专题01 正数与负数、数轴（暑假预习讲义）-2026-2027学年苏科版数学七年级上册.

专题01正数与负数、数轴 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.正负数板块：讲解相反意义的量的定义，正负数、0的概念，以及正负数在生活场景中的实际应用 2.有理数板块：介绍有理数的定义，细化数的归类范围，讲解两种标准分类方法，梳理易混淆数的概念辨析 3.数轴基础板块：阐述数轴的定义与三要素，讲解标准作图步骤，说明有理数与数轴上点的对应关系 4.数轴应用板块：总结数轴分布特征，依托数轴掌握读数、描点方法，利用数轴实现有理数大小比较与排序 ✅本节是七年级上册有理数章节的入门内容，知识脉络由浅入深、层层递进。 整体分为四大核心学习板块，完整覆盖本节全部考点，串联起有理数认知与数轴工具的基础内容，是后续相反数、绝对值、有理数四则运算学习的重要前提。 ✺学习目标： 1. 认知相反意义的量，掌握正负数的实际意义，能够用正负数精准表示生活中的相反数量关系。 2. 明晰有理数的完整概念，厘清整数、分数的归属范围，熟练掌握两种有理数分类方式，熟知0的特殊数学属性。 3. 熟记数轴三大核心要素，掌握数轴的规范绘制方法，具备数轴辨错、有理数描点和读数的基础能力。 4. 掌握数轴的核心分布规律，学会利用数轴直观比较有理数大小，初步建立数形结合的数学思维。 5. 规范数学作图与答题习惯，夯实有理数入门基础，为后续数与式的学习做好铺垫。 ✺题型归纳： 题型1.正负数的定义 题型2.用正负数表示相反意义的量 题型3.正负数的实际应用 题型4.有理数的定义 题型5.考查0的意义 题型6.有理数的分类 题型7.带“非”字有理数 题型8.数轴三要素及其画法 题型9.用数轴上的点表示有理数 题型10.利用数轴比较有理数的大小 题型11.数轴上两点之间的距离 题型12.数轴上点的平移（动点问题） 题型13.在数轴上找原点 题型14.数轴上整点覆盖问题 题型15.数轴上的规律探究 题型16.巩固测试 ✺知识◆清单 一、正数与负数 ▶相反意义的量 1.在生活中，属性相同、意义相反的两种量，称为相反意义的量。我们可自主规定一方为正，另一方即为负。 常见对应场景：零上⟷ 零下、收入⟷ 支出、上升⟷ 下降、向东⟷ 向西、盈利⟷ 亏损。 示例：温度零上5℃记作+5℃，零下3℃记作-3℃；收入200元记作+200元，支出100元记作-100元。 ★注意：相反意义的量只要求意义相反，数值可以不相等。 2.正数、负数与0的核心定义 正数：大于0的数，正数前面的“+”号可省略不写。 负数：在正数前加“-”号的数，负号绝对不能省略。 0的特殊性（必考）：0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界数，同时是最小的自然数。 示例：正数：+2、3.5、10；负数：-1、-0.6、-；0单独归类，不归属正负。 3.实际应用规则 做题时可根据题意自主设定正方向，相反意义的量自动为负，结合题意直接书写即可。 二、有理数的概念与分类 1.有理数定义：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可以转化为分数形式。 2.数的细分归类范围 整数：正整数、0、负整数； 分数：正分数、负分数。有限小数、无限循环小数均可化分数，属于有理数。 示例：整数：-5、0、8；分数：、-0.4、3.6、，以上全部属于有理数。 3.有理数两大分类方法 ① 按定义分类：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； ② 按符号性质分类：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 4.重点易混辨析（预习必记） ① 无限不循环小数不是有理数； 示例辨析：3.14是有限小数，属于有理数；π是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数。 ② 0是整数，不是分数； ③ 自然数范围：0和正整数（负整数不属于自然数）； ④ 数的分类核心原则：不重复、不遗漏。 三、数轴基础（数形结合核心工具） 1.数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 2.三要素精准解读 数轴三要素 定义说明 核心要求（预习必记） 原点 数轴上表示0的点，是正数和负数的分界中心 位置适中，必须明确标注0 正方向 规定数轴的正向延伸方向，默认向右为正 直线右端必须标注箭头，不可省略 单位长度 人为规定的、用于度量数的线段长度 同一数轴上单位长度必须完全统一、均匀等分 3.标准数轴画图步骤 第一步：画水平直线，绘制一条平整的横向直线，线条平直规范，作为数轴的基础载体，切忌倾斜、弯折。 第二步：定原点、标数字，在直线居中合适位置选取一点作为原点，必须清晰标注数字 0，原点是正负数的唯一分界点，位置居中美观、不偏移。 第三步：定正方向、画箭头，统一规定向右为正方向，在直线最右端绘制标准箭头，箭头清晰醒目，不可缺失、倒置或画在左侧。 第四步：统一单位、标刻度，以原点为中心，向左右两侧截取长度完全相等、间距均匀的单位线段，依次标注对应整数刻度。 4.数与数轴点的对应关系 所有有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，但数轴上的点不一定是有理数（包含无理数）。 示例：-2、0、1.5、均可在数轴精准描点；数轴上π对应的点，不是有理数。 四、数轴性质与实战应用 1.数轴分布与大小规律 ▶数轴拥有固定的位置与大小属性：原点右侧为正数，左侧为负数，恒定满足正数＞0＞负数，所有正数均大于负数。 依托这一规律，可快速判断任意有理数的大小关系。 2.数轴比大小核心法则 数轴通用黄金法则：数轴上右侧的数，永远大于左侧的数。该方法可直观解决多个有理数的大小比较、有序排序问题，是数形结合解题的基础。 示例：-3位于-1左侧，因此-3 < -1；综合排序可得：2 > 0 > -4。 3.基础实操应用 ▶借助数轴可完成基础实操题型，包括数轴读数、有理数精准描点、多数大小比较与有序排序，是初中数学数形结合思想的入门核心工具。 4.非正数、非负数的数轴解读 结合数轴可直观区分非正数与非负数，深度落地0的特殊性质。数轴上原点及右侧的所有点，对应非负数（正数、0）；原点及左侧的所有点，对应非正数（负数、0）。 示例：-4、-1.5、0为非正数；0、2、3.8为非负数，其中0是唯一兼具非正数、非负数属性的特殊数。 5.数轴区间找点 ▶利用数轴可快速筛选指定取值范围内的整数、正整数、负整数，有效避免漏数、错数。 示例：大于-3且小于2的整数，可通过数轴精准找出：-2、-1、0、1。 ▶区间取值细化规则 取值需严格区分端点规则：含等号（≥、≤）代表包含端点数值，不含等号（＞、＜）代表舍去端点数值；数轴取值不仅限于整数，同样适用于小数、分数。 示例1（不含端点）：大于-2且小于1的整数：-1、0 示例2（含端点）：大于等于-1且小于等于2的整数：-1、0、1、2 💡 预习点拨：利用数轴找点可以有效规避漏数、错数的问题，尤其区分正负整数、包含/不包含端点的取值情况，直观且不易出错。 6.数轴两点距离计算 ▶同一数轴上，任意两点距离计算公式：右侧大数 -左侧小数。数轴距离恒为正数，是后续学习绝对值几何意义的重要铺垫。 示例：数轴上-4和3两点的距离：3-(-4)=7，即两点相隔7个单位长度。 原点右侧为正数，原点左侧为负数；大小关系：正数＞0＞负数，正数永远大于负数。 7.数轴上点的移动规律 核心口诀：右加左减。点向右移动，数值增大，做加法运算；点向左移动，数值减小，做减法运算，移动的单位长度即为加减的数值。 示例：表示-2的点向右移动3个单位：-2+3=1；向左移动2个单位：-2-2=-4。 ✺题型◆精讲 题型1.正负数的定义 1．在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 3．将下列各数填在相应的括号里：，，3.33，，，42． 整数集合：{    ……}，分数集合：{    ……}， 正数集合：{    ……}，负数集合：{    ……}， 题型2.用正负数表示相反意义的量 1．中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（     ） A． B． C． D． 2．若温度上升5℃记作，则温度下降9℃记作________℃． 3．下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 题型3.正负数的实际应用 1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 2．某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 3．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 题型4.有理数的定义 1．下列选项中等于7的有理数是（     ） A．7 B． C． D． 2．在，这些数中，有理数有__________个． 3．我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算筹计数法可追溯到公元前五世纪．算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种(如图)．它计数的方法是∶摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如，表示为；如，表示为． (1)请用算筹表示数(在图中画出) (2)用三根算筹表示一个两位数(用完三根算筹)，在图的方框中画出四种满足要求的图形，并在下方的横线上填上所表示的数． 题型5.考查0的意义 1．某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 2．下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 3．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，． (1)正数集合：． (2)整数集合：． (3)分数集合：． 题型6.有理数的分类 1．在，0，，，，，中，负数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各数：其中属于非整数有理数的有___________个． 3．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 题型7.带“非”字有理数 1．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 3．把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 题型8.数轴三要素及其画法 1．下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 3．画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 题型9.用数轴上的点表示有理数 1．如图，数轴上，点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 2．直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 3．在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 题型10.利用数轴比较有理数的大小 1．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 3．画出数轴，表示下列有理数， 并用“”将各数连接起来．   ，，0，， 题型11.数轴上两点之间的距离 1．如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 2．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    3．如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 题型12.数轴上点的平移（动点问题） 1．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 2．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 3．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 题型13.在数轴上找原点 1．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 2．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 3．如图，已知一条直线上有四个点A，B，C，D，其中，，．请在给定的直线上确定一点作为原点，建立数轴，并写出这四个点所表示的数． 题型14.数轴上整点覆盖问题 1．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 2．如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 3．点A，B在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的有理数是_______，表示有理数“”的点是______，A，B两点之间的距离为_____个单位长度； (2)写出大于小于2的所有整数． 题型15.数轴上的规律探究 1．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 2．如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是________． 3．已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． ✺巩固测试 一、单选题 1．在实数，，0，6中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出（     ） A．价 B．价 C．价 D．价 4．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 5．如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．列关于有理数的描述 ①有限小数和无限循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数有______个． 7．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 8．有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________． 9．如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有________个． 10．如图，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点中___________可能是数轴的原点． 三、解答题 11．将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ 12．完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 13．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 14．一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 15．（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01正数与负数、数轴暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.正负数板块：讲解相反意义的量的定义，正负数、0的概念，以及正负数在生活场景中的实际应用 2.有理数板块：介绍有理数的定义，细化数的归类范围，讲解两种标准分类方法，梳理易混淆数的概念辨析 3.数轴基础板块：阐述数轴的定义与三要素，讲解标准作图步骤，说明有理数与数轴上点的对应关系 4.数轴应用板块：总结数轴分布特征，依托数轴掌握读数、描点方法，利用数轴实现有理数大小比较与排序 ✅本节是七年级上册有理数章节的入门内容，知识脉络由浅入深、层层递进。 整体分为四大核心学习板块，完整覆盖本节全部考点，串联起有理数认知与数轴工具的基础内容，是后续相反数、绝对值、有理数四则运算学习的重要前提。 ✺学习目标： 1. 认知相反意义的量，掌握正负数的实际意义，能够用正负数精准表示生活中的相反数量关系。 2. 明晰有理数的完整概念，厘清整数、分数的归属范围，熟练掌握两种有理数分类方式，熟知0的特殊数学属性。 3. 熟记数轴三大核心要素，掌握数轴的规范绘制方法，具备数轴辨错、有理数描点和读数的基础能力。 4. 掌握数轴的核心分布规律，学会利用数轴直观比较有理数大小，初步建立数形结合的数学思维。 5. 规范数学作图与答题习惯，夯实有理数入门基础，为后续数与式的学习做好铺垫。 ✺题型归纳： 题型1.正负数的定义 题型2.用正负数表示相反意义的量 题型3.正负数的实际应用 题型4.有理数的定义 题型5.考查0的意义 题型6.有理数的分类 题型7.带“非”字有理数 题型8.数轴三要素及其画法 题型9.用数轴上的点表示有理数 题型10.利用数轴比较有理数的大小 题型11.数轴上两点之间的距离 题型12.数轴上点的平移（动点问题） 题型13.在数轴上找原点 题型14.数轴上整点覆盖问题 题型15.数轴上的规律探究 题型16.巩固测试 ✺知识◆清单 一、正数与负数 ▶相反意义的量 1.在生活中，属性相同、意义相反的两种量，称为相反意义的量。我们可自主规定一方为正，另一方即为负。 常见对应场景：零上⟷ 零下、收入⟷ 支出、上升⟷ 下降、向东⟷ 向西、盈利⟷ 亏损。 示例：温度零上5℃记作+5℃，零下3℃记作-3℃；收入200元记作+200元，支出100元记作-100元。 ★注意：相反意义的量只要求意义相反，数值可以不相等。 2.正数、负数与0的核心定义 正数：大于0的数，正数前面的“+”号可省略不写。 负数：在正数前加“-”号的数，负号绝对不能省略。 0的特殊性（必考）：0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界数，同时是最小的自然数。 示例：正数：+2、3.5、10；负数：-1、-0.6、-；0单独归类，不归属正负。 3.实际应用规则 做题时可根据题意自主设定正方向，相反意义的量自动为负，结合题意直接书写即可。 二、有理数的概念与分类 1.有理数定义：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可以转化为分数形式。 2.数的细分归类范围 整数：正整数、0、负整数； 分数：正分数、负分数。有限小数、无限循环小数均可化分数，属于有理数。 示例：整数：-5、0、8；分数：、-0.4、3.6、，以上全部属于有理数。 3.有理数两大分类方法 ① 按定义分类：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； ② 按符号性质分类：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 4.重点易混辨析（预习必记） ① 无限不循环小数不是有理数； 示例辨析：3.14是有限小数，属于有理数；π是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数。 ② 0是整数，不是分数； ③ 自然数范围：0和正整数（负整数不属于自然数）； ④ 数的分类核心原则：不重复、不遗漏。 三、数轴基础（数形结合核心工具） 1.数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 2.三要素精准解读 数轴三要素 定义说明 核心要求（预习必记） 原点 数轴上表示0的点，是正数和负数的分界中心 位置适中，必须明确标注0 正方向 规定数轴的正向延伸方向，默认向右为正 直线右端必须标注箭头，不可省略 单位长度 人为规定的、用于度量数的线段长度 同一数轴上单位长度必须完全统一、均匀等分 3.标准数轴画图步骤 第一步：画水平直线，绘制一条平整的横向直线，线条平直规范，作为数轴的基础载体，切忌倾斜、弯折。 第二步：定原点、标数字，在直线居中合适位置选取一点作为原点，必须清晰标注数字 0，原点是正负数的唯一分界点，位置居中美观、不偏移。 第三步：定正方向、画箭头，统一规定向右为正方向，在直线最右端绘制标准箭头，箭头清晰醒目，不可缺失、倒置或画在左侧。 第四步：统一单位、标刻度，以原点为中心，向左右两侧截取长度完全相等、间距均匀的单位线段，依次标注对应整数刻度。 4.数与数轴点的对应关系 所有有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，但数轴上的点不一定是有理数（包含无理数）。 示例：-2、0、1.5、均可在数轴精准描点；数轴上π对应的点，不是有理数。 四、数轴性质与实战应用 1.数轴分布与大小规律 ▶数轴拥有固定的位置与大小属性：原点右侧为正数，左侧为负数，恒定满足正数＞0＞负数，所有正数均大于负数。 依托这一规律，可快速判断任意有理数的大小关系。 2.数轴比大小核心法则 数轴通用黄金法则：数轴上右侧的数，永远大于左侧的数。该方法可直观解决多个有理数的大小比较、有序排序问题，是数形结合解题的基础。 示例：-3位于-1左侧，因此-3 < -1；综合排序可得：2 > 0 > -4。 3.基础实操应用 ▶借助数轴可完成基础实操题型，包括数轴读数、有理数精准描点、多数大小比较与有序排序，是初中数学数形结合思想的入门核心工具。 4.非正数、非负数的数轴解读 结合数轴可直观区分非正数与非负数，深度落地0的特殊性质。数轴上原点及右侧的所有点，对应非负数（正数、0）；原点及左侧的所有点，对应非正数（负数、0）。 示例：-4、-1.5、0为非正数；0、2、3.8为非负数，其中0是唯一兼具非正数、非负数属性的特殊数。 5.数轴区间找点 ▶利用数轴可快速筛选指定取值范围内的整数、正整数、负整数，有效避免漏数、错数。 示例：大于-3且小于2的整数，可通过数轴精准找出：-2、-1、0、1。 ▶区间取值细化规则 取值需严格区分端点规则：含等号（≥、≤）代表包含端点数值，不含等号（＞、＜）代表舍去端点数值；数轴取值不仅限于整数，同样适用于小数、分数。 示例1（不含端点）：大于-2且小于1的整数：-1、0 示例2（含端点）：大于等于-1且小于等于2的整数：-1、0、1、2 💡 预习点拨：利用数轴找点可以有效规避漏数、错数的问题，尤其区分正负整数、包含/不包含端点的取值情况，直观且不易出错。 6.数轴两点距离计算 ▶同一数轴上，任意两点距离计算公式：右侧大数 -左侧小数。数轴距离恒为正数，是后续学习绝对值几何意义的重要铺垫。 示例：数轴上-4和3两点的距离：3-(-4)=7，即两点相隔7个单位长度。 原点右侧为正数，原点左侧为负数；大小关系：正数＞0＞负数，正数永远大于负数。 7.数轴上点的移动规律 核心口诀：右加左减。点向右移动，数值增大，做加法运算；点向左移动，数值减小，做减法运算，移动的单位长度即为加减的数值。 示例：表示-2的点向右移动3个单位：-2+3=1；向左移动2个单位：-2-2=-4。 ✺题型◆精讲 题型1.正负数的定义 1．在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义，判断给出的数中小于0的数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：，是负数； 不是负数； ，是正数，不是负数； ，是负数. ∴负数共有2个． 2．在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【答案】 4 3 0 【详解】解：正数：，，，，共个； 负数：，，，共个； 既不是正数，也不是负数． 3．将下列各数填在相应的括号里：，，3.33，，，42． 整数集合：{    ……}，分数集合：{    ……}， 正数集合：{    ……}，负数集合：{    ……}， 【答案】见解析 【分析】此题考查了有理数的分类，整数，分数，正数，负数的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据整数，分数，正数，负数的概念求解即可． 【详解】解：， 整数集合：， 分数集合：， 正数集合：， 负数集合：． 题型2.用正负数表示相反意义的量 1．中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵向东记为正， ∴向西记为负， ∴向西走记作． 2．若温度上升5℃记作，则温度下降9℃记作________℃． 【答案】 【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量，已知温度上升记为正数，可得温度下降记为负数，据此即可求解． 【详解】解： 温度上升记作， 温度下降记作． 3．下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)具有相反意义，得20分记为分，扣10分记为分 (2)具有相反意义，增加记为，减少记为 (3)具有相反意义，下去10名记为名，上来8名记为名 (4)无相反意义 【分析】根据正负数的意义，相反意义的量的特点，逐项进行判断即可． 【详解】（1）解：∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴它们是具有相反意义，得20分记为，扣10分记为． （2）解：∵蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴具有相反意义，增加记为，减少记为． （3）解：∵下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴具有相反意义．下去10名记为名，上来8名记为名； （4）解：∵周长是长度量，面积是面积量， ∴两者无相反方向含义，故无相反意义． 题型3.正负数的实际应用 1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 所以满足题意的范围是， 观察各选项，只有B符合题意．． 2．某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 【答案】29.92 【详解】解：由题意可得，该零件的实际直径为：． 3．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 题型4.有理数的定义 1．下列选项中等于7的有理数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题要求选出数值等于的选项，只需直接对比各选项给出的数值即可得到结果 【详解】解：选项A的数值为，符合题意； 选项B的数值为，不等于，不符合题意； 选项C的数值为，不符合题意； 选项D的数值为，不符合题意 2．在，这些数中，有理数有__________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数的知识，依据有理数的定义，区分所给数中的有理数与无理数，再统计有理数的个数，有理数包含整数和分数，分数涵盖有限小数、无限循环小数，无理数为无限不循环小数． 【详解】解：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，分数包括有限小数、无限循环小数，无理数是无限不循环小数， 对所给数逐一判断： 在，这些数中， 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 2021是正整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 可化为，是有限小数，属于有理数； 0.67是有限小数，属于有理数； 属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是负整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数． 综上所述，有理数共有8个． 故答案为：8． 3．我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算筹计数法可追溯到公元前五世纪．算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种(如图)．它计数的方法是∶摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如，表示为；如，表示为． (1)请用算筹表示数(在图中画出) (2)用三根算筹表示一个两位数(用完三根算筹)，在图的方框中画出四种满足要求的图形，并在下方的横线上填上所表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查算筹计数法的应用． （）根据算筹计数法计数的方法，确定数位与摆法，找到对应数字的算筹符号即可解答； （）根据算筹的横式/纵式摆法(个位为纵、十位为横、百位为纵.……纵横交替)；两位数的算筹组合逻辑(十位为横式、个位为纵式，需用完根算筹)； 【详解】（1）解：∵算筹计数法计数的方法是∶摆个位为纵，十位为横，百位为纵， ∴是三位数，数位从右到左依次为个位(纵式)、十位(横式)、百位(纵式)(纵横交替)， （2） 题型5.考查0的意义 1．某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【详解】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． 2．下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【答案】2 【分析】本题考查了正数和负数、0的意义等知识点，掌握零的意义是解题的关键． 根据0的意义逐项判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个． 故答案为：2． 3．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，． (1)正数集合：． (2)整数集合：． (3)分数集合：． 【答案】(1)，， (2)，， (3)，， 【分析】（1）根据大于零的数叫做正数即可解答； （2）根据正整数、零和负整数统称整数即可解答； （3）根据正分数和负分数统称分数即可解答； 【详解】（1）解：∵大于零的数叫做正数， ∴正数集合：，，； （2）解：∵正整数、零和负整数统称整数， ∴整数集合：，，； （3）解：∵正分数和负分数统称分数， ∴分数集合：，，； 【点睛】本题考查了正数的概念、整数的概念、分数的概念，理解对应概念是解题的关键． 题型6.有理数的分类 1．在，0，，，，，中，负数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查负数的基本概念，根据负数的定义，逐一判断各数是否为负数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：负数的定义为小于0的数，0既不是正数也不是负数． ∵，是负数； 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ∴负数一共有4个． 2．下列各数：其中属于非整数有理数的有___________个． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的分类，根据分数的定义，有限小数和循环小数都属于分数，因此对所有给出的数进行判断即可． 【详解】解：是有限小数，可化为分数； 是分数； 0.27是有限小数，可化为分数； 2025是整数； 0是整数； 是循环小数，可化为分数． 所以，其中属于非整数有理数共有4个． 故答案为：4． 3．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 题型7.带“非”字有理数 1．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 2．下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【答案】6 【分析】根据非负数的定义，找出题目中符合要求的数，统计其个数即可得到结果． 【详解】解：非负数为：，，，，，，共有个． 3．把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【答案】，，；，，；， 【分析】根据有理数的分类进行逐个分析，即可得答案． 【详解】解：分数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{，，…}． 题型8.数轴三要素及其画法 1．下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：数轴负半轴数的顺序错误，故A选项画法错误； B选项：数轴的单位长度不统一，故B选项画法错误； C选项：数轴的原点、正方向、单位长度表示正确，故C选项画法正确； D选项：数轴的正方向错误，故D选项画法错误． 2．在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】见解析 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】解：如图： 3．画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 【答案】①见解析；②见解析；③见解析 【详解】解:作图如下： 题型9.用数轴上的点表示有理数 1．如图，数轴上，点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定点表示的数的取值范围，再结合选项进行判断即可求解． 【详解】解：由数轴可知，点在与之间，且靠近． 点表示的数满足． A选项，不符合题意． B选项，不符合题意． C选项满足，符合题意． D选项，均不符合题意． 2．直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 【答案】 【分析】先理解题意，观察观察数轴，分析数轴的信息得点表示的数是，再列式计算得出点表示的数，即可作答． 【详解】解：观察数轴得出直线上点表示的数是， 依题意，得， ∴点表示的数是，点表示的数是． 3．在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 【答案】如图所示： 【详解】略 题型10.利用数轴比较有理数的大小 1．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数最小的是点． 2．如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断的取值范围，进而确定的取值范围，再与比较大小． 【详解】解：由数轴可知，， 根据相反数的性质，负数的相反数为正数，且绝对值相等，可得： ， 又由数轴得：， 因此． 3．画出数轴，表示下列有理数， 并用“”将各数连接起来．   ，，0，， 【答案】， . 【分析】先化简题目给出的各有理数，再在数轴上表示出各数，利用数轴上右边的数总比左边的数大的性质，即可将各数按从小到大连接． 【详解】解 先化简各数：；， 画出数轴，在数轴上标出五个数对应的点，如图所示： 根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得． 题型11.数轴上两点之间的距离 1．如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：点表示的数为， ∵两点间的距离是， 从开始往左数个单位长度即为点表示的数， ∴点表示的数是． 2．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    【答案】3 【分析】先由数轴上两点间距离公式可得，即，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 【详解】解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，，5， ∴， ∵， ∴， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴． 3．如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析， 【分析】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）解：将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 题型12.数轴上点的平移（动点问题） 1．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是1，向左移动2个单位对应的数是，只有B正确． 2．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 3．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 题型13.在数轴上找原点 1．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 2．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 【答案】 4 2或6 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图，∵数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． ∴O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）点C表示的数为或． 故答案为：2或6； 3．如图，已知一条直线上有四个点A，B，C，D，其中，，．请在给定的直线上确定一点作为原点，建立数轴，并写出这四个点所表示的数． 【答案】数轴见解析，四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，， 【分析】本题考查在直线上建立数轴，熟练掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）是解题的关键．根据给定的线段长度和方向，在直线上建立数轴，并确定A，B，C，D所表示的数． 【详解】解：如图，以点C为原点，向右方向为正方向，长为1个单位长度建立数轴， 四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，，． 题型14.数轴上整点覆盖问题 1．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． 2．如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 3．点A，B在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的有理数是_______，表示有理数“”的点是______，A，B两点之间的距离为_____个单位长度； (2)写出大于小于2的所有整数． 【答案】(1)3，， (2)，0，1 【分析】本题主要考查了数轴和实数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）利用数轴上的点和实数的对应关系进行求解即可； （2）利用数轴进行求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，点B表示的有理数是3， 表示有理数“”的点是， A，B两点之间的距离为， 故答案为：3，，； （2） 解：由数轴可得，大于小于2的所有整数为，0，1． 题型15.数轴上的规律探究 1．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 2．如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是________． 【答案】Q 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据圆的周长为4，且，，，为圆的四等分点，可得数轴上负方向上从2开始的整数每4个数为一个循环，依次对应，，，四点，求得到2的距离，然后计算即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2开始的整数每4个数为一个循环，依次对应，，，四点， ∵数轴上表示的点到2的距离为，， ∴圆上落在数轴上的点是Q， 故答案为：Q． 3．已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【答案】(1) (2) (3)三； 【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位． （1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； 故答案为：； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合； 故答案为：； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 故答案为：三；． ✺巩固测试 一、单选题 1．在实数，，0，6中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据“负数小于0”的定义逐一判断给定数即可得到结果． 【详解】解：∵负数是小于的实数， 对给出的数逐一判断：，是负数；，是负数；既不是正数也不是负数；，是正数；∴一共有个负数． 2．我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：根据正数和负数表示具有相反意义的量，可知海平面以上9050米记作米． 3．如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出（     ） A．价 B．价 C．价 D．价 【答案】C 【分析】根据题干给出的化合价与得失电子的关系推导即可． 【详解】解：如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出价． 4．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 5．如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知，点在点的左边， ∴点表示的数是． 二、填空题 6．列关于有理数的描述 ①有限小数和无限循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的定义，0的意义，有理数分为正有理数，0和负有理数，有理数又分为整数和分数，0既不是正数，也不是负数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①有限小数和无限循环小数都是有理数，原说法正确； ②0是非负有理数，原说法正确； ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，原说法错误； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，原说法正确． ∴说法正确的有①②④，共3个， 故答案为：3． 7．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【答案】 13 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 8．有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，理解题意是解决本题的关键． 根据数轴可得和，进而即可得解． 【详解】解：由图可得，，且， ∴， 故答案为：． 9．如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，正确理解题意是解题的关键．根据有理数大小比较的方法确定出、分别介于哪两个整数之间，进而即可得出A、B两点之间表示整数的点个数． 【详解】解：，， ∴所以大于并且小于的整数有、、、0、1、2共6个． 故答案为：6． 10．如图，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点中___________可能是数轴的原点． 【答案】点C或点D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算，根据题意可分为当原点在有理数表示的点和有理数表示的点之间时，及当原点在有理数表示的点和有理数表示的点的右侧时，这两种情况分类讨论，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：当原点在有理数表示的点和有理数表示的点之间时， ∵有理数a表示的点到原点距离是有理数b表示的点到原点距离的3倍， 且点C在有理数表示的点和有理数表示的点之间，有理数表示的点到点C距离是有理数表示的点到点C距离的3倍， ∴点C可能是数轴的原点， 当原点在有理数表示的点和有理数表示的点的右侧时， ∵有理数a表示的点到原点距离是有理数b表示的点到原点距离的3倍， 且点D在有理数表示的点和有理数表示的点的右侧，有理数表示的点到点D距离是有理数表示的点到点D距离的3倍， ∴点D可能是数轴的原点， 故答案为：点C或点D ． 三、解答题 11．将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ 【答案】，，，，；，，，，；，，，，；，，， 【分析】根据整数，分数，正数，负数的定义，把各数填入相应的集合里面即可． 【详解】解：整数集合：｛，，，，…｝ 分数集合：｛，，，，…｝ 正数集合：｛，，，，…｝ 负数集合：｛，，，…｝ 12．完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据数轴三要素画图即可； （2）将5个数在数轴上表示出来，然后根据数轴左边的数小于右边的数用“”号把这些数连接起来． 【详解】（1）解：如图所示，数轴即为所求； （2）解：如图所示， ∴． 13．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】（1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论； （2）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴可得，点A、B、C三点表示的数分别为3； 故答案为：3 （2）∵， ∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是． 故答案为：； （3）将点A向右平移个单位长度，点A所表示的数是，将点A向左平移个单位长度，点A所表示的数是． 故答案为：或． 14．一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把所有数据相加即可解答； （2）把跑过的路程相加即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 15．（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 【答案】（1）①这根木棒的长为7；②；（2）①；②， 【分析】本题考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用材料的解题模型去求解奶奶与小明的年龄差，进而求出奶奶的年龄和小明的年龄． （1）①最大数减去最小数，再除以3即可；②依次加7即可解答； （2）①；②用减去得到奶奶年龄，再减55即可得到小明年龄． 【详解】解：（1）①，， 这根木棒的长为7； ②图中点所表示的数是：，点所表示的数是：， 故答案为：； （2）①奶奶和小明的年龄差为：（岁）， ②奶奶现在的年龄：（岁），小明现在的年龄：（岁）． 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $