第10讲 一元二次方程判别式、根与系数关系（2知识点+3大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第10讲 一元二次方程判别式、根与系数关系 （2知识点+3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点02：根与系数的关系的定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 【题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1-1】不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】 【解析】（1），，，，方程有两不等实根； （2） ，，，，方程无实数根； （3） ，，，，方程有两相等实根； （4），，，，方程有两不等实根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意、异号时则必有两不等实根． 【例1-2】（24-25八年级上·上海·期中）下列一元二次方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； B、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； C、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； D、 对于方程，其判别式，该方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 【例1-3】如果是实数，且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何? 【答案】方程无实根．【答案】【答案】 【解析】由的解集是，可知，即， 对一元二次方程而言，其中，，， 则，时，恒成立， 由此可知方程无实数根． 【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其值确定相关方程根的情况． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于x的方程 根的情况是 （　　） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程一定有两个实数根 D．方程可能没有实数根 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：原方程化为一般式得， ∴ ， ∴原方程一定有两个实数根， 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级上·上海·期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．用根的判别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，本选项符合题意； B、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程实有两个相等的实数根，本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把原方程整理成一般形式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式1-4】已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 【题型2根据一元二次方程根的情况求参数】 【例2-1】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，分方程是一元一次方程， 一元二次方程两种情况求解作答即可． 【详解】解：当方程是一元一次方程，且有实数根时，， ∴， 解得，； 当方程是一元二次方程时，且有实数根时， ∴，， 解得，且； 综上所述，； 故选：A． 【例2-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出的值是解题的关键．由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于的方程，解之即可得出的值． 【详解】解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：2． 【例2-3】当取何值时，关于的方程， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】对此方程，，，，则 ，由此可知， （1）当，即时，方程有两个不相等的实数根； （2）当，即时，方程有两两个相等的实数根； （3）当，即时，方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论． 【例2-4】已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】且．【答案】【答案】 【解析】由原方程是一元二次方程，可知，即；对此方程， 其中，，，方程有实根，则必有： ，可解得； 即的取值范围为且． 【总结】对于形如的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 【答案】2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解∶根据题意得 解得 即当时，关于x的方程有两个相等的实数根． 故答案为：2． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出的取值范围． 【详解】解：要使有两个不相等的实数根， 则， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围为且. 【变式2-4】（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得且，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：且， ∴且 ∴且， ∴m的取值范围是：且． 【题型3 一元二次方程的根与系数的关系】 【例3-1】写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积 （1），________；________； （2）， ________；________． 【难度】★ 【答案】（1）3，1；（2），【答案】【答案】． 【解析】（1），，，根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，； （2），，，根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，； 【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的、、值即可快速得到结果． 【例3-2】已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），．【答案】【答案】 【解析】（1）根据韦达定理，可得，，可得，； （2）根据韦达定理，可得，，可得，． 【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量． 【例3-3】设是方程的两个根，求的值． 【答案】【答案】【答案】． 【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足，， 由此． 【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算． 【例3-4】已知方程的两个实根的平方和为，求的值； 【答案】【答案】【答案】． 【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足，，依题意有 ，即，整理即得，解得：，；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在时成立， 综上所述，可得． 【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足． 【例3-5】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）等腰三角形的三边长为，已知，且是关于的方程的两个根，求的值，并求出这个三角形的周长． 【答案】，三角形周长为8． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】根据根与系数关系定理，得，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系．掌握一元二次方程的解法和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的两个根， ∴， ∵等腰三角形的三边长为，且， 当时， ∴， 解得， ∵， 故构不成三角形，不符合题意； 当时， ∴， 解得， ∵， 故构不成三角形，不符合题意； 当时， ∴， 解得， ∵， 故构成三角形，符合题意； 故三角形的周长为：， 综上所述，，三角形周长为8． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海·期中）关于的方程的两个根均为正整数，且，则这个方程的两根之和为 ． 【答案】2020 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，可以写出两根和与两根积，再由两根是正整数及，利用提公因式法因式分解可以确定方程的两个根，进而可得两根之和． 【详解】解：设，是方程的两个根，则①，②， 由②①得：， ∵， ， ， ， 即， 两根均为正整数， ，或，， 方程的两个根是：，或，， ∴两根之和为． 故答案为：2020． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海·期中）若、是两个不相等的素数，且，那么的值为 ． 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、已知字母的值 ，求代数式的值、异分母分式加减法 【分析】由题意得、是方程的两个根，则，由、是两个不相等的素数确定出或，继而代入求解即可． 【详解】解：由题意得、是方程的两个根， ∴， ∵、是两个不相等的素数， ∴或， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，素数的概念，分式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海·期中）设、是方程的两个有理根，已知，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟练掌握相关计算公式是解题的关键； 若一元二次方程（、、为常数，）的两根为、，则，，根据相关计算公式求解即可． 【详解】解：、是方程的两个有理根， ，， ， ，， 解得：，， ，， ， 故答案为： 【变式3-4】（24-25八年级上·上海·期中）已知等腰的三条边长分别是a、b、c，其中，b和c是关于x的方程的两根． (1)求m的值： (2)求等腰三角形的周长． 【答案】(1)24或25 (2)14 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由一元二次方程根与系数的关系可得，，分为腰长和底边长两种情况，分别求出相应的m的值，继而利用三角形三边关系进行验证后即可得答案； （2）由（1）得到为腰长时，三角形三边分别为4，4，6和为底边长时，三角形三边分别为4，5，5，进而分别求解即可． 【详解】（1）解：∵、是关于的方程的两个根， ∴，， ∴当为腰长时，，（或，）， ∴此时； ∵，故4，4，6可组成三角形， ∴符合题意； 当为底边长时， ∵，， ∴， ∴， ∵，故4，5，5可组成三角形， ∴符合题意， 综上所述，m的值为24或25； （2）解：由（1）得，当为腰长时，三角形三边分别为4，4，6， ∴周长为； 当为底边长时，三角形三边分别为4，5，5， ∴周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为14． 【变式3-5】（24-25八年级上·上海·阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么．例如：已知方程的两根分别是，则：． 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： (1)已知方程的两根分别是，求和的值； (2)已知方程的两根分别是，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握如果一元二次方程程的两个根分别是，那么是解题的关键． （1）直接根据公式求解即可； （2）先化为一般式，将化为，再求出值，代入即可． 【详解】（1）解：， 则； （2）解： ， 则， 而， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如果关于的方程无实数根，那么满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，平方数的非负性；掌握平方数的非负性是解题的关键．根据任意实数的平方为非负数得到关于参数的不等式，求解即可． 【详解】解：， 当时，方程无解． ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列关于的方程中，有两个实数根的是（   ） A． B． C． D．（为常数） 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元一次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个实数根，故A符合题意； B、， 方程没有实数根，故B不符合题意； C、由，得， ∵， ∴方程没有实数根，故C不符合题意； D、， 当时，方程没有实数根，故D不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程没有实数根，那么在下列各数中，的取值只能是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，根据关于的方程没有实数根，得出，得，即可作答． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， ∴， 观察4个选项，唯有2符合条件， 故选：A． 4．（24-25八年级上·上海·期中）以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关计算公式是解题的关键； 以，，为根的一元二次方程的形式为，根据这个公式代入即可求解； 【详解】解：， ， 关于的方程的两根的相反数为根， 则应满足，， A、中，，，符合题意； B、中，，，不符合题意； C、中，，，不符合题意； D、中，，，不符合题意； 故选：A 5．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知方程的两个根都是整数，则k的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，可以把分解成几个因数的积的形式，然后利用根与系数的关系就可以确定的值，掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程的两个根都是整数， ∴， ∴，则， ，则， ，则， ，则， ∴k的值有个， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 7．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数、满足，，则 ． 【答案】或2 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、异分母分式加减法、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的加法、运用完全平方公式求值，若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． 先利用根与系数的关系得，，再利用分式加法的计算法则计算即可． 【详解】解：由题意可知，当时，实数、是一元二次方程的两个实数根， 满足， ， 当时，， 故答案为：或2． 9．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）若，，且，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据题意，得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系解答即可． 本题考查了构造一元二次方程解题，根与系数的关系的应用，正确构造方程，活用根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知是等腰的三条边长，其中，如果是关于的一元二次方程的两个根，则n的值是 ． 【答案】9 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 由是关于的一元二次方程的两个根，可得，由等边三角形的性质，三角形三边关系可得，然后求解作答即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵是等腰的三条边长，其中， ∴当时，，此时不能构成三角形，舍去； 当时，，此时不能构成三角形，舍去； 当时，能构成三角形，， 故答案为：9． 11．（24-25八年级上·上海·期中）若方程的两根之差的平方为48，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式，解题关键是牢记公司，本题根据以上知识，将变形为即可求解． 【详解】解：设方程的两个根分别为，， 由题意得， ∵， ∴， ∴， 此时符合题意； 故答案为： ． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于的方程的两个根为，，那么关于的方程的两个根为 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，先利用根与系数的关系得到，，则，，所以关于y的方程化为，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵关于x的方程的两个根为，， ∴，， ∴，， ∴关于y的方程化为， 即， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【答案】或 【知识点】换元法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 由题意得所以，代入得到，换元解方程即可． 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根， 所以． 又因为， 所以， 解得， 经检验，两根都是原方程的解，且满足， 所以k的值为或． 故答案为：或． 14．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】（1）（3） 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了新定义方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程，再求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （3）由，解得，，由方程是“倍根方程”，得到，，即可求解； （4）把代入原方程中，求解即可判断． 【详解】解：（1）当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”， 当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”，故（1）符合题意； （2）方程， 解得：，， ∴方程不是“倍根方程”，故（2）不符合题意； （3）， ∴，， ∵方程是“倍根方程”， ∴或， ∴，， ∴，故（3）符合题意； （4）∵，， ∴方程， ∴， ∴，， ∴不是“倍根方程”，故（4）不符合题意； ∴符合题意的有（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 三、解答题 15．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义．根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，，以及二次项系数不为0，建立式子，求出m的取值范围即可． 【详解】解： . 方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得， 综上所述，m的取值范围为且． 16．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于x的方程的两个实数根为、，且，求k的值． 【答案】0或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，，利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，解得且，再利用根与系数的关系得到，所以当时，利用判别式的意义得到；当时，，然后分别解方程得到k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 关于x的方程的两个实数根为、， ， ， 或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，k的值为0或 17．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）关于的方程，为实数． (1)此方程一定有实数根吗？为什么？ (2)当时，方程有两个相等的实数根，求这两个根． 【答案】(1)此方程一定有实数根，理由见详解 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据方程的，即可作答． （2）先把代入，得，结合方程有两个相等的实数根，求出，再运用因式分解法解方程，即可作答． 本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：此方程一定有实数根，理由如下： ∵， ∴ ∴此方程一定有实数根 （2）解：把代入， 得， ∵当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 【答案】(1)， (2) (3)3 (4)34 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据方程的两个根为，，可得，； （2）根据方程的两个根为，，，代入即可； （3）由题意得，等式变形代入即可； （4）根据一元二次方程根的定义得到，，则原式，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：， （2）∵， ∴ 故答案为： （3）方程的两个根为，， ， 即， 故答案为：3 （4）方程的两个根为，， ，， 即，， 原式 ， 原式． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程根的定义． 19．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【答案】(1) (2)、 (3)，详见解析 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点， （1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小明同学的求解即可； （3）由根与系数的关系，可得，，，代入即可证出，可设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、； （3）∵三次方程的三个根分别为、、，且， ∴由根与系数的关系，可得，，， ∴， 由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴新方程为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 一元二次方程判别式、根与系数关系 （2知识点+3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点02：根与系数的关系的定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 【题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1-1】不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例1-2】（24-25八年级上·上海·期中）下列一元二次方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【例1-3】如果是实数，且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何? 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于x的方程 根的情况是 （　　） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程一定有两个实数根 D．方程可能没有实数根 【变式1-2】（23-24八年级上·上海·期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【变式1-4】已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【题型2根据一元二次方程根的情况求参数】 【例2-1】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 【例2-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为 ． 【例2-3】当取何值时，关于的方程， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【例2-4】已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 【变式2-4】（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【题型3 一元二次方程的根与系数的关系】 【例3-1】写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积 （1），________；________； （2）， ________；________． 【例3-2】已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值． （1）； （2）． 【例3-3】设是方程的两个根，求的值． 【例3-4】已知方程的两个实根的平方和为，求的值； 【例3-5】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）等腰三角形的三边长为，已知，且是关于的方程的两个根，求的值，并求出这个三角形的周长． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海·期中）关于的方程的两个根均为正整数，且，则这个方程的两根之和为 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海·期中）若、是两个不相等的素数，且，那么的值为 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海·期中）设、是方程的两个有理根，已知，那么的值为 ． 【变式3-4】（24-25八年级上·上海·期中）已知等腰的三条边长分别是a、b、c，其中，b和c是关于x的方程的两根． (1)求m的值： (2)求等腰三角形的周长． 【变式3-5】（24-25八年级上·上海·阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么．例如：已知方程的两根分别是，则：． 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： (1)已知方程的两根分别是，求和的值； (2)已知方程的两根分别是，求的值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如果关于的方程无实数根，那么满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列关于的方程中，有两个实数根的是（   ） A． B． C． D．（为常数） 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程没有实数根，那么在下列各数中，的取值只能是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 4．（24-25八年级上·上海·期中）以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知方程的两个根都是整数，则k的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 二、填空题 6．（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 7．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数、满足，，则 ． 9．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）若，，且，则 ． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知是等腰的三条边长，其中，如果是关于的一元二次方程的两个根，则n的值是 ． 11．（24-25八年级上·上海·期中）若方程的两根之差的平方为48，则的值为 ． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于的方程的两个根为，，那么关于的方程的两个根为 ． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 14．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 三、解答题 15．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 16．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于x的方程的两个实数根为、，且，求k的值． 17．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）关于的方程，为实数． (1)此方程一定有实数根吗？为什么？ (2)当时，方程有两个相等的实数根，求这两个根． 18．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 19．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$