第13讲 解直角三角形（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第13讲 解直角三角形 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 解直角三角形的相关计算（重点） 题型2 解非直角三角形（难点） 题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型4 仰角俯角问题（解直角三角形的应用）（重点） 题型5 方位角问题（解直角三角形的应用） 题型6坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 题型7其他问题（解直角三角形的应用） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 解直角三角形、勾股定理、两锐角互余、边角关系、作高法、斜三角形转化、仰角、俯角、方位角、坡度（坡比）、坡角、测高问题、测宽问题、不规则图形面积 1. 理解解直角三角形的概念，掌握直角三角形三边、两锐角、边角三类基本关系，明确解直角三角形的前提条件（至少已知一条边长），能完成 “已知两边”“已知一边一锐角” 两类基础解直角三角形计算。 2.掌握非直角三角形的转化策略，能通过作高将等腰三角形、普通斜三角形分割为直角三角形，利用公共直角边建立等量关系，求解边长、角度与面积。 3. 理解仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等实际概念，能将测高、测宽、斜坡、方位等实际问题抽象为解直角三角形的数学模型，规范完成求解。 4. 能运用构造直角三角形的方法，解决不规则图形的边长与面积计算问题，提升数形结合与方程思想的应用能力。 5. 掌握解直角三角形近似计算的精确度规则，能按要求保留计算结果的小数位数。 学习重点：1.直角三角形的三类基本关系，常规解直角三角形的计算方法 2.斜三角形 “作高转化” 的解题思路，等腰三角形与普通三角形的直角化处理 3.仰角俯角、坡度坡比两类高频应用题型的模型构建与解题步骤 学习难点：1. 多直角三角形组合题型中公共边的建立与等量关系推导，方程思想的灵活运用 2. 实际应用问题中几何模型的抽象与角度、边长的准确对应 3. 非直角三角形（斜三角形）的辅助线构造与多步综合计算 4.方位角问题中角度的准确转化与图形构建 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01解直角三角形 在Rt 中，设 ，三条边和两个锐角五个元素满足三类关系： （1）三边之间的关系： ． （2）两锐角之间的关系： ． （3）边角之间的关系： 将关系式中的 换成 与 互换，即为 与边的关系式． 在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形． 由相似三角形的相关性质可知，解直角三角形至少需要知道一条边长． 在直角三角形除去直角外的五个元素中，只要已知两条边长或者一条边长与一个锐角，就可以求得其他所有角和边。 如无特别说明，在由正弦、余弦和正切的近似值确定相应锐角的大小时，可将该近似值保留四位小数．近似计算过程中，通常将中间运算的结果比规定的精确度多保留一位小数． 非直角三角形转化为解直角三角形的题型 1．等腰三角形：过顶点作底边垂线，分割成两个全等直角三角形，结合内角和、三角函数求解腰长、底角、底边长、面积． 2．普通斜三角形：过顶点作某条边上的高，分割成两个直角三角形，利用公共直角边建立等式，求解高与三角形面积． 在中，已知，那么的余切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理求，再根据余切定义求的余切值即可． 【详解】解：如图， ， ， 故选：C． 如图，在△中，，,.则边的长为___________. 【答案】 【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题 【详解】过A作AD⊥BC于D点， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题. 知识点02解直角三角形的应用 基础概念 仰角：水平线上方的视线与水平线所成的夹角． 坡度：斜坡垂直高度与水平距离的比值，一般写作 $1: m$ 的形式． 坡角：斜坡与水平地面的夹角． 常见应用场景 1．测高度（旗杆、建筑）：构造含仰角的直角三角形，水平距离为邻边，竖直高差为对边，结合测角仪高度求解总高度。 2．测宽度（河宽）：向三角形底边作高，高为所求宽度，利用两个直角三角形的底边和等于总长列方程求解高。 3．斜坡坡度、坡角计算：由斜坡总长、垂直高度，先用勾股定理求水平长度，再计算坡度，利用正切求坡角． 4．摆动类高差计算：由夹角拆分出直角三角形，用余弦求出水平线段长度，作差得到高低位置高度差． 如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）． 【答案】 【分析】先得出时，安全攀上墙的高度最高，再利用角的正弦函数求解即可． 【详解】解：∵要使用这个梯子安全攀上墙的高度最高， ∴应尽可能大， ∵， ∴当时，安全攀上墙的高度最高， ∵梯子长， ∴使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是． 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查坡度问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据坡度为，得，可求得，进而用勾股定理求出． 【详解】解：作， ∵坡度为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 题型1 解直角三角形的相关计算 【例1】如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；过点A作于点D，然后根据三角函数可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示： 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：C． 【例2】如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，如图所示，过点A作，根据锐角三角函数的定义得到求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∴． 故答案为：2． 【技巧归纳】 非直角三角形问题，通常过顶点作高构造直角三角形，结合三角函数定义与勾股定理分步求解。网格类题目可借助格点边长，按三角函数定义计算对应边的比值 易错点:作高位置选取不当易增加计算难度;网格中易数错格距，混淆对边与邻边的对应关系. 【变式1-1】如图，在四边形中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形和勾股定理． 利用锐角三角函数求出的长度，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，， 由勾股定理得，， 故选：A． 【变式1-2】如果一个半径为的正多边形绕其中心旋转就可以与自身重合，那么该正多边形的边长为___．（可以使用锐角的三角比表示） 【答案】 【分析】根据旋转对称图形的性质得到正多边形的中心角，先求出正多边形边数，再利用等腰三角形性质与锐角三角比求解边长即可. 【详解】解：正多边形绕中心旋转后与自身重合，因此该正多边形的中心角为， 设正多边形的边数为， ∵正多边形中心角和为， ∴， 即该正多边形为正十边形， 连接正十边形的中心与相邻两个顶点， ∴，， 过作于点， ∴， 设边长为， ∵ ∴， 即：. 【变式1-3】在中，（是锐角），，那么的长为__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，过点C作于点D，根据正弦的定义求出的长，则可用勾股定理求出的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：4． 【变式1-4】已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 【答案】(1)①如图1，即为所求； ②如图2，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O，则点O即为所求． (2) 【分析】（1）①利用网格直接画图即可． ②结合三角形的重心的定义，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O，则点O即为所求． （2）由图可得，，结合勾股定理求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）由图可得，． 由勾股定理得，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型2 解非直角三角形 【例3】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【例4】在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___． 【答案】 【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 【技巧归纳】 解斜三角形通常过顶点作高，将图形分割为两个直角三角形，结合特殊角三角函数与勾股定理分步求解。求三角形面积可运用 公式． 易错点：作高位置选取不当会增加计算难度；面积公式易遗漏系数 ；需注意高在形内的常规情形． 【变式2-1】已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 【变式2-2】如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里． 【答案】20 【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】如图，过点A作AC⊥BD， 依题意可得∠ABC=45° ∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里) ∴AC=BC=ABsin45°=10(海里) 在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30° ∴AD=2AC=20 (海里) 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【详解】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． 【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型． 题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例5】如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 【答案】B 【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解. 【详解】作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示： ∵∠ACD=135° ∴∠ACN=45° 在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45° ∴AN=CN=18 在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2， 设 ∴ 解得或（不符合题意，舍去） ∴AH=45 ∴HN=AH-AN=45-18=27 ∵四边形DGHN是矩形 ∴DG=HN=27 在Rt△DEG中， ∴ 故选：B. 【点睛】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题. 【例6】已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 【技巧归纳】 求解不规则图形，常作垂线构造直角三角形，将钝角转化为补角，结合坡度、三角函数与勾股定理分步推导边长。面积类问题先求对应高再计算。 易错点:坡度的边比关系易颠倒;钝角需先化锐角再用三角函数;参考数据选取与代入易出现偏差。 【变式3-1】如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为__cm2（结果保留根号）． 【答案】（10+12） 【分析】图中阴影部分的面积＝外框大直角三角板的面积−内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图， EF＝DG＝CH=， ∵含有45°角的直角三角板， ∴BC=，GH＝2， ∴FG＝8--2-=6﹣2， ∴图中阴影部分的面积为： 8×8÷2﹣（6﹣2）×（6﹣2）÷2 ＝32﹣22+12 ＝10+12（cm2） 答：图中阴影部分的面积为（10+12）cm2． 故答案为：（10+12）． 【点睛】考查了等腰直角三角形，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长． 【变式3-2】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 题型4 仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 【例7】飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据俯角的定义，构造直角三角形，利用正弦的定义即可求解飞机与目标点的距离． 【详解】解：如图所示，为飞机，飞机离地面高度为，测得目标的俯角为， 则，，， 在中，， ∴ ∴ 飞机与目标的距离为 千米； 故选：A． 【例8】如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据题意作出俯视角，利用平行线的性质和锐角三角函数解答即可． 【详解】解：如图所示 ， 故答案为． 【技巧归纳】 解仰角俯角类问题，先依据平行线内错角相等，将仰角或俯角转化为直角三角形的内角，再结合竖直高度、水平距离，用三角函数列关系式求解. 易错点:易混淆俯角对应的对边与邻边;未准确转化角度，误将仰俯角当作与竖直方向的夹角. 【变式4-1】如果在点处测得点的仰角为，那么在处测得点的（   ） A．仰角为 B．仰角为 C．俯角为 D．俯角为 【答案】C 【分析】本题考查仰角与俯角的应用，解题的关键是掌握：仰角与俯角是视线与水平线的夹角，且当两点间的水平线平行时，仰角与俯角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵在点处测得点的仰角为，即视线与过的水平线夹角为， 又∵过和过的水平线平行， ∴视线与过的水平线夹角（即俯角）也为， ∴在处测得点的俯角为． 故选：C． 【变式4-2】如果某飞机的飞行高度为，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机与地面控制点之间的距离为________．（用含字母的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查俯角的定义，直角三角形的性质．画出图形，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，飞机在点处，为水平线，地面控制点为点A，则， 根据题意，得，， ， ， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】如图1，为旗杆，测角仪高为米，利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为． (1)如果再用皮尺量得旗杆与测角仪底部的距离为米，求旗杆的高度．（用含字母及的式子表示） (2)如果只有上述测角仪，没有皮尺等其他的测量工具，如何测量与计算旗杆高度？（在图2中，画出测量示意图、标出需测量的数据，并说明测量的方法和计算旗杆高度．） 【答案】(1)米 (2)解：如图：利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，将测角仪平放量出，再利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ，解得：， ∴米． 【分析】（1）由题意可得：，解直角三角形可得，再利用线段的和差即可解答； （2）如图：利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，将测角仪平放量出，再利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为，易得，再解直角三角形可得、，再代入求得，进而求得的长即可． 【详解】（1）解：由题意可得：四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴，即， ∴米． （2）解：略 题型5 方位角问题（解直角三角形的应用） 【例9】如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 【例10】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长）___________． 【答案】 【详解】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系、角平分线的性质是正确解答的前提．通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案． 【解答】解：由题意可得， ∴， 过点B作，垂足为E， 在中，， 由题意可得， ∴， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 解方位角问题，先以南北、东西方向线为基准构造直角三角形，将方位角转化为三角形内角，过目标点作垂线分割图形，结合三角函数与特殊角性质计算边长. 易错点:方位角的起始方向易判断失误，角度换算出错;辅助线构造后易混淆各角的数量关系，导致边比对应错误 【变式5-1】如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角的应用，正确识别图形是解题的关键．根据题意得到，，，再根据三角函数的定义求值即可． 【详解】根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 【变式5-2】如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长________．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 【答案】/595千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形． 过点作于点，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及的长，再放在中求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 地位于地北偏东方向，距离地， ， ， 在，，， 地位于地南偏东方向， ， 在，， ． 答：地到地之间高铁线路的长为， 故答案为：． 【变式5-3】如图，小岛A在港口P的南偏西方向上，一艘船从港口P沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西的方向上．小岛A离港口P有多少海里（精确到0.1海里）？（参考数据：，，） 【答案】60.2海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题﹒过作，垂足为﹒根据题意求出海里，设海里，得到海里．在中，求出海里．列方程，解得， 即可求出海里，从而求出海里﹒ 【详解】解∶如图，过作，垂足为﹒ 由题意得（海里）， 设海里， ， 海里． 在中，∵， 海里． ， ． ， ∴（海里）， （海里）﹒ 答：小岛A离港口P约有60.2海里． 题型6 坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 【例11】一传送带和地面所成斜坡的坡比为，如果要把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（    ） A．12米 B．13米 C．24米 D．26米 【答案】D 【分析】本题主要考查坡比的概念，由坡比定义为垂直高度与水平距离之比，已知坡比和垂直高度10米，可求水平距离，再应用勾股定理求斜坡长度． 【详解】∵坡比为，即垂直高度：水平距离， ∴垂直高度米时，水平距离米， 在中，斜坡米． ∴物体所经过的路程为26米． 故选：D． 【例12】有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为_____米． 【答案】3 【分析】根据坡度定义先求出水平距离，再利用勾股定理计算斜坡长度即可. 【详解】解：设斜坡的水平距离为米， 由坡度的定义可得， 解得， 由勾股定理得斜坡长度为：（米）． 【技巧归纳】 坡度 为竖直高度与水平宽度的比，即 。已知坡比与竖直高度，先求水平宽度，再由勾股定理计算斜坡长度。 易错点：易颠倒坡比的前后项，混淆竖直高度与水平宽度；误将水平距离当作斜坡路程，需注意物体经过的路程对应斜边长度。 【变式6-1】如果斜坡的坡面的铅垂高度米，水平宽度米，那么斜坡的坡角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坡度和坡角，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：． 根据斜坡的坡度，可得，然后求出α的度数． 【详解】解：∵斜坡的坡度， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-2】如图，某水库大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，那么迎水坡面的长度是_______米． 【答案】 【分析】根据坡度的定义求出，再用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，在中，的坡度，坝高米， ∴, 解得， ∴ 【变式6-3】某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 【答案】约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角问题，涉及到了对坡度概念的理解，解题关键是掌握相关概念，正确构造直角三角形利用三角函数值求解． （1）利用坡度的计算公式即可直接求解； （2）按如图所示构造直角三角形，利用三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 如图，过D点作与平行，交于点G， , 四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴ ∴， 答：的高度约为． 【变式6-4】如图，某建筑物上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅，王同学利用测倾仪在斜坡的底部处测得条幅底部的仰角为，沿斜坡走到处测得条幅顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米（点在同一平面内，，测倾仪器的高度忽略不计）．（参考数据：，，，） (1)求点到建筑物的距离； (2)条幅的长度约为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度问题，仰角和俯角问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，交的延长线于，作于，由，米，得米，米，从而求解； （）在中，，所以（米），在中，，米，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：过作，交的延长线于，作于， 中，，米， ∴米，米， ∴（米）， ∴点到建筑物的距离为米； （2）解：在中，， ∴（米）， 在中，，米， ∴， ∴（米）， ∴条幅的长度约为米． 题型7 其他问题（解直角三角形的应用） 【例13】如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查是解直角三角形，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中， ∴ 故选：A． 【例14】如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，这辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？______．（填“是”或“否”）（参考数据：，，） 【答案】否 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线．过点A作于点C，根据解直角三角形的计算求得长度，再与车跟墙壁的距离比较即可得到答案． 【详解】解：如图，过点A作于点C， 则在中，，，米， ∴， ∴不会碰到墙． 故答案为：否． 【技巧归纳】 此类实际应用问题，先从场景中抽象出直角三角形模型，明确已知边与角的对应关系，选取适配的三角函数列式计算。判断类问题将计算结果与限定数值比较即可. 易错点:易选错三角函数类型，混淆对边与邻边;实际场景中垂直、平行关系转化失误，导致角度对应偏差. 【变式7-1】如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 【答案】1.9 【分析】过点作于点，构造矩形和直角三角形，利用矩形的性质求出的长，再在中利用锐角三角函数求出的长，即可得到的长. 【详解】解： 过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，， ， ， . 【变式7-2】图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 【答案】(1)摄像头到桌面的距离是 (2)桌面上可拍摄区域的宽度为 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，构造直角三角形，正确运用锐角三角函数的计算及相似三角形的判定的方法及性质是解题的关键． （1）过点作，过点作，垂足分别为点、，可得，由可算出，由即可求解； （2）过点作，垂足为，则有，设，，则，，，再证，由相似三角形的性质可得，由即可求解． 【详解】（1）解：过点作，过点作，垂足分别为点、， ，， ， ，， ， ， ． 答：摄像头到桌面的距离是． （2）解：过点作，垂足为， ，， 设，，则，，， ，， ， ， 解得：， ， 答：桌面上可拍摄区域的宽度为． 【变式7-3】某辆自行车（图1）放置地面（水平面）时，侧面示意图如图2所示，已知座椅、上管都平行于地面，下管的长为，后叉脚的长为，上下管的夹角为，座管与上管的夹角为、与后叉脚的夹角为，车座顶端到牙盘中心的距离为，车轮半径均为．（参考数据：，，，，，，） (1)求座管的长：（精确到） (2)求座椅到地面的距离．（精确到） 【答案】(1) (2)座椅到地面的距离为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． （1）过点作于点，先求出，再根据求解即可； （2）过点作，过点作于点，延长交于点，得到，且都平行于地面，推出，，，得到，求出，根据三角函数求出、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，， ， ， ； （2）如图，过点作，过点作于点，延长交于点， 座椅、上管都平行于地面， ，且都平行于地面， ，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 车轮半径均为， 座椅到地面的距离为． 1．在中，，如果，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据直角三角形中三角函数的定义，利用的正弦值求解斜边即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 3．为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 4．如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角，解本题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形．的延长线于点N，由题易可知知图中有两个直角三角形且，；由图中各角之间的关系可得，利用等角对等边还可进一步推出；设出该船的速度并表示出和的长，再在中表示出的长，利用路程、速度与时间的关系即可求解． 【详解】作的延长线于点N， 根据题意可得，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 设该船的速度为，则． ∵在中，， ∴， ∴该船继续匀速航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是， ∴游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为上午， 故选：B 5．某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坡度及坡角的知识，解题关键是理解“坡度坡角的正切值”．根据“坡度坡角的正切值”，据此直接解答即可． 【详解】解：设该斜坡的坡角为， 根据题意，斜坡的坡度， 即有， ∴坡角． 故选：D． 6．已知在中，，于点D，，，那么的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理求出的长，同角的余角相等，得到，进而求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．一架飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米. 【答案】 【分析】根据题意假设未知数列方程求解即可. 【详解】解：设此时飞机与该地面控制点之间的距离是x米,则依题意得： xsin60°=1200 解得：x= 即此时飞机与该地面控制点之间的距离是米, 【点睛】本题考查了三角函数的应用，灵活运用合适的三角函数列出方程是解题的关键. 8．如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为________米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点,设米，根据锐角三角函数的定义列出方程，解得，接着求出，再求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点, 由题意得：米，，， 设米， ∴米 在中，， ∴(米)， 在中，， ∴米， ∴, 解得:， ∴(米)，(米)， 在中，， ∴(米)， ∴(米)． 故答案为：． 9．一斜坡的坡角为，坡长比坡高多6米，那么斜坡的高为___________（用的锐角三角比表示）． 【答案】 【分析】设斜坡的高为米，由题意得坡长为米，根据题意得到坡长的表达式，利用锐角正弦的定义列方程求解即可． 【详解】解：设斜坡的高为米，由题意得坡长为米， 在直角三角形中，坡角为，直角为，根据锐角正弦的定义可得， 整理方程： ，解得． 10．如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2)点M与点N的高度差为 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 11．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽．如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西的方向上，沿河岸向西前行到达B处，又测得C在B的南偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（参考数据： ） 【答案】这条河的宽度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键．过点C作于D，设，证明为等腰直角三角形，得出，根据三角函数定义得出，即，求出x的值即可． 【详解】解：如图，过点C作于D． 设， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵在中，，，， ∴， 即， 解得． 答：这条河的宽度约为． 12．如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． (1)求的长． (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 【答案】(1)15.6米 (2)9秒 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）分别解，求出的长，进而求出的长即可； （2）分别解，求出的长，进而求出货车行驶的路程，利用时间等于路程除以速度进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； 在中，，， ∴； ∴（米）； （2）解：由题意，，， 在中，； 在中，， ∴厢式货车在监控范围内行驶的路程为（米）； ， ∴（秒）； 答：从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要9秒． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 解直角三角形 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 解直角三角形的相关计算 题型2 解非直角三角形 题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型4 仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 题型5 方位角问题（解直角三角形的应用） 题型6坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 题型7其他问题（解直角三角形的应用） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 解直角三角形、勾股定理、两锐角互余、边角关系、作高法、斜三角形转化、仰角、俯角、方位角、坡度（坡比）、坡角、测高问题、测宽问题、不规则图形面积 1. 理解解直角三角形的概念，掌握直角三角形三边、两锐角、边角三类基本关系，明确解直角三角形的前提条件（至少已知一条边长），能完成 “已知两边”“已知一边一锐角” 两类基础解直角三角形计算。 2.掌握非直角三角形的转化策略，能通过作高将等腰三角形、普通斜三角形分割为直角三角形，利用公共直角边建立等量关系，求解边长、角度与面积。 3. 理解仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等实际概念，能将测高、测宽、斜坡、方位等实际问题抽象为解直角三角形的数学模型，规范完成求解。 4. 能运用构造直角三角形的方法，解决不规则图形的边长与面积计算问题，提升数形结合与方程思想的应用能力。 5. 掌握解直角三角形近似计算的精确度规则，能按要求保留计算结果的小数位数。 学习重点：1.直角三角形的三类基本关系，常规解直角三角形的计算方法 2.斜三角形 “作高转化” 的解题思路，等腰三角形与普通三角形的直角化处理 3.仰角俯角、坡度坡比两类高频应用题型的模型构建与解题步骤 学习难点：1. 多直角三角形组合题型中公共边的建立与等量关系推导，方程思想的灵活运用 2. 实际应用问题中几何模型的抽象与角度、边长的准确对应 3. 非直角三角形（斜三角形）的辅助线构造与多步综合计算 4.方位角问题中角度的准确转化与图形构建 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01解直角三角形 在Rt 中，设 ，三条边和两个锐角五个元素满足三类关系： （1）三边之间的关系： ． （2）两锐角之间的关系： ． （3）边角之间的关系： 将关系式中的 换成 与 互换，即为 与边的关系式． 在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形． 由相似三角形的相关性质可知，解直角三角形至少需要知道一条边长． 在直角三角形除去直角外的五个元素中，只要已知两条边长或者一条边长与一个锐角，就可以求得其他所有角和边。 如无特别说明，在由正弦、余弦和正切的近似值确定相应锐角的大小时，可将该近似值保留四位小数．近似计算过程中，通常将中间运算的结果比规定的精确度多保留一位小数． 非直角三角形转化为解直角三角形的题型 1．等腰三角形：过顶点作底边垂线，分割成两个全等直角三角形，结合内角和、三角函数求解腰长、底角、底边长、面积． 2．普通斜三角形：过顶点作某条边上的高，分割成两个直角三角形，利用公共直角边建立等式，求解高与三角形面积． 在中，已知，那么的余切值为（    ） A． B． C． D． 如图，在△中，，,.则边的长为___________. 知识点02解直角三角形的应用 基础概念 仰角：水平线上方的视线与水平线所成的夹角． 坡度：斜坡垂直高度与水平距离的比值，一般写作 $1: m$ 的形式． 坡角：斜坡与水平地面的夹角． 常见应用场景 1．测高度（旗杆、建筑）：构造含仰角的直角三角形，水平距离为邻边，竖直高差为对边，结合测角仪高度求解总高度。 2．测宽度（河宽）：向三角形底边作高，高为所求宽度，利用两个直角三角形的底边和等于总长列方程求解高。 3．斜坡坡度、坡角计算：由斜坡总长、垂直高度，先用勾股定理求水平长度，再计算坡度，利用正切求坡角． 4．摆动类高差计算：由夹角拆分出直角三角形，用余弦求出水平线段长度，作差得到高低位置高度差． 如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）． 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 题型1 解直角三角形的相关计算 【例1】如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【例2】如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则_______． 【技巧归纳】 非直角三角形问题，通常过顶点作高构造直角三角形，结合三角函数定义与勾股定理分步求解。网格类题目可借助格点边长，按三角函数定义计算对应边的比值 易错点:作高位置选取不当易增加计算难度;网格中易数错格距，混淆对边与邻边的对应关系. 【变式1-1】如图，在四边形中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如果一个半径为的正多边形绕其中心旋转就可以与自身重合，那么该正多边形的边长为___．（可以使用锐角的三角比表示） 【变式1-3】在中，（是锐角），，那么的长为__________． 【变式1-4】已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 题型2 解非直角三角形 【例3】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【例4】在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___． 【技巧归纳】 解斜三角形通常过顶点作高，将图形分割为两个直角三角形，结合特殊角三角函数与勾股定理分步求解。求三角形面积可运用 公式． 易错点：作高位置选取不当会增加计算难度；面积公式易遗漏系数 ；需注意高在形内的常规情形． 【变式2-1】已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例5】如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 【例6】已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __． 【技巧归纳】 求解不规则图形，常作垂线构造直角三角形，将钝角转化为补角，结合坡度、三角函数与勾股定理分步推导边长。面积类问题先求对应高再计算。 易错点:坡度的边比关系易颠倒;钝角需先化锐角再用三角函数;参考数据选取与代入易出现偏差。 【变式3-1】如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为__cm2（结果保留根号）． 【变式3-2】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 题型4 仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 【例7】飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 【技巧归纳】 解仰角俯角类问题，先依据平行线内错角相等，将仰角或俯角转化为直角三角形的内角，再结合竖直高度、水平距离，用三角函数列关系式求解. 易错点:易混淆俯角对应的对边与邻边;未准确转化角度，误将仰俯角当作与竖直方向的夹角. 【变式4-1】如果在点处测得点的仰角为，那么在处测得点的（   ） A．仰角为 B．仰角为 C．俯角为 D．俯角为 【变式4-2】如果某飞机的飞行高度为，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机与地面控制点之间的距离为________．（用含字母的式子表示） 【变式4-3】如图1，为旗杆，测角仪高为米，利用测角仪在点处可测得旗杆顶的仰角为． (1)如果再用皮尺量得旗杆与测角仪底部的距离为米，求旗杆的高度．（用含字母及的式子表示） (2)如果只有上述测角仪，没有皮尺等其他的测量工具，如何测量与计算旗杆高度？（在图2中，画出测量示意图、标出需测量的数据，并说明测量的方法和计算旗杆高度．） 题型5 方位角问题（解直角三角形的应用） 【例9】如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【例10】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长）___________． 【技巧归纳】 解方位角问题，先以南北、东西方向线为基准构造直角三角形，将方位角转化为三角形内角，过目标点作垂线分割图形，结合三角函数与特殊角性质计算边长. 易错点:方位角的起始方向易判断失误，角度换算出错;辅助线构造后易混淆各角的数量关系，导致边比对应错误 【变式5-1】如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【变式5-2】如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长________．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 【变式5-3】如图，小岛A在港口P的南偏西方向上，一艘船从港口P沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西的方向上．小岛A离港口P有多少海里（精确到0.1海里）？（参考数据：，，） 题型6 坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 【例11】一传送带和地面所成斜坡的坡比为，如果要把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（    ） A．12米 B．13米 C．24米 D．26米 【例12】有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为_____米． 【技巧归纳】 坡度 为竖直高度与水平宽度的比，即 。已知坡比与竖直高度，先求水平宽度，再由勾股定理计算斜坡长度。 易错点：易颠倒坡比的前后项，混淆竖直高度与水平宽度；误将水平距离当作斜坡路程，需注意物体经过的路程对应斜边长度。 【变式6-1】如果斜坡的坡面的铅垂高度米，水平宽度米，那么斜坡的坡角为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】如图，某水库大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，那么迎水坡面的长度是_______米． 【变式6-3】某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 【变式6-4】如图，某建筑物上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅，王同学利用测倾仪在斜坡的底部处测得条幅底部的仰角为，沿斜坡走到处测得条幅顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米（点在同一平面内，，测倾仪器的高度忽略不计）．（参考数据：，，，） (1)求点到建筑物的距离； (2)条幅的长度约为多少米？ 题型7 其他问题（解直角三角形的应用） 【例13】如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例14】如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，这辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？______．（填“是”或“否”）（参考数据：，，） 【技巧归纳】 此类实际应用问题，先从场景中抽象出直角三角形模型，明确已知边与角的对应关系，选取适配的三角函数列式计算。判断类问题将计算结果与限定数值比较即可. 易错点:易选错三角函数类型，混淆对边与邻边;实际场景中垂直、平行关系转化失误，导致角度对应偏差. 【变式7-1】如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 【变式7-2】图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 【变式7-3】某辆自行车（图1）放置地面（水平面）时，侧面示意图如图2所示，已知座椅、上管都平行于地面，下管的长为，后叉脚的长为，上下管的夹角为，座管与上管的夹角为、与后叉脚的夹角为，车座顶端到牙盘中心的距离为，车轮半径均为．（参考数据：，，，，，，） (1)求座管的长：（精确到） (2)求座椅到地面的距离．（精确到） 1．在中，，如果，，那么等于（ ） A． B． C． D． 2．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 3．为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 5．某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（   ） A． B． C． D． 6．已知在中，，于点D，，，那么的值为_____． 7．一架飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米. 8．如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为________米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 9．一斜坡的坡角为，坡长比坡高多6米，那么斜坡的高为___________（用的锐角三角比表示）． 10．如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 11．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽．如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西的方向上，沿河岸向西前行到达B处，又测得C在B的南偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（参考数据： ） 12．如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． (1)求的长． (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $