暑期预习讲义（第1讲）——正数与负数（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年七年级数学上册（苏科版 ）

暑期预习讲义（第1讲）——正数与负数（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2. 课前课本自主预习填空 2 二.教材知识梳理与解读 2 【知识点二】相反意义的量与正负数 2 【知识点三】有理数分类（两大分类标准，必考） 2 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 正负数的认识 3 【题型 2】 相反意义的量 4 【题型 3】 有理数的定义 6 【题型 4】 0的意义 8 【题型 5】 有理数的分类 10 四.经典题型精析（巩固提升） 12 【题型 6】 正负数与相反意义的量 12 【题型 7】 带“非”字的有理数 14 五.同步自测 16 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 16 （二）填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 18 （三）解答题（本大题共4小题，共9分） 21 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）完成小学算术数到初中有理数的思维转换，理解相反意义的量 （2）掌握正数、负数、0的定义与分类，会判断有理数 （3）掌握实际生活中负数的应用（温度、海拔、收支、方向等） （4）重难点：有理数的分类、0的特殊性、相反意义量的表示 2. 课前课本自主预习填空 （1）大于0的数叫做________，小于0的数叫做________。 （2）0既不是________，也不是________，是正负数的分界点。 （3）具有________的两个量可以用正负数表示。 （4）________和________统称为有理数；整数包含正整数、________、________；分数包含正分数、________。 答案：（1）正数 负数；（2）正数 负数；（3）相反意义；（4）整数 分数 零 负整数 负分数. 二.教材知识梳理与解读 【知识点二】相反意义的量与正负数 1. 相反意义的量 （1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的，负数是根据实际需要而产生的。 （2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，习惯上，把“上升、增加、盈利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为负。 2. 正负数核心概念 （1）为区分具有相反意义的量，我们规定其中一种为正，用正数表示；另一种为负，用负数表示。这样我们得出正负数定义： 大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数；正数前面加个符号“-”（负号）的数叫做负数，正数大于0，负数小于0； 3.易错警示：带”-“号的数不一定是负数，如-0、-（-2）均不是负数。 【知识点三】有理数分类（两大分类标准，必考） 核心口诀：有限小数、无限循环小数都属于分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数。 【要点提示】（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小数，其他小数都属于分数； （2）圆周率是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 正负数的认识 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【答案】，19，，，都是正数；，，都是负数 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 解：在这些数中，正数：，19，，，； 负数：，，． 【变式1】（2026·广西玉林·模拟预测）下列各数中，是负数的是（     ） A．3 B．0 C． D．2.5 【答案】C 【分析】根据“小于0的数是负数”，逐一判断各选项即可得到答案. 解：∵ ， ∴3是正数， 故选项A不符合要求； ∵ 既不是正数也不是负数， 故选项B不符合要求； ∵ ， ∴是负数， 故选项C符合要求； ∵ ，∴2.5是正数， 故选项D不符合要求.综上. 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断即可． 解：①0既不是正数也不是负数，因此0不是最小的正数，故①错误； ②任意一个正数，前面加一个“”号，表示它的相反数，是负数，故②正确； ③大于0的数是正数，这是正数的定义，故③正确； ④字母a可以表示正数或负数，但不能同时既是正数又是负数，故④错误． ∴正确的说法有②③． 故答案为：②③． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）在，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：，，，；负数有：，，，，． 【分析】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键． 正数前边有“”或省略“”的形式，比0要大，根据定义可以找到符合条件的正数；负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意0既不是正数，也不是负数． 解：根据正数的定义可得,正数有：，，，； 根据负数的定义可得,负数有：，，，，． 【题型 2】 相反意义的量 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下面哪对量是具有相反意义的量? （1）在知识竞赛中，得20分和扣10分． （2）一座水库蓄水量增加和减少． （3）一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． （4）长方形的周长是和面积是． 【答案】（1）是；（2）是；（3）是；（4）否 【分析】本题主要考查相反意义的量的定义，掌握 “相反意义的量需同时具备‘相反意义’和‘同类量’两个条件” 是解题的关键．依据相反意义的量的定义判断即可． 解：（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴ 得分为正，扣分为负，具有相反意义． （2）∵ 蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴ 增加为正，减少为负，具有相反意义． （3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴ 下去为负，上来为正，具有相反意义． （4）∵ 周长是长度量，面积是面积量， ∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义． 【变式1】（2026·广东梅州·二模）中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵向东记为正， ∴向西记为负， ∴向西走记作． 【变式2】（2026·河南周口·二模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家．若上升10米记作米，则下降3米可记作__________米． 【答案】 【分析】根据正负数的意义进行分析，即可作答． 解：∵上升10米记作米， ∴下降3米可记作米． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出与下列各量具有相反意义的量： （1）气温是零上． （2）向南走． （3）转盘顺时针转3圈． （4）甲地高于海平面． 【答案】（1）气温是零下；（2）向北走；（3）转盘逆时针转3圈；（4）甲地低于海平面 【分析】本题考查相反意义的量的概念，在数学中，常用正数和负数表示具有相反意义的量，如温度、方向、旋转方向和高度等，每个小题需根据给定量写出其相反意义的量． 解：（1）解：零上温度与零下温度相反，故相反意义的量为气温是零下； （2）解：向南走与向北走相反，故相反意义的量为向北走； （3）解：顺时针旋转与逆时针旋转相反，故相反意义的量为转盘逆时针转3圈； （4）解：高于海平面与低于海平面相反，故相反意义的量为低于海平面． 【题型 3】 有理数的定义 【例题3】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． （1）算筹所表示的数是 ． （2）请用算筹表示下列各数： （3）用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解 【分析】此题考查数字的表示，理解题意是解题的关键． （1）根据图形的表示进行解答即可； （2）结合（1）根据图形的表示进行解答即可； （3）根据图形的表示进行解答即可． （1）解：算筹所表示的数是3875． 故答案为：3875； （2）解：用算筹表示下列各数： （3）解：用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【变式1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义逐个判断六个数即可得到结果． 解：∵整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数， 逐个判断得： 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，不是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数. 故有理数共5个，故选C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）下列各数：，π，0，3.14，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次增加一个），其中有理数有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数，能熟记有理数的定义是解此题的关键，需要注意：有理数中包括整数和分数． 解：在实数，π，0，3.14，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次增加一个）中，有理数分别是：，0，3.14，共3个． 故答案为：3． 【变式3】（24-25七年级上·河南驻马店·阶段检测）把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，2，，3.14，，． （1）正数：{ …}； （2）负数{ …}； （3）整数：{ …}； （4）分数：{ …}； （5）非负数：{ …}． 【答案】（1）2，3.14，；（2），，，；（3），0，2；（4），，3.14，，；（5）0，2，3.14， 【分析】本题考查了有理数的意义，熟练掌握正数、负数、整数、分数、非负数的意义是解此题的关键． （1）根据正数的意义即可得解； （2）根据负数的意义即可得解； （3）根据整数的意义即可得解； （4）根据分数的意义即可得解； （5）根据非负数的意义即可得解． 解：（1）解：正数：{2，3.14，}； （2）解：负数{，，，}； （3）解：整数：{，0，2}； （4）解：分数：{，，3.14，，}； （5）解：非负数：{0，2，3.14，}． 【题型 4】 0的意义 【例题4】（24-25七年级上·全国·课后作业）如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ （1）元 （2）元 （3）元 （4）元 【答案】（1）收入元；（2）收入元；（3）支出元；（4）没有收入也没有支出 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果把收入为正，则支出就是负． 解：（1）解：元是正数，所以表示收入元； （2）解：元是正数，所以表示收入元； （3）解：元是负数，所以表示支出元； （4）解：元既不是正数也不是负数，所以表示没有收入也没有支出． 【点拨】本题考查正负数的实际意义，理解“正”和“负”的相对性，把握题中具有相反意义的量是解决问题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数的概念，依据正数、负数的定义即可判断出结果． 解：A、是负数，不符合题意； B、0既不是正数也不是负数，符合题意； C、1是正数，不符合题意； D、2024是正数，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【答案】2 【分析】本题考查了正数和负数、0的意义等知识点，掌握零的意义是解题的关键． 根据0的意义逐项判断即可解答． 解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个． 故答案为：2． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ 【答案】不对，因为0既不是正数也不是负数． 【分析】举反例进行说明即可． 解：不对．因为0既不是正数也不是负数． 【点拨】本题主要考查了0的意义，掌握“0既不是正数也不是负数”是解题的关键． 【题型 5】 有理数的分类 【例题5】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． （1）正数集合：{                            ...}； （2）整数集合：{                            ...}； （3）负分数集合：{                            ...}． 【答案】（1）8.5，0.3，12，；（2）0，12，；（3），， 【分析】根据正数、整数、负分数的定义，对给出的数逐一判断，归类填入对应集合即可，大于0的数为正数，整数包含正整数、0、负整数，小于0的分数为负分数，有限小数属于分数. 解：（1）解：大于0的数是正数，因此正数集合为{8.5，0.3，12，，…}； （2）解：整数包含正整数、0、负整数，因此整数集合为{0，12，，…}； （3）解：小于0的分数是负分数，因此负分数集合为{，，，…}． 【变式1】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在，，0，，，，，5中，非负整数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是明确非负整数的定义； 先明确非负整数的定义（即正整数和0），再逐一判断所给数字是否符合该定义，统计符合的个数即可得出答案． 解：∵非负整数是指正整数和0， ∴是负整数；是分数；0是非负整数；是分数；是负小数；是负分数；不是有理数；5是正整数； ∴符合条件的非负整数有0和5，共2个， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【答案】6 【分析】根据非负数的定义，找出题目中符合要求的数，统计其个数即可得到结果． 解：非负数为：，，，，，，共有个． 【变式3】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）；0.3，，，，，2.3%；，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【分析】本题考查有理数的分类．熟悉负数为小于的数，分数包括有限小数、无限循环小数和可以化为分数的百分数，负有理数既是负数又是有理数的数，有理数是整数和分数的统称，小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数． 解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】 正负数与相反意义的量 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． （1）这里的含义是什么？ （2）请你算出该商品的最高价格和最低价格． （3）如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【答案】（1）见分析；（2）元，元；（3）元 【分析】本题考查了正数和负数的知识． （1）“”表示加价，“”表示降价； （2）根据浮动标准，可计算出最高价格和最低价格； （3）求出所代表的价格，然后即可表示出价格的浮动范围． 解：（1）解：的含义是在标准价格的基础上，加价和降价的幅度不超过10%． （2）最高价格是（元）， 最低价格是（元）． （3）因为（元）， 所以该商品价格的浮动范围又可以表示为元． 【变式1】（2025·湖北·模拟预测）若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 解：∵甲商品涨价可记作， ∴乙商品降价可记作， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·山东济南·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为________米； 【答案】 【分析】根据向东走记为“+”，得到向西走则记为“－”． 解：∵向东走5米记为米， ∴向西走3米可记为米， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正数和负数，解答本题的关键是熟练掌握用正数和负数表示相反意义的量． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 【答案】对准的数是；先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格，刻度线表示为． 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为． 【题型 7】 带“非”字的有理数 【例题7】（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）把下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，，，220，，，， 正有理数集合：｛ ｝   整数集合：｛ ｝ 非负数集合：｛ ｝    负分数集合：｛ ｝ 非负整数集合：｛ ｝ 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了正有理数、整数、非负数、负分数、非负整数的定义． 根据正有理数包括正整数和正分数；整数包括正整数、0和负整数；非负数包括正数和0；分数包括正分数和负分数；非负整数是正整数和0求解即可． 解：正有理数集合：｛，，，220，，｝ 整数集合：｛，0，，，220，｝ 非负数集合：｛，0，，，220，，｝ 负分数集合：｛，，｝ 非负整数集合：｛，0，220｝ 【变式1】（24-25七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）在，0，，，2024，，，中，非负整数有 _____个． 【答案】 【分析】本题主要考查非负整数，熟练掌握非负整数的分类是解题的关键．根据非负整数即正整数以及即可得到答案． 解：非负整数有，0，2024． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）把下列各数填在相应的集合中． 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，， （1）负数集合{________________________……} （2）正分数集合{________________________……} （3）非负整数集合{________________________……} 【答案】（1）负数集合{……}；（2）正分数集合{0.81，，3.14……}；（3）非负整数集合{15，171，0……} 【分析】本题考查了有理数分类，掌握负数、正分数、非负整数的定义是解题的关键． （1）根据负数就是小于0的数，解答即可； （2）根据正分数是分数并且还是正数，注意有限小数也是分数，解答即可； （3）根据非负整数是正整数和0，解答即可． 解：（1）解：负数集合{……}； （2）解：正分数集合{0.81，，3.14……}； （3）解：非负整数集合{15，171，0……}． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（2026·广西贺州·二模）下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“小于的数是负数”，判断各选项数值与的大小关系即可得到答案． 解：根据定义，小于的数是负数， A、，是负数，符合题意； B、既不是正数也不是负数，不符合题意； C、，是正数，不符合题意； D、，是正数，不符合题意． 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）小明同学把收支情况用正数和负数表示，若收入100元记为+100元，则支出80元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 解：∵收入和支出是一对相反意义的量，题目中规定收入记为正数， ∴支出应记为负数， ∴此支出80元记作元． 3．（21-22九年级下·浙江金华·开学考试）在下列选项中，既是分数，又是负数的是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据分数和负数的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 解： A、4是正整数，既不是分数，也不是负数，不符合题意； B、5是正整数，既不是分数，也不是负数，不符合题意； C、是负整数，是负数但不是分数，不符合题意； D、是有限小数，属于分数，同时是负数，符合题意． 4．（25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 【答案】C 【分析】本题考查正负数的基本概念，的意义，根据正负数的定义，0既不是正数也不是负数. 解：∵正数是大于0的数，负数是小于0的数，而0既不是正数也不是负数， ∴选项C正确. 故选：C． 5．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的定义，非负数包含正数和0，只需找出题干中属于正数和0的数，统计其个数即可． 解：∵非负数是指正数和0， ∴在，12，，0，5，中，非负数为12，0，5， ∴非负数的个数为3个． 故答案为：B． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数分类，正确把握相关定义是解题关键．直接利用负分数的定义分析得出答案． 解：阴影部分表示负分数，选项中只有C符合题意． 故选：C． 7．（20-21六年级上·山东泰安·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 8．（2025·贵州贵阳·二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． （二）填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 9．（25-26七年级上·山西长治·期末）如果超出标准零件尺寸记作，那么不足标准零件尺寸记作________． 【答案】 【分析】本题是考查正负数的定义，关键是读懂题意，采用类比的方法作答．根据正负数的定义，超出标准零件尺寸记为正数，则不足标准零件尺寸应记为负数即可解答． 解：因为超出标准零件尺寸记作， 所以不足标准零件尺寸记作， 故答案为：． 10．（2026·河南平顶山·三模）临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 【答案】元 解：如果收入380元记作元，那么支出290元记作元． 11．（2026·辽宁铁岭·二模）如图是某市2026年1月1日的天气预报图，温度为，则这天的最低气温为________． 【答案】 解：某市2026年1月1日的天气预报图，温度为，则这天的最低气温是． 12．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数的知识，依据有理数的定义，区分所给数中的有理数与无理数，再统计有理数的个数，有理数包含整数和分数，分数涵盖有限小数、无限循环小数，无理数为无限不循环小数． 解：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，分数包括有限小数、无限循环小数，无理数是无限不循环小数， 对所给数逐一判断： 在，这些数中， 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 2021是正整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 可化为，是有限小数，属于有理数； 0.67是有限小数，属于有理数； 属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是负整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数． 综上所述，有理数共有8个． 故答案为：8． 13．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是_____． 【答案】数轴上的原点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查“0”的意义，熟练掌握“0”的意义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 解：有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是表示数轴上的原点； 故答案为数轴上的原点（答案不唯一）． 14．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）下列各数：2.5，，0，21，，中，属于分数的有___________________．（填入符合条件的数） 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分为正整数，零和负整数；分数分为正分数和负分数． 根据有理数的分类，分数包括正分数和负分数解答即可． 解：与都是有限小数，可以化为分数，属于分数； 0、21、、都是整数； 综上属于分数的有，． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，分数的个数为_________，整数的个数为_________，非负数的个数为_________． 【答案】 4 2 3 【分析】根据分数、整数、非负数的定义，对给定的数进行分类统计．本题主要考察了有理数的分类，熟练掌握分数、整数、非负数的定义是解题的关键． 解：分数有，共4个；整数有0，，共2个；非负数有0，，，共3个． 故答案为：4；2；3． 16．（2024七年级上·江苏·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． （三）解答题（本大题共4小题，共9分） 17．（24-25七年级上·全国·随堂练习）写出与下列各量具有相反意义的量： （1）存入20000元； （2）价格下降； （3）潜水艇下潜； （4）节约水． 【答案】（1）取出20000元；（2）价格上涨；（3）潜水艇上浮；（4）浪费水 【分析】此题考查了对正负数概念的理解，正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的认识， （1）结合相反数意义的量找出与存入相反的量是取出即可； （2） 结合相反数意义的量找出与价格下降相反的量是价格上涨即可； （3）结合相反数意义的量找出与下潜相反的量是上浮即可； （4）结合相反数意义的量找出与节约相反的量是浪费即可． 解：（1）解：存入20000元，则相反意义的量为：取出20000元； （2）解：价格下降，则相反意义的量为：价格上涨； （3）解：潜水艇下潜，则相反意义的量为：潜水艇上浮； （4）解：节约水，则相反意义的量为：浪费水． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用正数、负数表示下列各题中的量： （1）冥王星离太阳非常远，接受的太阳能也非常少，表面温度一般在零下左右，甚至可能低至约零下． （2）位于南美洲安第斯山区的喀喀湖是世界上海拔最高的大淡水湖之一，湖面高于海平面．位于阿拉伯半岛的死海是世界上海拔最低的湖泊，湖面低于海平面． 【答案】（1）零下记作，零下记作；（2）高于海平面记作，低于海平面记作 【分析】本题考查正数和负数表示温度和高度的实际意义，会利用正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． （1）温度的表示以为基准，高于用正数，低于则用负数，据此即可解答； （2）海平面高度为基准，记为，高于海平面用正数，低于海平面用负数，据此即可解答． 解：（1）解：零下记作，零下记作； （2）高于海平面记作，低于海平面记作． 19．（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． （1）正有理数集合；｛____________________…｝ （2）负有理数集合：｛____________________…｝ （3）整数集合：｛____________________…｝ 【答案】（1）①，④，⑦，⑨；（2）②，③，⑥；（3）①，③，⑤ 【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 解：（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 20．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，，，，． 正有理数集合： 非正整数集合： 正分数集合： 负分数集合： 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是明确正有理数、非正整数、正分数、负分数的定义． 根据正有理数（正整数和正分数）、非正整数（零和负整数）、正分数（正的有限小数和正的无限循环小数）、负分数（负的有限小数和负的无限循环小数）的定义，对每个数逐一判断，分别填入对应的集合． 解：正有理数集合：； 非正整数集合：； 正分数集合：； 负分数集合：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第1讲）——正数与负数（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2. 课前课本自主预习填空 2 二.教材知识梳理与解读 2 【知识点二】相反意义的量与正负数 2 【知识点三】有理数分类（两大分类标准，必考） 2 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 正负数的认识 3 【题型 2】 相反意义的量 3 【题型 3】 有理数的定义 4 【题型 4】 0的意义 5 【题型 5】 有理数的分类 5 四.经典题型精析（巩固提升） 6 【题型 6】 正负数与相反意义的量 6 【题型 7】 带“非”字的有理数 7 五.同步自测 7 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 7 （二）填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 9 （三）解答题（本大题共4小题，共9分） 9 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）完成小学算术数到初中有理数的思维转换，理解相反意义的量 （2）掌握正数、负数、0的定义与分类，会判断有理数 （3）掌握实际生活中负数的应用（温度、海拔、收支、方向等） （4）重难点：有理数的分类、0的特殊性、相反意义量的表示 2. 课前课本自主预习填空 （1）大于0的数叫做________，小于0的数叫做________。 （2）0既不是________，也不是________，是正负数的分界点。 （3）具有________的两个量可以用正负数表示。 （4）________和________统称为有理数；整数包含正整数、________、________；分数包含正分数、________。 答案：（1）正数 负数；（2）正数 负数；（3）相反意义；（4）整数 分数 零 负整数 负分数. 二.教材知识梳理与解读 【知识点二】相反意义的量与正负数 1. 相反意义的量 （1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的，负数是根据实际需要而产生的。 （2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，习惯上，把“上升、增加、盈利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为负。 2. 正负数核心概念 （1）为区分具有相反意义的量，我们规定其中一种为正，用正数表示；另一种为负，用负数表示。这样我们得出正负数定义： 大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数；正数前面加个符号“-”（负号）的数叫做负数，正数大于0，负数小于0； 3.易错警示：带”-“号的数不一定是负数，如-0、-（-2）均不是负数。 【知识点三】有理数分类（两大分类标准，必考） 核心口诀：有限小数、无限循环小数都属于分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数。 【要点提示】（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小数，其他小数都属于分数； （2）圆周率是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 正负数的认识 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【变式1】（2026·广西玉林·模拟预测）下列各数中，是负数的是（     ） A．3 B．0 C． D．2.5 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）在，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【题型 2】 相反意义的量 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下面哪对量是具有相反意义的量? （1）在知识竞赛中，得20分和扣10分． （2）一座水库蓄水量增加和减少． （3）一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． （4）长方形的周长是和面积是． 【变式1】（2026·广东梅州·二模）中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南周口·二模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家．若上升10米记作米，则下降3米可记作__________米． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出与下列各量具有相反意义的量： （1）气温是零上． （2）向南走． （3）转盘顺时针转3圈． （4）甲地高于海平面． 【题型 3】 有理数的定义 【例题3】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． （1）算筹所表示的数是 ． （2）请用算筹表示下列各数： （3）用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【变式1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）下列各数：，π，0，3.14，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次增加一个），其中有理数有________个． 【变式3】（24-25七年级上·河南驻马店·阶段检测）把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，2，，3.14，，． （1）正数：{ …}； （2）负数{ …}； （3）整数：{ …}； （4）分数：{ …}； （5）非负数：{ …}． 【题型 4】 0的意义 【例题4】（24-25七年级上·全国·课后作业）如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ （1）元 （2）元 （3）元 （4）元 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ 【题型 5】 有理数的分类 【例题5】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． （1）正数集合：{                             ...}； （2）整数集合：{                             ...}； （3）负分数集合：{                             ...}． 【变式1】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在，，0，，，，，5中，非负整数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式2】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【变式3】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】 正负数与相反意义的量 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． （1）这里的含义是什么？ （2）请你算出该商品的最高价格和最低价格． （3）如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【变式1】（2025·湖北·模拟预测）若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东济南·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为________米； 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 【题型 7】 带“非”字的有理数 【例题7】（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）把下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，，，220，，，， 正有理数集合：｛ ｝   整数集合：｛ ｝ 非负数集合：｛ ｝    负分数集合：｛ ｝ 非负整数集合：｛ ｝ 【变式1】（24-25七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）在，0，，，2024，，，中，非负整数有 _____个． 【变式3】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）把下列各数填在相应的集合中． 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，， （1）负数集合{________________________……} （2）正分数集合{________________________……} （3）非负整数集合{________________________……} 五.同步自测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（2026·广西贺州·二模）下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）小明同学把收支情况用正数和负数表示，若收入100元记为+100元，则支出80元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）在下列选项中，既是分数，又是负数的是（    ） A．4 B．5 C． D． 4．（25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 5．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 7．（24-25六年级上·山东泰安·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2025·贵州贵阳·二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． （二）填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 9．（25-26七年级上·山西长治·期末）如果超出标准零件尺寸记作，那么不足标准零件尺寸记作________． 10．（2026·河南平顶山·三模）临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 11．（2026·辽宁铁岭·二模）如图是某市2026年1月1日的天气预报图，温度为，则这天的最低气温为________． 12．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 13．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是_____． 14．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）下列各数：2.5，，0，21，，中，属于分数的有___________________．（填入符合条件的数） 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，分数的个数为_________，整数的个数为_________，非负数的个数为_________． 16．（2024七年级上·江苏·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． （三）解答题（本大题共4小题，共9分） 17．（24-25七年级上·全国·随堂练习）写出与下列各量具有相反意义的量： （1）存入20000元； （2）价格下降； （3）潜水艇下潜； （4）节约水． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用正数、负数表示下列各题中的量： （1）冥王星离太阳非常远，接受的太阳能也非常少，表面温度一般在零下左右，甚至可能低至约零下． （2）位于南美洲安第斯山区的喀喀湖是世界上海拔最高的大淡水湖之一，湖面高于海平面．位于阿拉伯半岛的死海是世界上海拔最低的湖泊，湖面低于海平面． 19．（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． （1）正有理数集合；｛____________________…｝ （2）负有理数集合：｛____________________…｝ （3）整数集合：｛____________________…｝ 20．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，，，，． 正有理数集合：｛____________________…｝ 非正整数集合：｛____________________…｝ 正分数集合：｛____________________…｝ 负分数集合：｛____________________…｝ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $