专题05一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

专题05一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义 ·掌握一元二次方程三大判定条件：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2，能区分一元一次方程、分式方程、高次方程等易混淆方程。 ·牢记一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，准确区分二次项、一次项、常数项与对应系数，明确二次项系数a不能为 0 的关键限制；能将各类整式方程移项、整理成标准一般式。 ·理解一元二次方程根的定义，会代入数值检验根；已知方程的根，能整体代入求解参数、代数式的值；能根据面积、增长率等简单实际问题列出一元二次方程。 ·熟练掌握四种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，能识别不同方程适配的最优解法，理解解方程 “降次转化为一元一次方程” 的核心思想。 ·直接开平方法：会解x2=p、(mx+n)2=p型方程，能分p>0、p=0、p<0三种情况讨论根的个数。 ·因式分解法：熟练运用提公因式、平方差、完全平方公式分解方程左边，利用 “乘积为 0 则至少一个因式为 0” 快速求方程的根。 ·配方法：熟记完整配方步骤（移项→二次项系数化为 1→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方式→开方求解），理解配方构造完全平方式的原理。 ·自主推导并熟记求根公式\，掌握公式法标准解题流程：化为一般式→确定a、b、c→计算判别式→代入公式求根。 ·养成规范解题书写习惯，规避漏写双根、符号错误、配方漏加常数、忽略a≠0等高频计算与概念错误。 预习必备 知识梳理 1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程一般形式 3.一元二次方程的根 4.直接开平方法 5.因式分解法 6.配方法 7.公式法 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程一般式 3.由一元二次方程定义求参数 4.一元二次方程解的判定 5.由一元二次方程的解求参数 6.因式分解法 7.直接开平方法 8.配方法 9.配方法的应用 10.公式法解一元二次方程 11.换元法解一元二次方程 12.新定义运算题 加强题 解答题7题 知识点 1 一元二次方程定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 满足三个条件，缺一不可： 1 是整式方程（分母不含未知数、根号内不含未知数）； 2 只含有一个未知数； 3 未知数的最高次数是2。 反例辨析表 式子 是否一元二次方程 理由 3x2+2x=0 是 整式、一个未知数、最高次 2 2x+5=0 否 最高次数为 1，一元一次方程 x2+3y=1 否 含两个未知数 +x2=2 否 分母含未知数，分式方程 x3-x2=4 否 最高次数为 3 知识点 2 一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 代数式 名称 对应系数 要求 ax2 二次项 a (a≠0)，若(a=0)则变为一次方程 bx 一次项 b 可为 0 c 常数项 c 可为 0 整理一般式步骤 移项，把所有项移到等式左侧，右侧化为 0；按降幂顺序排列x2、x、常数。 例：2x(x-1)=3 展开：2x2-2x=3，移项得标准式：2x2-2x-3=0，a=2,b=-2,c=-3 特殊形式 知识点 3 一元二次方程的根（解） 1.定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。 2.两大应用 1 检验：将数值代入方程，左右相等即为根； 2 求参数：已知x=m是方程的根，把x=m代入，整体代换求字母参数或代数式的值。 例：若x=1是x2+kx-2=0的根，代入得1+k-2=0，解得k=1。 知识点 4 解法一：直接开平方法 适用两类方程 ① x2=p；② (mx+n)2=p（完全平方式等于常数） 根的分类讨论 p的取值 方程根的情况 p>0 两个不相等实数根：x= p=0 两个相等实数根：x1=x2=0 p<0 无实数根（平方不可能为负） 解题步骤：直接开平方→拆分两个一元一次方程→求解。 知识点 5 解法二：因式分解法 核心依据：若A B=0，则A=0或B=0， 适用：方程右边为 0，左边可因式分解 常用分解手段： 提公因式、平方差a2-b2=(a+b)(a-b)、完全平方a22ab+b2=(ab)2 标准步骤 1 移项，使方程右侧 = 0； 2 左侧因式分解； 3 令每个因式分别等于 0，解两个一次方程； 4 写出两根。 易错提醒：不可两边同除含未知数因式，容易丢根。 知识点 6 解法三：配方法 目的：将方程左边配成完全平方式，转化为可直接开平方的形式 通用完整步骤（ax2+bx+c=0,a≠0） 1 移项：常数项移到等号右侧 ax2+bx=-c； 2 化 1：两边同时除以二次项系数 x2+x=； 3 配方：等式两边同时加一次项系数一半的平方； 4 写成完全平方：(x+m)2=n； 5 开平方，分情况求解。 关键口诀：一次项系数对半，平方两边同加。 知识点 7解法四：公式法 求根公式推导：由配方法推导得出 对ax2+bx+c=0（a0）Δ=b2−4ac 时 2. 根的判别式 Δ=b2−4ac Δ取值 根的情况 Δ>0 两个不相等实数根 Δ=0 两个相等实数根 x1=x2=- Δ<0 无实数根 公式法解题流程 1 整理为标准一般式ax2+bx+c=0(a≠0)； 2 确定a、b、c（带符号）； 3 计算判别式Δ，判断有无实根； 4 Δ0时代入求根公式计算两根。 四种解法对比 & 选择技巧 解法 适用题型 优点 直接开平方法 (mx+n)2=p型 计算最快，步骤少 因式分解法 易分解、右边为 0 计算简便，优先选用 配方法 题目指定配方、推导公式 通用，为二次函数铺垫 公式法 所有一元二次方程 万能通用，计算量大 选择顺序：能开方 / 能分解优先，无特殊要求不用配方法，复杂方程用公式法。 知识点8高频易错汇总 错误类型 正确要求 配方只加一边常数 等式左右同时加一次项系数一半平方 公式代入漏负号 b为负数时，-b注意变号 判别式判断遗漏Δ<0无实根 计算完Δ先判断再求根 因式分解两边约去含x式子 必须移项使右侧为 0 再分解，防止丢根 开平方只写正根 正数开方有正负两个根 题型1.一元二次方程的定义 【典例】一元二次方程的一次项系数是_________． 【跟踪专练1】下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知是关于的一元二次方程，则方程中m的值为______． 【跟踪专练3】下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型2.化成一元二次方程一般式 【典例】把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【跟踪专练1】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【跟踪专练3】将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 题型3.由一元二次方程定义求参数 【典例】若关于的方程是一元二次方程，则________． 【跟踪专练1】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【跟踪专练3】已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 题型4.一元二次方程解的判定 【典例】已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【跟踪专练1】下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【跟踪专练2】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程： 的解是_______． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【跟踪专练3】若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 题型5.由一元二次方程的解求参数 【典例】一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【跟踪专练1】若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【跟踪专练3】已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 题型6.因式分解法 【典例】若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【跟踪专练1】已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是关于x的方程的一个根，则的值为________． 【跟踪专练3】若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 题型7.直接开平方法 【典例】方程解为_________． 【跟踪专练1】一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一元二次方程有一个根为，则的值为______． 【跟踪专练3】已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 题型8.配方法 【典例】用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【跟踪专练1】一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于的方程可以配方成，那么______． 【跟踪专练3】王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型9.配方法的应用 【典例】将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【跟踪专练1】若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．26 B． C．6 D． 【跟踪专练2】若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【跟踪专练3】把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 题型10.公式法解一元二次方程 【典例】．一元二次方程的根是___________． 【跟踪专练1】方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【跟踪专练2】已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【跟踪专练3】若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 题型11.换元法解一元二次方程 【典例】关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是_____． 【跟踪专练1】已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【跟踪专练2】若一元二次方程的两个根分别为，那么一元二次方程的根为____． 【跟踪专练3】小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型12.新定义运算题 【典例】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【跟踪专练1】新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 【跟踪专练2】对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【跟踪专练3】对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法计算 解答题 1．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2．解下列一元二次方程： (1) (2) 3．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 4．解方程： (1)； (2)． 5．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 6．为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 7．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义 ·掌握一元二次方程三大判定条件：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2，能区分一元一次方程、分式方程、高次方程等易混淆方程。 ·牢记一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，准确区分二次项、一次项、常数项与对应系数，明确二次项系数a不能为 0 的关键限制；能将各类整式方程移项、整理成标准一般式。 ·理解一元二次方程根的定义，会代入数值检验根；已知方程的根，能整体代入求解参数、代数式的值；能根据面积、增长率等简单实际问题列出一元二次方程。 ·熟练掌握四种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，能识别不同方程适配的最优解法，理解解方程 “降次转化为一元一次方程” 的核心思想。 ·直接开平方法：会解x2=p、(mx+n)2=p型方程，能分p>0、p=0、p<0三种情况讨论根的个数。 ·因式分解法：熟练运用提公因式、平方差、完全平方公式分解方程左边，利用 “乘积为 0 则至少一个因式为 0” 快速求方程的根。 ·配方法：熟记完整配方步骤（移项→二次项系数化为 1→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方式→开方求解），理解配方构造完全平方式的原理。 ·自主推导并熟记求根公式\，掌握公式法标准解题流程：化为一般式→确定a、b、c→计算判别式→代入公式求根。 ·养成规范解题书写习惯，规避漏写双根、符号错误、配方漏加常数、忽略a≠0等高频计算与概念错误。 预习必备 知识梳理 1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程一般形式 3.一元二次方程的根 4.直接开平方法 5.因式分解法 6.配方法 7.公式法 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程一般式 3.由一元二次方程定义求参数 4.一元二次方程解的判定 5.由一元二次方程的解求参数 6.因式分解法 7.直接开平方法 8.配方法 9.配方法的应用 10.公式法解一元二次方程 11.换元法解一元二次方程 12.新定义运算题 加强题 解答题7题 知识点 1 一元二次方程定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 满足三个条件，缺一不可： 1 是整式方程（分母不含未知数、根号内不含未知数）； 2 只含有一个未知数； 3 未知数的最高次数是2。 反例辨析表 式子 是否一元二次方程 理由 3x2+2x=0 是 整式、一个未知数、最高次 2 2x+5=0 否 最高次数为 1，一元一次方程 x2+3y=1 否 含两个未知数 +x2=2 否 分母含未知数，分式方程 x3-x2=4 否 最高次数为 3 知识点 2 一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 代数式 名称 对应系数 要求 ax2 二次项 a (a≠0)，若(a=0)则变为一次方程 bx 一次项 b 可为 0 c 常数项 c 可为 0 整理一般式步骤 移项，把所有项移到等式左侧，右侧化为 0；按降幂顺序排列x2、x、常数。 例：2x(x-1)=3 展开：2x2-2x=3，移项得标准式：2x2-2x-3=0，a=2,b=-2,c=-3 特殊形式 知识点 3 一元二次方程的根（解） 1.定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。 2.两大应用 1 检验：将数值代入方程，左右相等即为根； 2 求参数：已知x=m是方程的根，把x=m代入，整体代换求字母参数或代数式的值。 例：若x=1是x2+kx-2=0的根，代入得1+k-2=0，解得k=1。 知识点 4 解法一：直接开平方法 适用两类方程 ① x2=p；② (mx+n)2=p（完全平方式等于常数） 根的分类讨论 p的取值 方程根的情况 p>0 两个不相等实数根：x= p=0 两个相等实数根：x1=x2=0 p<0 无实数根（平方不可能为负） 解题步骤：直接开平方→拆分两个一元一次方程→求解。 知识点 5 解法二：因式分解法 核心依据：若A B=0，则A=0或B=0， 适用：方程右边为 0，左边可因式分解 常用分解手段： 提公因式、平方差a2-b2=(a+b)(a-b)、完全平方a22ab+b2=(ab)2 标准步骤 1 移项，使方程右侧 = 0； 2 左侧因式分解； 3 令每个因式分别等于 0，解两个一次方程； 4 写出两根。 易错提醒：不可两边同除含未知数因式，容易丢根。 知识点 6 解法三：配方法 目的：将方程左边配成完全平方式，转化为可直接开平方的形式 通用完整步骤（ax2+bx+c=0,a≠0） 1 移项：常数项移到等号右侧 ax2+bx=-c； 2 化 1：两边同时除以二次项系数 x2+x=； 3 配方：等式两边同时加一次项系数一半的平方； 4 写成完全平方：(x+m)2=n； 5 开平方，分情况求解。 关键口诀：一次项系数对半，平方两边同加。 知识点 7解法四：公式法 求根公式推导：由配方法推导得出 对ax2+bx+c=0（a0）Δ=b2−4ac 时 2. 根的判别式 Δ=b2−4ac Δ取值 根的情况 Δ>0 两个不相等实数根 Δ=0 两个相等实数根 x1=x2=- Δ<0 无实数根 公式法解题流程 1 整理为标准一般式ax2+bx+c=0(a≠0)； 2 确定a、b、c（带符号）； 3 计算判别式Δ，判断有无实根； 4 Δ0时代入求根公式计算两根。 四种解法对比 & 选择技巧 解法 适用题型 优点 直接开平方法 (mx+n)2=p型 计算最快，步骤少 因式分解法 易分解、右边为 0 计算简便，优先选用 配方法 题目指定配方、推导公式 通用，为二次函数铺垫 公式法 所有一元二次方程 万能通用，计算量大 选择顺序：能开方 / 能分解优先，无特殊要求不用配方法，复杂方程用公式法。 知识点8高频易错汇总 错误类型 正确要求 配方只加一边常数 等式左右同时加一次项系数一半平方 公式代入漏负号 b为负数时，-b注意变号 判别式判断遗漏Δ<0无实根 计算完Δ先判断再求根 因式分解两边约去含x式子 必须移项使右侧为 0 再分解，防止丢根 开平方只写正根 正数开方有正负两个根 题型1.一元二次方程的定义 【典例】一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 【跟踪专练1】下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 【跟踪专练2】已知是关于的一元二次方程，则方程中m的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零，由此列出条件求解． 【详解】由于方程是关于 的一元二次方程，则 的最高指数 ，且二次项系数 ， 解 ，得 ，即 ， 当 时，，二次项系数为零，不符合条件， 当 时，，符合条件， 故 ， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 题型2.化成一元二次方程一般式 【典例】把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 【跟踪专练1】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 【跟踪专练3】将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 题型3.由一元二次方程定义求参数 【典例】若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 【跟踪专练1】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 【跟踪专练2】关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 【跟踪专练3】已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为，且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 由得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， ． 故选：B． 题型4.一元二次方程解的判定 【典例】已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ． 【跟踪专练1】下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 【跟踪专练2】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程： 的解是_______． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是正确理解方程的解是使方程左右两边相等的x的值；先把一元二次方程变形，进而即可得到答案； 【详解】解：， 变形可得：， 根据表格可知∶当或时，， ∴的解为， 即的解是； 故答案为：． 【跟踪专练3】若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 题型5.由一元二次方程的解求参数 【典例】一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得． 【跟踪专练1】若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 【跟踪专练3】已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 【详解】解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 题型6.因式分解法 【典例】若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 【跟踪专练1】已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 【跟踪专练2】若是关于x的方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入方程，对等式左边因式分解，结合的条件，即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴把代入方程得， 整理得：， ∵， ∴，即． 【跟踪专练3】若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 题型7.直接开平方法 【典例】方程解为_________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 【跟踪专练1】一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，通过移项、系数化为1后开平方即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得 故选：C． 【跟踪专练2】已知一元二次方程有一个根为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，熟练掌握相关运算方法是解本题的关键．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 题型8.配方法 【典例】用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【答案】 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 【跟踪专练1】一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 【跟踪专练2】若关于的方程可以配方成，那么______． 【答案】1 【分析】先将方程配方得，再结合题意求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解： ， 又∵关于的方程可以配方成， ∴，， ∴， ∴． 【跟踪专练3】王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 题型9.配方法的应用 【典例】将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 【跟踪专练1】若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．26 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用与代数式求值，掌握配方法转化一元二次方程的步骤是解题关键．先配方得出，从而得出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵配方时需加上一次项系数一半的平方，即， ∴方程两边同时加25，得， ∴， 对比的形式，得，， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 【跟踪专练3】把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 题型10.公式法解一元二次方程 【典例】．一元二次方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；对于一元二次方程，由于无法直接因式分解，采用求根公式求解，先计算判别式，再代入公式求解即可． 【详解】解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【跟踪专练1】方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 【跟踪专练2】已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【答案】 或 【详解】解：（1）当时， 或， 解得：或； （2）当时，整理，得， ， ∴， ∴. 【跟踪专练3】若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 题型11.换元法解一元二次方程 【典例】关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：∵关于的方程的解是，均为常数，， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】利用换元法，将新方程中的看作整体，对应原方程的，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解． 【详解】解：令，则方程可变形为， 关于的方程的解为， ， 即或， 解得或， 方程的解是． 【跟踪专练2】若一元二次方程的两个根分别为，那么一元二次方程的根为____． 【答案】或 【分析】把一元二次方程变形为，将看成一个新的未知数，则关于的方程的解等于关于x的一元二次方程的解，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ∵一元二次方程的两个根分别为， ∴关于的方程两个根分别为，， 解得：，． 【跟踪专练3】小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 题型12.新定义运算题 【典例】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 【跟踪专练1】新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 【答案】或 【分析】先根据新定义，比较与的大小，得到的值，再将等式整理为一元二次方程，求解得到的值． 【详解】解：， ， 根据新定义运算：当时，， 可得， 由题意得：， 整理得：， 因式分解：， 解得：，． 【跟踪专练2】对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故方程根为． 故选：C． 【跟踪专练3】对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：根据题意得，， ， ， 或， 所以． 故选：C． 解答题 1．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可． 【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 9 4 1 2 2．解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 可得：，， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， 解得：，． 3．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用配方法解一元二次方程即可； （）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴，； （2）解： 或， ∴，． 5．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 6．为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，将原方程转化为，然后利用因式分解法求出或，然后分别判断求解即可； （2）设，将转化为，然后求解判断即可． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 7．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $