/tan）； (3)输入三角函数值； (4)按等号键，显示结果（精确到 0.01° 或按题目要求）。 3.两类常见题型 题型 示例 解题要点 特殊值求角 已知 cosα=，求锐角 α 直接对应 60°，无需计算器 非特殊值求角 已知 sinα=0.35，求锐角 α 用计算器计算，注意模式与精度 4.实际应用场景 结合直角三角形边长比（如已知对边 / 邻边求倾斜角），解决坡度、高度等实际问题。 知识点 08 高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确做法 混淆对边邻边 求sin A用邻边 ÷ 斜边 先找准目标锐角的对边 分母写错 tan A= tan无斜边，分母是邻边 平方书写错误 sin2 A=sin A2 sin2 A=(sin A)2 特殊角记反 sin60= 对照背诵表格区分正弦余弦 互余关系颠倒 sin A=sin B 互余：正、余弦互换 题型1.正弦的概念辨析 【典例】若，则锐角__________锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【跟踪专练2】如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC=_____． 【答案】 【分析】过A作AD垂直于BC，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可. 【详解】解：过A作AD垂直于BC于D， 则AD=2，AC=， ∴sinC=. 故答案为. 【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，牢记锐角三角函数定义是解本题的关键. 【跟踪专练3】如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕．若矩形纸片的宽，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，在中，解直角三角形求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：∵将矩形纸片对折一次，使边与重合，得到折痕， ∴． ∵再一次折叠纸片，使点A落在的处并使折痕经过点B，得到折痕， ∴． 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 题型2.求角的正弦值 【典例】如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵高长为10米，斜道长为30米， ∴． 【跟踪专练1】在中，，，，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出的值. 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】取格点，连接，结合网格可得，根据勾股定理求出的长，最后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，在正方形网格中，取格点，连接， 由图可知，， ∴， ∴在中，． 【跟踪专练3】如图，中，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，确定，再根据正弦函数的定义进行计算即可. 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， . 题型3.已知正弦值求边长 【典例】如图，在中，，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查根据正弦值求边长，根据正弦的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 【跟踪专练2】如图，中，，，；_______． 【答案】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，在中，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出和的长；在中，利用特殊角的三角函数值求出的长；进而求出的长，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ， 根据勾股定理，得， 在中，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 【跟踪专练3】拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 题型4.余弦的概念辨析 【典例】比较大小：_____（用“＞”或“＜”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦的性质， 根据锐角三角函数值都是正值．当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小即可得结论． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：. 【跟踪专练1】如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 【跟踪专练2】已知余弦函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点使得，则的值不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题可通过分析的几何意义，结合余弦函数（）的图象，判断过原点的直线与函数图象的交点个数，进而确定的可能取值． 【详解】解：设得， ∴点再直线上，如图， 当时，无意义． 当，即时，直线与的交点为, ,，此时． 当直线经过时，，此时直线与有个交点，如图， 当直线经过时，，此时直线与有个交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图象交点问题，关键在于理解的几何意义，通过分析直线与的交点个数来确定的取值． 题型5.求角的余弦值 【典例】如图，在中，，，，则________ 【答案】 【分析】在直角三角形中，先利用勾股定理求得，再根据余弦函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在的正方形方格图形中，的顶点都在格点上，则的余弦值为________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理计算三角形三条边的长度，再根据勾股定理逆定理验证是直角三角形，最后根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：根据题意可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，用等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， 在中， ． 题型6.已知余弦求边长 【典例】在中，，的余弦值是，，那么的长为______． 【答案】16 【分析】本题考查余弦定义，熟知在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比是解答的关键．根据余弦的定义得到，代入已知值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：16． 【跟踪专练1】如图，在扇形中，，点在上，连，将沿着对折，点恰好与弧上的点重合，连接，______． 【答案】 【分析】连接交于，由折叠可知是等边三角形，可得，进而利用三角函数求解即可. 【详解】解：连接交于， 由折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：解得：. 【跟踪专练2】如图，在中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为（   ） A．或18 B．或18或19 C．或18或19或 D．或18或19或20 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形应用等知识，分点P在上和上讨论，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形的应用求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ①当点P在上时，， ∴为等腰三角形时，只有， ∴， 过D作于Q， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在上时， ∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，如图， ； 当时，如图，过P作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时，如图，过D作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴； 综上，t的值为或18或19或， 故选：C． 题型7.正切的概念辨析 【典例】把的对边与邻边的比叫做的_____，记作_____，即_____ 【答案】 正切 tan A 【详解】解：在中，，，， 把的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 【跟踪专练1】在中，，、、分别是、、的对边，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切、余切的定义是解题的关键． 根据直角三角形三角函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，，的对边为a，邻边为b，斜边为c， ∴，，，，即D选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 【详解】解：∵在中，，是边上的高， ∴均为直角三角形， 又∵，， ∴， 在中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意． 故选：B． 题型8.求角的正切值 【典例】在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 【跟踪专练1】如图，是方格纸上的格点，则的值为__________． 【答案】1 【分析】连接，由网格可知：，则有，然后根据正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 【答案】 【分析】利用同位角相等把转化为，设小正方形边长为，在直角三角形中按正切定义算出． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 则， 设小正方形的边长为， 则，， ． 题型9.已知正切值求边长 【典例】在中，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正切的定义求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：在中，， 根据正切的定义得， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 则的长为． 【跟踪专练1】在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点O，由同角的余角相等得，设，则，从而，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， 在菱形中，， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； 设，则， ∴， ∴， ∴． 题型10.特殊三角形的三角函数 【典例】计算：________． 【答案】/ 【详解】解：． 【跟踪专练1】已知α为锐角，且，则α等于____． 【答案】/40度 【分析】先根据特殊角的余弦值确定的度数，再求解α的值即可． 【详解】解：∵， 又∵α为锐角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹，可知的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，特殊角的三角函数值． 根据作图得到，即可得到的值． 【详解】解：由题意知，，且根据作图可得平分， ， ． 题型11.特殊角三角函数值的混合运算 【典例】计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算：__________． 【答案】 【详解】解： 【跟踪专练2】若规定，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据规定，，利用特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 题型12.特殊三级函数值判三角形形状 【典例】在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 【跟踪专练1】若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是根据绝对值和平方的非负性质，得到和的值，进而求出α和β的度数，从而确定三角形的形状．本题据此求解即可． 【详解】解：∵若，是一个三角形的两个锐角，且满足， ∴， ∴， ∴三角形中另外一个角为， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【跟踪专练2】在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、三角形内角和的性质，从而完成求解． 根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得；再根据三角形内角和性质计算得，即可得到答案． 【详解】解：∵都是锐角，且，， ， ， ∴的形状是钝角三角形， 故选：B． 题型13.计算器求锐角三角函数值 【典例】利用计算器求值时，若按键顺序为，则输出结果为___________（结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了计算器基础知识，熟练掌握特殊三角函数值的计算是关键． 先将按键顺序转化为算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意得，计算器输出的结果为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：    ①按键的结果为4； ②按键的结果为8； ③按键的结果为； ④按键的结果为25． 以上说法正确的序号是___________． 【答案】①③ 【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可． 【详解】 解：①按键的结果为；故①正确，符合题意； ②按键的结果为；故②不正确，不符合题意； ③按键的结果为；故③正确，符合题意； ④按键的结果为；故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义． 【跟踪专练2】如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，掌握计算器是解题的关键．根据按键顺序，列出算式，求出，的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ； 故选：C． 题型14.特殊三角函数值求角度 【典例】若，则________． 【答案】7 【详解】解：由特殊锐角的三角函数值可知：． 已知因此可得 得． 【跟踪专练1】在中，若，满足 则的度数为________． 【答案】/90度 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【跟踪专练2】已知是锐角，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式为0，先求出的值，再结合是锐角得到的度数． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 其中，，， 代入得：， 化简得：， 整理得：， ∵是锐角，， ∴， ∴． 题型15.计算器求对应锐角 【典例】若，则_______（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了一般角的三角函数，熟练掌握根据三角函数求值是解题的关键. 【详解】解：由题可知 故答案为：. 【跟踪专练1】已知α为锐角，且，则____．（精确到） 【答案】0.9769 【分析】本题主要考查了已知三角函数值利用计算器求角的度数，以及已知角的度数，用计算器求三函数值，先按键，再按4.567，再按“”得出，然后再按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“”得出答案即可； 【详解】解：用计算器计算，得， 所以． 故答案为：0.9769． 【跟踪专练2】为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求出角度的度数，根据题意可得，据此即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴按键顺序是， 故选：． 题型16.已知角比较三角函数值大小 【典例】比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】本题考查了锐角三角函数的大小比较，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，角度越大，正弦值越大． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：<． 【跟踪专练1】比较大小（用＜连接），，，__． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，熟练掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于1是解题的关键．利用互余的角的三角函数关系进行转化，同时掌握即可得出答案． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【跟踪专练2】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 题型17.函数值判断锐角取值范围 【典例】若是锐角，，则取值范围为________． 【答案】 【分析】先根据是锐角得到的初步范围，再结合特殊角的正弦值得到，根据锐角正弦函数的增减性即可求出的取值范围． 【详解】解：是锐角， ， ，锐角的正弦值随角度的增大而增大，且， ， 综上可得 ． 【跟踪专练1】锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 【跟踪专练3】用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，． ∵， ∴， 则的取值范围是． 故选∶A． 题型18.由同角三角函数关系求值 【典例】已知 (为锐角)，则 ___________ 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， 故， 将代入，原式． 故答案为：． 【跟踪专练1】在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查锐角三角函数值的计算，可先依据锐角余弦的定义设出直角三角形的边长，再利用勾股定理求出另一条直角边，最后根据正切的定义计算出的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设，（）， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】已知面积为1，点D，E分别在线段，上，且，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系求值， 过点E作于点K，过点C作于点H， 通过三角形面积公式，计算三角形与三角形的面积比，进而求得四边形的面积． 【详解】解：如下图：过点E作于点K，过点C作于点H， 则 ，， ， 已知，， 所以， 即． 四边形的面积为三角形面积减去三角形面积， 即， 故答案为：. 【跟踪专练3】已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算得到，将原式的分子、分母同时除以，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B ． 题型19.求证同角三角函数关系式 【典例】常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意即可写出式子． 【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键． 【跟踪专练1】对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可． 【详解】解：A．，故本选项正确； B．，故本选项错误； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项错误． 故选A． 【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 题型20.互余两角三角函数的关系 【典例】在中，，若，则的值为 ______ ． 【答案】 【分析】运用一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】已知，如图，在中，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握直角三角形中三角函数与边的对应关系是解题关键．利用锐角三角函数的定义及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，且，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故选∶B． 题型21.三角函数综合 【典例】在中，，的对边分别是，那么下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数，根据直角三角形中三角函数的定义，逐一验证每个等式是否正确即可． 【详解】解：在中，，的对边分别是，如图， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵ ∴，故选项B错误，符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度________米． 【答案】 【分析】本题考查了特殊的锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题通过题干可得，，，然后根据，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】，则_________ 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元二次方程，求三角函数值，将方程变形为，解方程求出的值，可得或，从而可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∴或， 当时，； 当时，； 故答案为：或． 【跟踪专练3】现给出如下定义：某一范围内任意都在范围内有唯一的值与之对应，则称这种对应关系为函数，则下面几个式子不可能为函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，对于初中学生而言，只有D选项最熟悉，根据排除法求解即可． 【详解】解：对于，当时，，，不满足题干中的函数定义，即D选项符合题意， 故选：D． 解答题 1．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查用计算器求锐角三角函数值，对于含有度分秒的角，先根据度分秒的进率换算，转化为以度为单位的角，再使用计算器计算即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，使用计算器计算可得； （4）解：，使用计算器计算可得． 2． 解答下列各题∶ (1)化简求值∶ (2)在中，，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式化简，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行求解即可； （2）根据，再根据二次根式性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵中，， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴ ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上分析可知：． 3．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 4．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 5．先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【答案】（1）a，b，a，b，1，1；（2） 【分析】本题主要考查直角三角形中正切的定义（对边与邻边的比值），以及通过计算归纳出互余锐角的正切值关系（乘积为1），解决问题的关键是熟练掌握正切函数的定义. 【详解】（1）解：在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1． 故答案为： （2）解：已知，则_______． 互余的两个锐角的正切值的乘积为1， 故答案为： 6．如图，在正方形中，，是上一点，连接，， (1)求的长度． (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据正切求出，即可求解； （2）将转化为即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵四边形是正方形 ∴， ∴，， ∴． 7．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 【答案】(1)证明：， ， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由得到，结合，即可得证； （2）过点作于点，根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 四边形是平行四边形， ， 平分，，， ， ， ， ． 8．如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，求点C到的距离． 【答案】(1)证明：， ， ． ， ， ， 又，， ． (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等得到，再结合，，由即可证明； （2）过点C作于点H，由勾股定理求出，再根据，即可求点C到的距离． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作于点H． ， ，， ， ， ， ， ∴点C到的距离为． 9．如图，将的边延长到点，使，连接交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，可知，根据得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意可知，根据平行四边形的性质得到，进而证明为等边三角形，得到，进而得到，可知四边形是矩形，得到，根据三角函数计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 且， ， 又， ， 四边形是平行四边形； （2）解：， 四边形是平行四边形， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ． 10．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 11．若，为锐角且时，现有公式：，，利用三个公式求解下列问题： (1)已知，求的值； (2)求的值； (3)证明：中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用进行变形求值即可； （2）先根据题干中信息得出，然后找出规律，得出答案即可； （3）先根据三角形内角和定理得出，根据，，得出，，从而得出，再化简等式左边即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即 ∴； （2）解： ， 同理得：， ， ， …… ， ∴ ； （3）证明：如图，在中，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， 右边． 试卷第1页，共3页 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