暑期预习讲义（第4讲）——有理数的乘除与乘方（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年七年级数学上册（苏科版 ）

暑期预习讲义（第4讲）——有理数的乘除与乘方（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 2 2. 课前课本自主预习填空 2 二.教材知识梳理与解读 2 【知识点一】有理数的乘法 2 【知识点二】有理数的除法 3 【知识点三】有理数的乘方（本节重难点） 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 有理数的乘法 3 【题型 2】 有理数的乘法运算律 5 【题型 3】 有理数的除法 7 【题型 4】倒数 10 【题型 5】有理数的乘除混合运算 13 【题型 6】乘方及乘方运算 15 四.经典题型精析（巩固提升） 17 【题型 7】有理数乘除简便运算 17 【题型 8】乘方的应用 20 五.同步自测 24 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 24 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 28 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 30 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握有理数乘、除法法则，熟练判断乘积、商的符号 （2）理解倒数的定义，会求非零数的倒数 （3）掌握乘方的定义、底数与指数的区别，熟练计算简单乘方 （4）区分 与 易错题型 （5）重难点：乘方符号规律、零次幂基础、有理数四则混合运算基础 2. 课前课本自主预习填空 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号________，异号________，并把________相乘；任何数与0相乘都得________。 （2）乘积为________的两个数互为倒数，________没有倒数。 （3）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的________；两数相除，同号得________，异号得________，并把绝对值相________。 （4）求几个________因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做________；在aⁿ中，a叫做________，n叫做________。 （5）正数的任何次幂都是________；负数的________次幂是负数，负数的________次幂是正数；0的任何正整数次幂都是________。 答案：（1）得正；得负；绝对值；0；（2） 1；0 （3）倒数；正；负；除；（4）相同；幂；底数；指数；（5）正数；奇；偶；0； 二.教材知识梳理与解读 【知识点一】有理数的乘法 1. 有理数乘法法则（必考） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，结果都为0。 2. 多个有理数相乘符号规律 几个不为0的数相乘：负因数的个数为偶数，积为正数；负因数的个数为奇数，积为负数。 只要有一个因数为0，积直接为0。 3. 倒数的概念 乘积为1的两个数互为倒数。 特点：① 0没有倒数（考试高频易错）；② 正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数； ③ 倒数等于本身的数：1、-1。 4. 乘法运算律（简便计算专用） （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律： 【知识点二】有理数的除法 1. 除法核心法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。公式： 2. 两数相除符号规则 同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，结果都为0；0不能做除数。 3. 乘除混合运算规则 先把所有除法统一转化为乘法，再约分计算；同级运算从左往右依次计算。 【知识点三】有理数的乘方（本节重难点） 1. 乘方定义：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，结果叫做幂。 中：a：底数（参与相乘的数）n：指数（表示相乘的个数），读作：a的n次方或 a的n次幂 2. 乘方符号规律：① 正数的任何次幂都是正数；② 负数的偶次幂为正，奇次幂为负； ③ 0的任何正整数次幂都是0；④ 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1。 3. 必考易错辨析（90%学生易错） 与 完全不同： （底数只有3，先平方再取负） （底数是-3，整体平方） 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 有理数的乘法 【例题1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多个有理数相乘的符号法则，熟练掌握多个有理数相乘的符号法则是解题的关键． 根据多个有理数相乘的符号法则“多个数非零有理数相乘时，负数的个数为奇数时积为负数，负数的个数为偶数时积为正数；有零相乘时，结果为0”即可求解． 解：选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：中负数的个数为偶数，故选项B不符合题意； 选项C：中负数的个数为偶数，故选项C不符合题意； 选项D：中负数的个数为奇数，故选项D符合题意． 故答案为：D． 【变式2】（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算：______________ ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法法则，异号两数相乘得负，再计算分数乘法即可解答． 解：原式． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 2】 有理数的乘法运算律 【例题2】（25-26七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 解：（1）解： （2）解： 【变式1】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律． 解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·云南曲靖·阶段检测）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步           第二步 ．          第三步 请指出第______步开始出现错误． 【答案】二 【分析】本题考查了有理数混合运算，第二步计算分配律时符号出错，熟练掌握运算顺序和法则，乘法分配律是解题的关键． 解： ， ∴第二步开始出现错误， 故答案为：二． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 3】 有理数的除法 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）3；（2）2；（3）3；（4） 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·河南开封·期中）如果，那么的值为（　　） A． B． C．0或 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 根据绝对值的性质和有理数的除法可得，即可解答． 解：， 故选：B． 【变式2】（25-26六年级上·山东烟台·期中）若，则内的数字是_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除运算；逆用有理数乘法法则进行计算、求解． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先转化为乘法运算，然后利用有理数乘法运算法则即可解答； （2）先转化为乘法运算，再利用乘法分配律运算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 4】倒数 【例题4】（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： （1）上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；（填写“甲”“乙”“丙”） （2）计算： ① ② 【答案】（1）乙、丙；甲；（2）①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 解：（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 【变式1】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）若a，b互为倒数，则（   ）． A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了倒数的定义、代数式求值等知识点，由倒数的定义得到是解题的关键． 由倒数的定义得到，再代入代数式求解即可． 解：由倒数的定义得到，则． 故选C． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）的倒数是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查求一个数的绝对值，倒数，根据绝对值的意义和互为倒数的两数之积为1，进行求解即可． 解：， 的倒数为：； 故答案为： 【变式3】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为________． （2）用分配律计算：． （3）直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），倒数的定义、有理数的混合运算． （1）由题意直接根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解． 解：（1）解：， ； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ． 【题型 5】有理数的乘除混合运算 【例题5】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·阶段检测）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法、有理数的除法，首先根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，然后再根据有理数的乘法法则进行计算，根据计算的结果判断正误． 解：A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算：______. 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 解：原式， ， ， 故答案为：． 【变式3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）9；（2）0；（3）；（4）1 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型 6】乘方及乘方运算 【例题6】（25-26七年级上·吉林·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算（含乘方、绝对值），熟练掌握有理数混合运算的顺序（先乘方、再乘除、最后加减）是解题的关键． 按照有理数混合运算的顺序，先计算乘方、绝对值，再计算除法，最后计算加减． 解： ． 【变式1】（23-24七年级上·山西临汾·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，分别根据乘方和乘法的意义求解．找到变化规律是解题的关键． 解：∵，， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法运算，正确理解乘方运算是解题的关键．先将分母相加，分子乘方运算即可． 解： 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   （1）通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； （2）根据（1）的结果猜想等于什么？ （3）用（2）的结论计算： 【答案】（1）相等；（2）；（3）5 【分析】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 解：（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 7】有理数乘除简便运算 【例题7】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 解：（1）解： ； （2） ． 【变式1】（26-27七年级·江苏·暑假作业）计算 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘法、加法和除法．将除法转换成乘法，根据乘法分配律和逆用乘法分配律计算即可． 解： ． 【变式2】（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 解：（1）解： ； （2） ． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算、有理数的乘法运算律，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减法则进行计算即可； （2）将分母相同的两个数分别结合为一组后再计算即可； （3）根据有理数乘除法则进行计算即可； （4）运用乘法分配律进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型 8】乘方的应用 【例题8】（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 【变式1】（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导得到个细菌经过分钟后的分裂数量，再乘以初始细菌个数即可得到结果． 解：∵个细菌每分钟由个分裂成个， ∴个细菌经过分钟分裂为个，经过分钟分裂为个， 依此类推，可得个细菌经过分钟分裂为个， 本题中，初始细菌个数为， ∴最终总个数为． 【变式2】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n天操作后剩余全长的，则第1天到第n天一共截取的长度为米． 解：由题意知，第1天操作后剩余全长的， 第2天操作后剩余全长的， 第3天操作后剩余全长的， 第4天操作后剩余全长的， 第5天操作后剩余全长的， 第1天到第5天一共截取的长度为（米）， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东济南·期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ （1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，，，…，，根据图示我们可以知道： 第一次取走后还剩，即； 前两次取走后还剩，即； 前三次取走后还剩，即；…， 前n次取走后，还剩______，即______． （2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示计算：； （3）求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了图形类变化规律问题，乘方的应用，数形结合思想， 对于（1），根据前三次变化规律可得答案； 对于（2），仿照（1）分别求出第n次截取后剩余，再用总数1减去剩余可得答案； 对于（3），仿照（2）解答即可． 解：（1）解：，； （2）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴； （3）解：如图 ∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·天津西青·二模）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可． 解：． 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 解：． 3．（2026·天津河东·三模）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：． 4．（22-23七年级上·全国·期末）小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 【答案】C 【分析】每筐相对于标准超过为正数，不足为负数，称重后记为正或负，都是相对于标准的，因此把标准质量乘以筐数，再加上各筐相对于标准的质量即可． 解：4 筐萝卜的总质量为千克． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 6．（26-27七年级·全国·暑假作业）如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 7．（25-26七年级下·山西长治·期末）地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算山顶与山脚的海拔差，再根据气温垂直递减规律计算山顶相对山脚的气温下降量，最后根据山顶气温求出山脚气温即可． 解：∵山脚海拔为，山顶海拔为 ∴山顶与山脚的海拔差为 根据题意，海拔每升高气温下降 ∴山顶相对山脚的气温下降量为 ∵山顶海拔高于山脚，气温比山脚低，且山顶气温为 ∴山脚气温为 ． 8．（2026·山东济宁·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上a、b的位置确定其取值范围，再据此分析各选项即可． 解：由数轴可知，a对应的点在和之间，b对应的点在0和1之间， ∴，， A项：∵，， ∴，， ∴，故A正确； B项：∵，， ∴，故B错误； C项：∵，， ∴，故C错误； D项：∵，， ∴故D错误. 9．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】分别根据相反数、绝对值、有理数乘方计算每个选项中两个数的值，再比较是否相等即可解答． 解：A． ，，，即选项A不符合题意； B．，，，即选项B符合题意； C．，，，即选项C不符合题意； D．，，，即选项D不符合题意． 10．（21-22七年级上·浙江台州·期中）下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： ______． 【答案】1 解：． 12．（2026·湖北·二模）若，则“”表示的数是______． 【答案】 【分析】利用有理数除法运算结合倒数的定义求解． 解：由 得 ； 13．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】58 解： ． 14．（上海市浦东新区部分学校2025-2026学年六年级上学期1月期末数学试题）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 解： ． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算，则______________． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值． 解： ． 16．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 17．（22-23六年级下·上海·期中）平方等于16的负数与立方等于的和是____________． 【答案】/ 【分析】根据有理数乘方的定义，先求出符合条件的两个数，再根据有理数加法法则计算两个数的和即可． 解： ，题目要求平方等16的负数， 符合条件的数是 ， ， 立方等于的数是， ∴平方等于16的负数与立方等于的和是： ． 18．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 解：根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）36；（2） 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 （1）先确定乘积的符号，再计算后两个数相乘，最后再计算乘法即可； （2）先确定乘积的符号，按照从左到右的顺序计算即可 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20.（本小题满分8分）（25-26七年级上·广东·阶段检测）计算下列各题 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先写成省略括号的形式，再进行加减运算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 21.（本小题满分10分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 22.（本小题满分10分）（25-26六年级上·山东淄博·期中）某一出租车一天下午以芦湖公园北门为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点多远？在芦湖公园北门的什么方向？ （2）若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】（1）出租车离出发点，在芦湖公园北门向东；（2）元 【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得计算结果，根据正数和负数，可得方向； （2）利用行程总里程乘以每千米单价，可得营业额． 解：（1）解：， 所以出租车离出发点，在芦湖公园北门向东处． （2）解：总路程为， （元）， 答：司机一个下午的营业额是元． 23.（本小题满分10分）（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）用数学猜想解决问题 【探究活动】观察下列算式： 1①，②，③…… （1）由已知等式可猜想第n个等式为： ； （2）求的值，要求写出过程； （3）猜想下列算式的结果（直接写结果） ． 【拓展应用】（4）仿照上面的探究过程写出下列式子的计算结果． ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （2）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可； （4）类比（2）式将各加数化为两个分数的差的形式，求和即可． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24.（本小题满分12分）（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： （1）小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； （2）小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ （3）如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】（1）小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，②的正确计算过程如下： ； （2）小华的思路正确 （3） 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 解：（1）略 （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第4讲）——有理数的乘除与乘方（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 2 2. 课前课本自主预习填空 2 二.教材知识梳理与解读 2 【知识点一】有理数的乘法 2 【知识点二】有理数的除法 3 【知识点三】有理数的乘方（本节重难点） 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 有理数的乘法 3 【题型 2】 有理数的乘法运算律 4 【题型 3】 有理数的除法 5 【题型 4】倒数 5 【题型 5】有理数的乘除混合运算 6 【题型 6】乘方及乘方运算 7 四.经典题型精析（巩固提升） 7 【题型 7】有理数乘除简便运算 8 【题型 8】乘方的应用 8 五.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握有理数乘、除法法则，熟练判断乘积、商的符号 （2）理解倒数的定义，会求非零数的倒数 （3）掌握乘方的定义、底数与指数的区别，熟练计算简单乘方 （4）区分 与 易错题型 （5）重难点：乘方符号规律、零次幂基础、有理数四则混合运算基础 2. 课前课本自主预习填空 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号________，异号________，并把________相乘；任何数与0相乘都得________。 （2）乘积为________的两个数互为倒数，________没有倒数。 （3）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的________；两数相除，同号得________，异号得________，并把绝对值相________。 （4）求几个________因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做________；在aⁿ中，a叫做________，n叫做________。 （5）正数的任何次幂都是________；负数的________次幂是负数，负数的________次幂是正数；0的任何正整数次幂都是________。 答案：（1）得正；得负；绝对值；0；（2） 1；0 （3）倒数；正；负；除；（4）相同；幂；底数；指数；（5）正数；奇；偶；0； 二.教材知识梳理与解读 【知识点一】有理数的乘法 1. 有理数乘法法则（必考） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，结果都为0。 2. 多个有理数相乘符号规律 几个不为0的数相乘：负因数的个数为偶数，积为正数；负因数的个数为奇数，积为负数。 只要有一个因数为0，积直接为0。 3. 倒数的概念 乘积为1的两个数互为倒数。 特点：① 0没有倒数（考试高频易错）；② 正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数； ③ 倒数等于本身的数：1、-1。 4. 乘法运算律（简便计算专用） （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律： 【知识点二】有理数的除法 1. 除法核心法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。公式： 2. 两数相除符号规则 同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，结果都为0；0不能做除数。 3. 乘除混合运算规则 先把所有除法统一转化为乘法，再约分计算；同级运算从左往右依次计算。 【知识点三】有理数的乘方（本节重难点） 1. 乘方定义：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，结果叫做幂。 中：a：底数（参与相乘的数）n：指数（表示相乘的个数），读作：a的n次方或 a的n次幂 2. 乘方符号规律：① 正数的任何次幂都是正数；② 负数的偶次幂为正，奇次幂为负； ③ 0的任何正整数次幂都是0；④ 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1。 3. 必考易错辨析（90%学生易错） 与 完全不同： （底数只有3，先平方再取负） （底数是-3，整体平方） 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 有理数的乘法 【例题1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算：______________ ． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【题型 2】 有理数的乘法运算律 【例题2】（25-26七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【变式2】（25-26七年级上·云南曲靖·阶段检测）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步           第二步 ．          第三步 请指出第______步开始出现错误． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． （1）； （2）． 【题型 3】 有理数的除法 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·河南开封·期中）如果，那么的值为（　　） A． B． C．0或 D．不确定 【变式2】（25-26六年级上·山东烟台·期中）若，则内的数字是_______． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【题型 4】倒数 【例题4】（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： （1）上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；（填写“甲”“乙”“丙”） （2）计算： ① ② 【变式1】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）若a，b互为倒数，则（   ）． A． B．1 C．0 D． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）的倒数是_____． 【变式3】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为________． （2）用分配律计算：． （3）直接写出的值． 【题型 5】有理数的乘除混合运算 【例题5】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·阶段检测）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算：______. 【变式3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【题型 6】乘方及乘方运算 【例题6】（25-26七年级上·吉林·期末）计算：． 【变式1】（23-24七年级上·山西临汾·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）_____． 【变式3】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   （1）通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； （2）根据（1）的结果猜想等于什么？ （3）用（2）的结论计算： 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 7】有理数乘除简便运算 【例题7】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（26-27七年级·江苏·暑假作业）计算 【变式2】（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4） 【题型 8】乘方的应用 【例题8】（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【变式1】（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【变式3】（25-26七年级上·山东济南·期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ （1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，，，…，，根据图示我们可以知道： 第一次取走后还剩，即； 前两次取走后还剩，即； 前三次取走后还剩，即；…， 前n次取走后，还剩______，即______． （2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示计算：； （3）求的值． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·天津西青·二模）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2026·天津河东·三模）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·全国·期末）小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 5．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．（26-27七年级·全国·暑假作业）如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 7．（25-26七年级下·山西长治·期末）地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·山东济宁·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（21-22七年级上·浙江台州·期中）下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： ______． 12．（2026·湖北·二模）若，则“”表示的数是______． 13．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 14．（上海市浦东新区部分学校2025-2026学年六年级上学期1月期末数学试题）计算：_____． 15．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算，则______________． 16．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 17．（22-23六年级下·上海·期中）平方等于16的负数与立方等于的和是____________． 18．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： （1）； （2）． 20.（本小题满分8分）（25-26七年级上·广东·阶段检测）计算下列各题 （1） （2） 21.（本小题满分10分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 22.（本小题满分10分）（25-26六年级上·山东淄博·期中）某一出租车一天下午以芦湖公园北门为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点多远？在芦湖公园北门的什么方向？ （2）若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 23.（本小题满分10分）（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）用数学猜想解决问题 【探究活动】观察下列算式： 1①，②，③…… （1）由已知等式可猜想第n个等式为： ； （2）求的值，要求写出过程； （3）猜想下列算式的结果（直接写结果） ． 【拓展应用】（4）仿照上面的探究过程写出下列式子的计算结果． ． 24.（本小题满分12分）（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： （1）小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； （2）小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ （3）如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $