精品解析：吉林省长春市二道区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

八年级数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式：，，，，属于分式的共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 长春市持续推进伊通河全域生态治理，环保工作人员定期对河道水体开展精细化水质检测．在实验室显微镜观测下，水样里的微塑料污染物颗粒极其微小，实测单颗颗粒直径仅有米．其中数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的、都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）． A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 扩大倍 4. 在正方形网格中，点、、的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系后，点的横坐标和点的纵坐标都是，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，对角线、相交于点．请添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学随机抽取名八年级学生开展一分钟跳绳体能测试，统计每位学生的跳绳次数后，整理数据并绘制成如图所示的箱线图，则这名学生一分钟跳绳次数的上四分位数是（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形、菱形与正方形的复习课上，小明绘制了如图的知识结构框架图，图中箭头处所填判定条件错误的一项是（ ）      A. ①：一个角是直角 B. ②：对角线相等 C. ③：对角线互相垂直 D. ④：一个角是直角 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：________． 10. 分式与的最简公分母是________． 11. 某中学举办八年级春季短跑达标赛，甲、乙两名同学各完成次百米计时测试，两人百米成绩的平均用时均为秒，方差分别为，，则这次百米计时测试成绩波动更小、发挥更稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 12. 如图，一次函数和的图象交于轴同一点，则的值为________． 13. 如图，已知菱形的边长为，，对角线、相交于点．则这个菱形的对角线的长为________．（结果保留根号） 14. 如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点，交于点，交于点，连结．给出以下四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④当，时，．其中正确结论的序号有________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 解方程：． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，仅使用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作出符合条件的四边形，使点、在格点上． （1）在图①中，作四边形为正方形； （2）在图②中，作四边形为平行四边形，使其面积等于． 18. 科技赋能产业发展，我国大力推进数字科技产品落地应用．某科技公司承接一批智能数字终端生产任务，共计需要生产台设备．为提高生产效率，公司优化生产技术，实际每月生产数量是原计划的倍，最终比原计划提前个月完成全部生产任务，求该公司原计划每月生产智能数字终端多少台？ 19. 如图，在中，为边的中点，的延长线交的延长线于点，连接，，．求证：四边形是矩形． 20. 冰雪运动是吉林省最亮眼的名片之一，其中学开展“助力入冬会冰雪进校园”活动，组织学生进行冰壶定点投壶训练．甲、乙两名同学各投壶10次，统计投中得分情况，绘制成如下统计图．（注：得分规则：投中不同区域分别得6分、7分、8分、9分、10分，投中次数为对应得分的次数） （1）甲同学定点投壶成绩的中位数为_____分；乙同学定点投壶成绩的众数为_____分； （2）计算甲、乙两名同学定点投壶成绩的平均数并从平均数的角度判断谁的定点投壶成绩更好一些； （3）若乙同学又多投了一次壶，命中了7分，其中会改变的统计量为_____．（填序号） ①平均数 ②众数 ③中位数 21. 周末，小明从家中出发，准备乘坐公交车前往图书馆学习．他先步行到公交站，随后在公交站等车一段时间后，再乘坐公交车前往目的地（全程匀速运动，不考虑其他停留）．小明离家的距离（千米）与离开家的时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）小明在公交站等候车辆的时长为________分钟； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当小明离家的距离恰好为千米时，小明离开家________分钟． 22. 【教材呈现】如图是华师大版八年级下册数学教材页的部分内容． ▶例如图，在中，点、分别是边和的中点．求证：，． 分析：如图，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得，． 以下是小明写的部分证明过程： 证明：如图①，过点作，且与的延长线交于点． ∵， ． ∵点、分别是边和的中点， ，． 证明过程缺失 （1）请你帮助小明补全上述证明过程． （2）【知识应用】 如图②，一根人字梯撑开后，两侧梯腿接地端间距为，梯子中间横向连结杆恰好是两梯腿中点连线，则这根连结杆的长度为________； （3）【拓展提升】 如图③，在四边形中，对角线，、、、分别是边、、、的中点，则四边形的周长为________． 23. 如图，在平行四边形中，于点，，，．动点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，连结，当点运动到点时两点同时停止运动，设点的运动时间为秒（）． （1）线段的长度为________； （2）当点运动到的延长线上时，的长度为________；（请用含的代数式表示，不要求写出的取值范围） （3）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； （4）点是边上一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线：经过点和点，与直线：相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求点的坐标； （3）点是轴上一动点，设其横坐标为，连结． ①当的面积为时，求的值； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式：，，，，属于分式的共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，分母含有字母则是分式，分母为常数不含字母则不是分式． 【详解】解： 的分母含有字母，即是分式； 是整式，不是分式； 是常数， 的分母是常数，不含字母，即 不是分式； 的分母含有字母，即 是分式． 综上，分式共有 个． 2. 长春市持续推进伊通河全域生态治理，环保工作人员定期对河道水体开展精细化水质检测．在实验室显微镜观测下，水样里的微塑料污染物颗粒极其微小，实测单颗颗粒直径仅有米．其中数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：对于，左起第一个非零数字为，第一个非零数字前共有个零，且，符合科学记数法对的要求． ． 3. 如果把分式中的、都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）． A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 扩大倍 【答案】C 【解析】 【分析】将x、y扩大后的数值代入原分式，化简后与原分式比较，即可得到分式值的变化情况． 【详解】解：当x、y都扩大为原来的2倍时，用代替原x，代替原y，代入分式得： ，即化简后结果与原分式相等，分式的值不变． 4. 在正方形网格中，点、、的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系后，点的横坐标和点的纵坐标都是，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点的横坐标和点的纵坐标都是确认原点，画出坐标系后判断点的坐标． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图： 由图可知，点的坐标为． 5. 如图，在四边形中，，对角线、相交于点．请添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：A、当添加时，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当添加时，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当添加时，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当添加时，则根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故符合题意． 6. 某中学随机抽取名八年级学生开展一分钟跳绳体能测试，统计每位学生的跳绳次数后，整理数据并绘制成如图所示的箱线图，则这名学生一分钟跳绳次数的上四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由箱线图可知：这名学生一分钟跳绳次数的上四分位数是． 7. 在矩形、菱形与正方形的复习课上，小明绘制了如图的知识结构框架图，图中箭头处所填判定条件错误的一项是（ ）      A. ①：一个角是直角 B. ②：对角线相等 C. ③：对角线互相垂直 D. ④：一个角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知该选项正确，故不符合题意； B、根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可知该选项错误，故符合题意； C、根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可知该选项正确，故不符合题意； D、根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知该选项正确，故不符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质得到的面积，再根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵的面积为， ∴， ∵轴， ∴根据反比例函数的几何意义可知：， ∵函数的图象在第一象限， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：________． 【答案】##0.25 【解析】 【详解】解：． 10. 分式与的最简公分母是________． 【答案】 【解析】 【分析】确定最简公分母的方法为取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积，据此计算即可． 【详解】解：两个分式的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为． 11. 某中学举办八年级春季短跑达标赛，甲、乙两名同学各完成次百米计时测试，两人百米成绩的平均用时均为秒，方差分别为，，则这次百米计时测试成绩波动更小、发挥更稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】当两组数据平均数相等时，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，据此即可解答． 【详解】解：∵两人百米成绩的平均用时相等，且，，， ∴，即乙的成绩波动更小，发挥更稳定． 12. 如图，一次函数和的图象交于轴同一点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据与轴的交点，求出该点的坐标，将其代入，即可求出值． 【详解】解：交轴一点， 令，则， 该点坐标为． 一次函数和的图象交于轴同一点， 在直线解析式上， ， ． 13. 如图，已知菱形的边长为，，对角线、相交于点．则这个菱形的对角线的长为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，，，然后可得是等边三角形，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点，交于点，交于点，连结．给出以下四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④当，时，．其中正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，，，进而根据割补法及勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形，都是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∴，故①正确； ∴，，， ∵， ∴，即，故②错误； ∴，故③正确； 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有①③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可. 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的求解方法，注意解分式方程一定要验根．观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：， 去分母得， 解得． 检验：把代入公分母得：，即是原分式方程的增根； ∴原方程无解． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，仅使用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作出符合条件的四边形，使点、在格点上． （1）在图①中，作四边形为正方形； （2）在图②中，作四边形为平行四边形，使其面积等于． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质进行作图即可； （2）根据平行四边形的性质进行作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图略， 由图可知，四边形的面积为． 18. 科技赋能产业发展，我国大力推进数字科技产品落地应用．某科技公司承接一批智能数字终端生产任务，共计需要生产台设备．为提高生产效率，公司优化生产技术，实际每月生产数量是原计划的倍，最终比原计划提前个月完成全部生产任务，求该公司原计划每月生产智能数字终端多少台？ 【答案】该公司原计划每月生产智能数字终端台 【解析】 【分析】设该公司原计划每月生产智能数字终端台，则实际每月生产台设备，根据“比原计划提前个月完成全部生产任务”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该公司原计划每月生产智能数字终端台，则实际每月生产台设备． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：该公司原计划每月生产智能数字终端台． 19. 如图，在中，为边的中点，的延长线交的延长线于点，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中： ， ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，得出，则，，证明，得出，结合，得出四边形是平行四边形，结合，证出四边形是矩形． 【详解】略 20. 冰雪运动是吉林省最亮眼的名片之一，其中学开展“助力入冬会冰雪进校园”活动，组织学生进行冰壶定点投壶训练．甲、乙两名同学各投壶10次，统计投中得分情况，绘制成如下统计图．（注：得分规则：投中不同区域分别得6分、7分、8分、9分、10分，投中次数为对应得分的次数） （1）甲同学定点投壶成绩的中位数为_____分；乙同学定点投壶成绩的众数为_____分； （2）计算甲、乙两名同学定点投壶成绩的平均数并从平均数的角度判断谁的定点投壶成绩更好一些； （3）若乙同学又多投了一次壶，命中了7分，其中会改变的统计量为_____．（填序号） ①平均数 ②众数 ③中位数 【答案】（1）8；6 （2）甲的平均数，乙的平均数，甲的成绩更好 （3）① 【解析】 【分析】（1）将甲同学10次定点投壶成绩由小到大排列，第5位与第6位的平均数即为中位数，将乙同学10次定点投壶成绩由小到大排列，出现次数最多的成绩即为众数； （2）分别求出甲乙两位同学定点投壶成绩的平均数，较大的成绩好一些； （3）分别计算出乙同学10次定点投壶成绩的平均数、众数、中位数，再计算出多投了一次壶，命中了7分，这11次定点投壶成绩平均数、众数、中位数，即可求解． 【小问1详解】 解：由统计图可知， 甲同学定点投壶的10次成绩由小到大排列：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10． 第5次与第6次成绩的成绩为：8，8， ∴甲同学定点投壶成绩的中位数， 乙同学定点投壶的10次成绩由小到大排列：6，6，6，6，7，7，8，9，9，10． 6出现的次数最多，有4次， ∴乙同学定点投壶成绩的众数为6； 【小问2详解】 解：甲同学定点投壶成绩的平均数， 乙同学定点投壶成绩的平均数， ∵， ∴甲同学定点投壶成绩更好一些； 【小问3详解】 解：乙同学定点投壶10次平均数为7.4，众数为6，中位数为7． 乙同学又多投了一次壶，命中了7分，这时 乙同学定点投壶的11次成绩由小到大排列：6，6，6，6，7，7，7，8，9，9，10． 乙同学定点投壶成绩的平均数， 6出现的次数最多，有4次， ∴乙同学定点投壶成绩的众数仍为：6， 第6次定点投壶成绩为：7， ∴中位数仍为：7 综上，改变的统计量为①平均数． 21. 周末，小明从家中出发，准备乘坐公交车前往图书馆学习．他先步行到公交站，随后在公交站等车一段时间后，再乘坐公交车前往目的地（全程匀速运动，不考虑其他停留）．小明离家的距离（千米）与离开家的时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）小明在公交站等候车辆的时长为________分钟； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当小明离家的距离恰好为千米时，小明离开家________分钟． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象进行判断即可； （2）使用待定系数法计算函数表达式； （3）容易判断小明位于图中段，将代入（2）中所求的关系式即可． 【小问1详解】 解：由图可知，当时，为定值， ∴小明在公交站等候车辆的时长为（分钟）； 【小问2详解】 解：设所在直线对应的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴所在直线对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由图可知，当时，小明位于图中段， ∴将代入，得， ， 解得， ∴当小明离家的距离恰好为千米时，小明离开家40分钟． 22. 【教材呈现】如图是华师大版八年级下册数学教材页的部分内容． ▶例如图，在中，点、分别是边和的中点．求证：，． 分析：如图，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得，． 以下是小明写的部分证明过程： 证明：如图①，过点作，且与的延长线交于点． ∵， ． ∵点、分别是边和的中点， ，． 证明过程缺失 （1）请你帮助小明补全上述证明过程． （2）【知识应用】 如图②，一根人字梯撑开后，两侧梯腿接地端间距为，梯子中间横向连结杆恰好是两梯腿中点连线，则这根连结杆的长度为________； （3）【拓展提升】 如图③，在四边形中，对角线，、、、分别是边、、、的中点，则四边形的周长为________． 【答案】（1）证明过程补全如下： ， ， ，， ， ， ∴四边形为平行四边形． ，． ， ，． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形与平行四边形的性质与判定进行求解即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由题意得， ∵点、分别是边和的中点， ∴由（1）可知：； 【小问3详解】 解：∵、、、分别是边、、、的中点， ∴由（1）可知：， ∵， ∴， ∴四边形的周长为． 23. 如图，在平行四边形中，于点，，，．动点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，连结，当点运动到点时两点同时停止运动，设点的运动时间为秒（）． （1）线段的长度为________； （2）当点运动到的延长线上时，的长度为________；（请用含的代数式表示，不要求写出的取值范围） （3）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； （4）点是边上一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度； （2）点从点运动到点需要秒，所以点运动到的延长线上时，； （3）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，分点在线段上和点在的延长线上两种情况求解； （4）以、、、为顶点的四边形是矩形时，分和两种情况求解． 【小问1详解】 解：， ， ，， ； 【小问2详解】 解：，点运动的速度是个单位长度秒， 点从点运动到点需要秒， 当点运动到的延长线上时，； 【小问3详解】 解：如下图所示，当点在线段上且时，四边形是平行四边形， 根据题意可得：， 解得：； 如下图所示，当点在的延长线上且时，四边形是平行四边形， 根据题意可得：， 解得：； 综上所述，当或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； 【小问4详解】 解：如下图所示，当四边形是矩形时，， 则有，， ； 如下图所示，当四边形是矩形，时， 则，， 根据题意可得：， 解得：， ， ； 综上所述，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，或. 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线：经过点和点，与直线：相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求点的坐标； （3）点是轴上一动点，设其横坐标为，连结． ①当的面积为时，求的值； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）①或；②或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个直线解析式求出点坐标即可； （3）①根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可；②分两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵直线：经过点和点， ∴，解得； ∴； 【小问2详解】 解：联立，解得； ∴； 【小问3详解】 解：①由题意，的面积， ∴， ∴或； ②∵； ∴， 当点在点左侧时，则当时，，，满足题意； 此时； 当点在点右侧时，取点，作，则， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点在点右侧，且时，，，即，符合题意， 此时； 综上：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $