暑期预习讲义（第5讲）——有理数混合运算与科学记数法（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年七年级数学上册（苏科版 ）

暑期预习讲义（第5讲）——有理数混合运算与科学记数法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2. 课前课本自主预习填空 1 二.教材知识梳理与解读 2 【知识点一】有理数混合运算 2 【知识点二】科学记数法 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】科学记数法 3 【题型 2】科学记数法还原原数 5 【题型 3】有理数基础混合运算 6 【题型 4】含括号有理数混合运算 8 【题型 5】含乘方有理数基础混合运算 10 四.经典题型精析（巩固提升） 12 【题型 6】含乘方的有理数混合运算 12 【题型 7】有理数混合运算的应用 16 五.同步自测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 26 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）牢记有理数混合运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内 （2）攻克多层括号、符号复杂的综合运算题 （3）掌握科学记数法的表示、还原，理解近似数与有效数字 （4）重难点：复杂混合运算零失误、科学记数法易错位数问题 2. 课前课本自主预习填空 （1）有理数运算包括_______、_______、_______、_______、_______五种基本运算。 （2）有理数混合运算的优先级：先算________，再算________，最后算________；有括号的先算________，再算________，最后算________。 （3）同级运算（只有加减或只有乘除），按照________的顺序依次计算。 （4）乘法运算律：乘法交换律________、乘法结合律________、乘法分配律________。 （5）乘方运算注意：负数的奇次幂是________，负数的偶次幂是________；0的任何正整数次幂都是________。 （6）去括号法则：括号前是“+”，去括号后括号内各项符号________；括号前是“-”，去括号后括号内各项符号________。 （7）把一个大于10的数表示成________的形式（其中1≤|a|<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 答案：（1）加、减、乘、除、乘方； （2）乘方；乘除；加减；小括号；中括号；大括号； （3）从左到右；（4）；；； （5）负数；正数；0；（6）不变；改变（变号）；（7） 二.教材知识梳理与解读 【知识点一】有理数混合运算 一、核心运算基础回顾 有理数运算包含五种基础运算：加法、减法、乘法、除法、乘方，所有混合运算均基于基础运算法则。 1. 基础运算法则精简回顾 （1）加减运算：减去一个数，等于加上这个数的相反数，统一转化为加法运算。 （2）乘除运算：同号得正，异号得负，绝对值相乘除；0不能作为除数。 （3）乘方运算： 表示n个a相乘，正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正，0的正整数次幂为0。 2. 有理数混合运算顺序（重中之重）:运算优先级从高到低：乘方 → 乘除 → 加减 完整运算规则： （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）有括号的先算括号内的运算，括号顺序：小括号→中括号→大括号； （3）同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算； （4）可灵活运用运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）简化计算。 二、常见易错点预警 （1） 和。（先算乘方再取负），（整体平方）。 （2）带括号运算漏算、越级运算，未遵循先括号后乘方的顺序。 （3）乘除混合运算随意结合，符号判断错误。 （4）分数、小数混合运算不统一形式，计算繁琐出错。 【知识点二】科学记数法 一、定义与标准形式 在生活和数学计算中，会遇到极大的数（如人口、光速、天体距离），书写和计算不便，因此使用科学记数法简化表示。 科学记数法定义：把一个大于10的数表示成 的形式。 核心要求：(1)（a是整数位只有一位的数）；n为正整数。 二、n的取值规律（核心考点） 对于大于10的数：n = 原数的整数位数 - 1 三、双向转换方法 1. 原数 → 科学记数法:①确定a：将原数的小数点向左移动，直到整数位只有1位；②确定n：小数点移动的位数即为n的值。 2. 科学记数法 → 原数:将a的小数点向右移动n位，位数不足补0。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】科学记数法 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1）2900亿； （2）千万． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟知科学记数法的表现形式是解题的关键． （1）（2）科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可得到答案． 解：（1）解：2900亿； （2）解：千万． 【变式1】（25-26八年级下·云南昭通·期末）昭通市2026年五一期间，全市接待游客总量达到1919000人次，将1919000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：． 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示为________________． 【答案】 解：27亿． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数或还原用科学记数法表示的数． （1） ； （2） ； （3）亿 ； （4） ； （5） ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）120000；（5） 【分析】本题考查科学记数法—原数，科学记数法—表示较大的数，解题的关键是正确运算． （1）确定其小数点向左移动的数位即可得到结果； （2）确定其小数点向左移动的数位即可得到结果； （3）确定其小数点向左移动的数位即可得到结果； （4）结合科学记数法所表示数的指数，再确定其小数点向右移动的数位即可得到原数； （5）结合科学记数法所表示数的指数，再确定其小数点向右移动的数位即可得到原数． 解：（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：亿； 故答案为： （4）解：； 故答案为：120000 （5）解：． 故答案为： 【题型 2】科学记数法还原原数 【例题2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ． 【答案】10000000，4000，8500000，704000，39600000 【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法，熟练掌握其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得的数是解题的关键．据此即可求解． 解：； ； ； ； ． 【变式1】（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）一个数用科学记数法表示为，则这个数是___________亿． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数， 科学记数法表示的数需转换为常规数字，再根据亿的定义进行单位换算． 解：科学记数法表示60000000， 1亿， 因此． 故答案为：0.6． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ． 【答案】，，， 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定a的值以及n的值是解题的关键． 科学记数法的标准形式为（，n为整数），将a的小数点向右移动n位即可恢复原数． 解：； ； ； ． 【题型 3】有理数基础混合运算 【例题3】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的乘除法则计算即可； （2）先算括号，再算除法即可． 解：（1）解：． （2）解：． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·开学考试）定义，例如，则_______． 【答案】 解：由题意，． 【变式3】（25-26七年级上·江西宜春·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）先根据乘法分配律计算，再算加减法即可； （2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可． 解：（1）解：原式 ； （2） 【题型 4】含括号有理数混合运算 【例题4】（2025七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： （1） （2）； （3）； （4）． （5）． 【答案】（1）9；（2）27；（3）11；（4）；（5）7 【分析】本题考查了有理数四则运算，掌握其运算方法是解题关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式化为假分数再计算即可得到结果； （3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （5）原式化为假分数再利用乘法分配律，计算即可得到结果． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式， ， ， ． （5）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐个进行计算，即可解答． 解：A、，故A计算正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C计算正确，不符合题意； D、，故D计算错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）规定一种数学运算：，那么______． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法． 根据运算定义，将 和代入公式进行计算即可． 解：∵ ∴ 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·河南南阳·期中）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（）利用乘法分配律计算即可； （）先把除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 5】含乘方有理数基础混合运算 【例题5】（23-24七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】第一题涉及有理数乘法分配律的计算；第二题涉及到乘方的计算和绝对值的计算． 解：（1） （2） 【变式1】（23-24七年级上·四川甘孜·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值、有理数乘方以及四则运算的法则逐项计算即可． 解：A、，运算正确，不符合题意； B、，运算正确，不符合题意； C、，，运算错误，符合题意； D、，运算正确，不符合题意； 【变式2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 解：由题意得， ∴输出的值是7． 【变式3】（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方、小括号内的减法，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后计算减法即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】含乘方的有理数混合运算 【例题6】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）22；（2）；（3）9；（4）；（5） 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）要使算式的计算结果最大，则在“”里填入的运算符号应是（   ） A．+ B．－ C． D．÷ 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算和的值，然后分别代入四种运算，比较结果大小，最大结果对应的运算符号即为答案． 解：，， 则算式为． 分别计算：，，，， ∵， ∴计算结果最大为， 对应运算符号为． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图是一个有理数混合运算的流程图．例：当的值为，的值为，输入的值为2时，根据流程图可列式为，，符合输出条件，输出结果为．依照此流程，当的值为，的值为6，输入的值为8时，最终输出的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算与流程图，理解流程图的含义，掌握有理数的混合运算法则是关键． 根据题意，分别代入列式，结合有理数的混合运算法则即可求解． 解：当的值为，的值为6， ∴第一次计算： ， ∵， ∴第二次计算： ， 故答案为： ． 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【题型 7】有理数混合运算的应用 【例题7】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． （1）若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； （2）若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 解：（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，则第次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序题型，有理数的加法和乘法运算，周期规律的探索，解题的关键是找出周期规律．根据流程图进行计算，再发现规律从第三次开始，第奇数次输出的结果是，第偶数次输出的结果是，即可求出答案． 解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， ， ∴从第三次开始，第奇数次输出的结果是，第偶数次输出的结果是， ∵是奇数， ∴第次输出的结果为． 故选：B． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 解：依题意可得（答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：①___________； ②___________．（计算出最终结果） 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、有理数的混合运算及列代数式，能根据所给图形发现规律是解题的关键． （1）根据所给图形，利用数形结合的数学思想得出，…，据此可解决问题． （2）将原式变形为，再把变形为，再结合（1）的结论即可解答． 解：（1）由所给图形得： ； ； ⋯； 所以，； （2） ． 故答案为：；． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）仲夏端阳，楚韵悠长．这个端午假期，长沙文旅市场热度攀升．据手机信令大数据建模分析，长沙3天共接待游客约为4810000人次，将数据4810000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 解：，，且， 是的倍． 3．（25-26六年级下·上海·期中）下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：选项A：，结果为负数； 选项B：，结果为正数； 选项C：，结果为正数； 选项D：，结果为正数． 4．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据有理数乘方和乘法的运算法则，分别计算每个选项中两个式子的值，再比较是否相等即可． 解：，， ，该选项符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； 综上，答案选A． 5．（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，原式先计算乘方、再计算乘法、最后进行加减运算即可. 解： ． 故选：C． 6．（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算法则是解题的关键；先计算乘方和乘法，再计算加法，注意负数的奇数次幂为负，正数乘负数为负． 解： ． 故选：D． 7．（25-26七年级上·浙江温州·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则逐项分析即可得出结果，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键． 解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 8．（25-26七年级上·河南开封·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解． 解：∵， ∴， 故选：A． 9．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入a为1，则输出的结果是（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序框图与代数式求值、有理数的乘方，理解程序框图的计算过程是解题的关键．由程序框图得，输入数a后的计算过程为，再判断结果是否小于，据此即可解答． 解：由程序框图得， 输入数a后的计算过程为， 若输入的数a为1，则计算结果为， ， 需要再重复一次计算过程， 若输入的数a为，则计算结果为， ， 则输出的结果是， 故选：B． 10．（25-26七年级上·河南安阳·期中）把八卦符号看作表示二进制数时，阴爻“”对应数字0，阳爻“”对应数字1，例如：“表示的二进制数为，转换为十进制数是．将“”依次转换为十进制数，得到一个三位数，则这个三位数是（    ） A．134 B．471 C．745 D．713 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘方的应用，根据题意先转化成二进制数，然后再转化成十进制数即可得出答案． 解： 解：分别表示二进制数，，，转化成十进制数是， 转化成十进制数是， 转化成十进制数是， 故这个数是745， 故选C （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·全国·期末）用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示的数变回原数，科学记数法指把一个数写成（其中 ，为整数）的形式，据此解答即可． 解：， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，首先负数的奇次幂是负数，其次符号不同的两个数相加，符号取绝对值较大的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． 解： 13．（2026·安徽淮北·二模）计算：________． 【答案】0 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 解： ． 14．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算法则是解题的关键，先计算乘方运算，再根据有理数减法法则将减法转化为加法，最后根据有理数加法法则进行计算即可． 解：原式，故答案为：． 15．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： （1）______； （2）______． 【答案】 15 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据有理数的减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘方和有理数的减法可以解答本题． 解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为： 16．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）定义新运算：，例如，则的结果是__________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，根据运算规则，先计算内层运算，再计算外层运算． 解：∵， ∴， ， 故答案为：． 17．（25-26七年级下·河南新乡·期末）八卦是我国古代的计数符号，可以用它来表示二进制数，其中“”表示0，“”表示1，符号“”表示的二进制数为，则它对应的十进制数为：（注：）．类似的，符号“”表示的二进制数对应的十进制数为__________． 【答案】9 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．根据题意列式计算即可． 解： 解：由题意可得：符号“”表示的二进制数为， 二进制数对应的十进制数为． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·北京·阶段检测）（1）算式的值为______． （2）观察下列各算式：，，，，，，通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】 7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字类的变化规律． （1）先计算乘方和乘法，再根据乘法分配律计算即可； （2）通过观察可知每4次运算的个位数字循环一次，则的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 解：（1） （2）由题意可知，，，，，，的个位数字，每4个是一组循环， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为4，且 ∴的个位数字是7， 故答案为：7． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】第一题涉及有理数乘法分配律的计算；第二题涉及到乘方的计算和绝对值的计算． 解：（1） （2） 20.（本小题满分8分）（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 21.（本小题满分10分）（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，绝对值，有理数的乘法运算律，有理数的除法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． （2）先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 22.（本小题满分10分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 23.（本小题满分10分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）15 解：（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 24.（本小题满分12分）（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【探索发现】 （1）如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推．则阴影部分的面积是___________； 【问题解决】 （2）请你借助图1，评算的值； 【拓展应用】 （3）①请你利用图2，设计一个图形，并计算：的值； ②运用你上面的结论，利用图3，试求：的值． 【答案】（1）；（2），（3） 【分析】本题考查的是数形结合的应用，规律探究． （1）结合图形即可求解． （2）设计一个边长为的正方形，将其分成三等份，取其中的两份，这部分的面积为，然后将剩下的分成三等份，取其中的两份，这部分的面积是，…以此类推，即可求解． （3）设计一个边长为的正方形，将其分成四等份，取其中的三份，这部分的面积为，然后将剩下的分成四等份，取其中的三份，这部分的面积是，…以此类推，即可求解． 解：（1）根据图形可得： ； （2）如图， ①的面积为，②的面积为，③的面积为， ④的面积为：，⑤的面积为， ⑥的面积为： ∴． （3）如图，设计一个边长为的正方形，将其分成四等份，取其中的三份，①的面积为，对应的剩余部分为，然后将剩下的分成四等份，取其中的三份，②的面积是，对应的剩余部分为，…以此类推． ∴第部分的面积为，对应的剩余部分为：， ∴， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第5讲）——有理数混合运算与科学记数法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2. 课前课本自主预习填空 2 二.教材知识梳理与解读 2 【知识点一】有理数混合运算 2 【知识点二】科学记数法 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】科学记数法 4 【题型 2】科学记数法还原原数 4 【题型 3】有理数基础混合运算 4 【题型 4】含括号有理数混合运算 5 【题型 5】含乘方有理数基础混合运算 6 四.经典题型精析（巩固提升） 6 【题型 6】含乘方的有理数混合运算 6 【题型 7】有理数混合运算的应用 7 五.同步自测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）牢记有理数混合运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内 （2）攻克多层括号、符号复杂的综合运算题 （3）掌握科学记数法的表示、还原，理解近似数与有效数字 （4）重难点：复杂混合运算零失误、科学记数法易错位数问题 2. 课前课本自主预习填空 （1）有理数运算包括_______、_______、_______、_______、_______五种基本运算。 （2）有理数混合运算的优先级：先算________，再算________，最后算________；有括号的先算________，再算________，最后算________。 （3）同级运算（只有加减或只有乘除），按照________的顺序依次计算。 （4）乘法运算律：乘法交换律________、乘法结合律________、乘法分配律________。 （5）乘方运算注意：负数的奇次幂是________，负数的偶次幂是________；0的任何正整数次幂都是________。 （6）去括号法则：括号前是“+”，去括号后括号内各项符号________；括号前是“-”，去括号后括号内各项符号________。 （7）把一个大于10的数表示成________的形式（其中1≤|a|<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 答案：（1）加、减、乘、除、乘方； （2）乘方；乘除；加减；小括号；中括号；大括号； （3）从左到右；（4）；；； （5）负数；正数；0；（6）不变；改变（变号）；（7） 二.教材知识梳理与解读 【知识点一】有理数混合运算 一、核心运算基础回顾 有理数运算包含五种基础运算：加法、减法、乘法、除法、乘方，所有混合运算均基于基础运算法则。 1. 基础运算法则精简回顾 （1）加减运算：减去一个数，等于加上这个数的相反数，统一转化为加法运算。 （2）乘除运算：同号得正，异号得负，绝对值相乘除；0不能作为除数。 （3）乘方运算： 表示n个a相乘，正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正，0的正整数次幂为0。 2. 有理数混合运算顺序（重中之重）:运算优先级从高到低：乘方 → 乘除 → 加减 完整运算规则： （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）有括号的先算括号内的运算，括号顺序：小括号→中括号→大括号； （3）同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算； （4）可灵活运用运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）简化计算。 二、常见易错点预警 （1） 和。（先算乘方再取负），（整体平方）。 （2）带括号运算漏算、越级运算，未遵循先括号后乘方的顺序。 （3）乘除混合运算随意结合，符号判断错误。 （4）分数、小数混合运算不统一形式，计算繁琐出错。 【知识点二】科学记数法 一、定义与标准形式 在生活和数学计算中，会遇到极大的数（如人口、光速、天体距离），书写和计算不便，因此使用科学记数法简化表示。 科学记数法定义：把一个大于10的数表示成 的形式。 核心要求：(1)（a是整数位只有一位的数）；n为正整数。 二、n的取值规律（核心考点） 对于大于10的数：n = 原数的整数位数 - 1 三、双向转换方法 1. 原数 → 科学记数法:①确定a：将原数的小数点向左移动，直到整数位只有1位；②确定n：小数点移动的位数即为n的值。 2. 科学记数法 → 原数:将a的小数点向右移动n位，位数不足补0。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】科学记数法 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1）2900亿； （2）千万． 【变式1】（25-26八年级下·云南昭通·期末）昭通市2026年五一期间，全市接待游客总量达到1919000人次，将1919000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示为________________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数或还原用科学记数法表示的数． （1） ； （2） ； （3）亿 ； （4） ； （5） ． 【题型 2】科学记数法还原原数 【例题2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ． 【变式1】（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）一个数用科学记数法表示为，则这个数是___________亿． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ． 【题型 3】有理数基础混合运算 【例题3】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【变式2】（25-26七年级下·重庆·开学考试）定义，例如，则_______． 【变式3】（25-26七年级上·江西宜春·期中）计算： （1）； （2）． 【题型 4】含括号有理数混合运算 【例题4】（2025七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： （1） （2）； （3）； （4）． （5）． 【变式1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）规定一种数学运算：，那么______． 【变式3】（25-26七年级上·河南南阳·期中）计算： （1）； （2） 【题型 5】含乘方有理数基础混合运算 【例题5】（23-24七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： （1） （2）． 【变式1】（23-24七年级上·四川甘孜·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【变式3】（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）计算 （1） （2） 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】含乘方的有理数混合运算 【例题6】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式1】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）要使算式的计算结果最大，则在“”里填入的运算符号应是（   ） A．+ B．－ C． D．÷ 【变式2】（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图是一个有理数混合运算的流程图．例：当的值为，的值为，输入的值为2时，根据流程图可列式为，，符合输出条件，输出结果为．依照此流程，当的值为，的值为6，输入的值为8时，最终输出的结果是______． 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 7】有理数混合运算的应用 【例题7】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． （1）若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； （2）若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，则第次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：①___________； ②___________．（计算出最终结果） 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）仲夏端阳，楚韵悠长．这个端午假期，长沙文旅市场热度攀升．据手机信令大数据建模分析，长沙3天共接待游客约为4810000人次，将数据4810000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 3．（25-26六年级下·上海·期中）下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算（   ） A． B．14 C． D．6 6．（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·浙江温州·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·河南开封·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 9．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入a为1，则输出的结果是（   ） A． B． C．6 D． 10．（25-26七年级上·河南安阳·期中）把八卦符号看作表示二进制数时，阴爻“”对应数字0，阳爻“”对应数字1，例如：“表示的二进制数为，转换为十进制数是．将“”依次转换为十进制数，得到一个三位数，则这个三位数是（    ） A．134 B．471 C．745 D．713 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·全国·期末）用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 12．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 13．（2026·安徽淮北·二模）计算：________． 14．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算：______． 15．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： （1）______； （2）______． 16．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）定义新运算：，例如，则的结果是__________． 17．（25-26七年级下·河南新乡·期末）八卦是我国古代的计数符号，可以用它来表示二进制数，其中“”表示0，“”表示1，符号“”表示的二进制数为，则它对应的十进制数为：（注：）．类似的，符号“”表示的二进制数对应的十进制数为__________． 18．（25-26七年级上·北京·阶段检测）（1）算式的值为______． （2）观察下列各算式：，，，，，，通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： （1） （2）． 20.（本小题满分8分）（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： （1）； （2）． 21.（本小题满分10分）（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）计算 （1）； （2）． 22.（本小题满分10分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 23.（本小题满分10分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 24.（本小题满分12分）（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【探索发现】 （1）如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推．则阴影部分的面积是___________； 【问题解决】 （2）请你借助图1，评算的值； 【拓展应用】 （3）①请你利用图2，设计一个图形，并计算：的值； ②运用你上面的结论，利用图3，试求：的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $