14.2 全等三角形的判定（知识解读）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦初中数学“全等三角形的判定”核心知识点，系统梳理“边角边”(SAS)、“角边角”(ASA)、“角角边”(AAS)、“边边边”(SSS)及直角三角形“斜边直角边”(HL)定理，构建从基本事实到推论再到特殊情形的递进学习支架。 资料采用“知识点解读+题型归纳”设计，每个判定方法配套例题与变式训练，题型涵盖基础证明到综合应用，培养学生推理能力与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

14.2 全等三角形的判定（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型 1·““边角边”(SAS)证明三角形全等】 2 【题型 2·“角边角”(ASA)证明三角形全等】 4 【题型 3·“角角边”(AAS)证明三角形全等】 7 【题型 4·“边边边”(SSS)证明三角形全等)】 10 【题型 5·斜边、直角边定理(HL)证明三角形全等】 13 【题型 6·灵活选用方法证明三角形全等】 17 【题型 7·全等三角形的综合】 21 【随堂检测】 25 知识点1 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型 1·““边角边”(SAS)证明三角形全等】 【例1】如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据线段和差关系证明，再根据平行线的性质证明，最后根据证明全等即可． 【详解】证明：， ，即． ， ， 在和中， ， ． 【变式1-1】如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证，再根据“”证明即可． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 【变式1-2】如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，，可得，根据可得，利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式1-3】如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据角边角的证明方法证明即可； （2）根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 在与中， ， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 知识点2 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型 2·“角边角”(ASA)证明三角形全等】 【例2】如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先由已知条件 ，可得 且 ，再结合题目给出的边长条件 ，再根据“角边角”可判定． 【详解】证明：， ，． 在和中， ． 【变式2-1】如图，在和中，，，，求证： 【答案】证明：∵， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【分析】根据，可得，再由，可得，再由角边角可证得，即可求解． 【详解】略 【变式2-2】如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，然后利用证明即可； （2）首先求出，根据全等三角形的性质得，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ∴； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】如图，为线段上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）及利用全等三角形对应边相等进行线段计算是解题的关键． （1）先由平行线性质得到一组角相等，再结合已知的边和角相等，利用判定三角形全等． （2）由（1）的全等结论得到对应边相等，通过线段的和差关系求出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ，，， ∴（） （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型 3·“角角边”(AAS)证明三角形全等】 【例3】和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）首先，由，证得，再由，证得，可得； （2）由（1）知，可得，，再由可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ，， ． 【变式3-1】如下图，已知点C，D都在线段上，，，．试说明：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【分析】由平行线的性质得出，再利用得出． 【详解】证明：略． 【变式3-2】如图，已知，求证：． 【答案】证明：， ，即； ， ； 在和中， ； ． 【分析】利用证明，即可得到． 【详解】证明：略 【变式3-3】如图，等腰中，，，点A在线段上，． (1)求证； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定． （1）根据，，得出，再根据即可证明； （2）由（1）可知，，则，再根据的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 知识点4 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型 4·“边边边”(SSS)证明三角形全等)】 【例4】已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 【变式4-1】如图，，，点是线段的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用判定方法“”证明即可． 【详解】略 【变式4-2】如图，已知点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质进行计算，得，结合全等三角形的对应角相等，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴； 由（1）得， ∴． 【变式4-3】如图，点在同一直线上，若． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：∵，， ． 知识点5 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型 5·斜边、直角边定理(HL)证明三角形全等】 【例5】如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键． （1）由，可得出，即可证明； （2）由（1）可得，即可得，从而求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴和， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式5-1】．已知：如图，，，垂足分别为E，F，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）证明即可得到结论； （2）根据得到，由平行线的性质即可得到． 【详解】（1）证明：，， ∴，即都是直角三角形， ∵，， ∴， ∴ （2）证明∵， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可根据“”判断； （2）由，，可判断为等腰直角三角形，则，可得到，再根据得到，然后根据进行计算． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴和是直角三角形． ∵，， ∴； （2）解：，， ， ， ， ∵， ， ． 【变式5-3】如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用“”证明全等即可； （）由，则，又，所以，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型 6·灵活选用方法证明三角形全等】 【例6】如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 【答案】选择的三个条件是①②③或①③④，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明，选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④，根据全等三角形的判定即可得证．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； 选择的三个条件是①③④． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【变式6-1】．如图，A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 证明：在和中， ， ． 【分析】本题主要考查了添加条件使三角形全等、全等三角形的判定等知识点；灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键. （1）根据题意添加符合题意的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，可添加， 故答案为：（答案不唯一）． （2）略 【变式6-2】如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． (1)你选的条件为______、______，结论为______； (2)证明你的结论． 【答案】(1)①；③；②（或①；②；③） (2)详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定选择即可； （2）根据选择的条件进行证明． 【详解】（1）解：解法一：选的条件是：①，③，结论是②； 解法二：选的条件是：①，②，结论是③； （2）解：解法一证明： ， ， 在和中， ， ， ． 解法二证明： ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式6-3】某数学实践活动小组为测量一池塘两端，的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长到点，到点，使得，，最后测出的长即为，的距离； 乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得________，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得________，这时只要测出的长即为，的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； 乙：________；丙：________； (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离， 故答案为：； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得，这时只要测出的长即为，的距离， 故答案为：； （2）解：答案不唯一， 选择甲：∵，，， ∴， ∴； 选择乙：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴； 选择丙：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型 7·全等三角形的综合】 【例7】如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)求 的度数． 【答案】(1)证明：∵ ， ． 在 和 中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由 ， ， ，利用 ，即可判定 ； （2）由 ，可得 ，继而求得 ，则可求得 的度数． 【详解】（1）略 （2）解：设 与 交于点 ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ． 【变式7-1】如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵E为中点， ∴， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据E为中点，可得，进而根据，证明； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【变式7-2】如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)16 【分析】（1）根据可证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，根据中点的定义求出，，再根据三角形周长定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， 则， ∴， ∴的周长为． 【变式7-3】如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． (1)求证：； (2)连接AF，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)27° 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明，得到，进行求解即可. 【详解】（1）证明：在中，，又于点E， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 2．如图，有一个圆柱形杯子，小明要测量杯口的直径，他用长度都完全一样的木棍（木棍粗细忽略不计）如图所示放置，与交于点，且是和的中点，小明说测量出的长度，利用全等三角形的性质就可求出的长，以上做法中小明证明全等的依据为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，即可． 【详解】解：∵是和的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 3．如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 4．调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ①②只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃，所以应该带去③． 5．如图，在和中，已知，请再添加一个条件______，使． 【答案】（或或） 【分析】根据三角形全等的判定方法有，，和四种，本题中已知的条件是一组边和一组公共角，则可添加一个角或一条边就可以得到三角形全等． 【详解】解：①添加， 在和中， ∴； ②添加， 在和中， ∴； ③添加， 在和中， ∴． 6．如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点的坐标为 _________ ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，    ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 7．如图，已知，，．试说明：． 【答案】证明：∵， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先证明，再解答即可 【详解】略 8．如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证． 【详解】略 9．如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先得到，根据证明，即可证明． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 10．如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得到再利用证明，从而得到结论； （2）由，，求得，因为，得到，再根据，利用三角形内角和求得最后结果． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ． 11．如图，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）根据平行线的性质可得，结合已知条件根据，即可证明 （2）根据得出，，根据线段的和差，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ∴ （2）解：∵ ∴， ∴ 12．在不同情境下探究三角形的关系． (1)如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； (2)如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【答案】(1) 理由： ，， ． ． ， ． ． 在与中， ， ． (2) 理由： 在中，，， ． ，， ． 同理可得． 在与中， ， ． 【分析】（1）由同角的余角相等得出，再利用即可证明； （2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出，同理可得，再利用证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $14.2全等三角形的判定（知识解读) 【人教版2024】 题型归纳 【题型1·”“边角边”(SAS)证明三角形全等】 2 【题型2·“角边角”(ASA)证明三角形全等】 .3 【题型3·“角角边”(AAS)证明三角形全等】 .5 【题型4“边边边”(SSS)证明三角形全等】.6 【题型5·斜边、直角边定理L)证明三角形全等】 8 【题型6·灵活选用方法证明三角形全等】 9 【题型7全等三角形的综合】 …11 【随堂检测】 13 知识点1基本事实“边角边”(SAS) 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”. AB=DE, 2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， ∠A=∠D, AC=DF, ∴.△ABC≌△(SAS). A 1/17 【题型1·”“边角边”(SAS)证明三角形全等】 【例1】如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE=DF,AB=CD,AEDF.求证： △AEC≌△DFB. B 【变式1-1】如图，AC=EC,BC=DC,∠ECB=∠ACD.求证：△ABC≌△EDC. A 【变式1-2】如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若AD=BE,BC=EF, ∠E+∠CBE=180°，求证：△ABC≌△U. B D A 2/17 【变式1-3】如图，己知点B,E,C,F在一条直线上，AB=DF,∠B=∠F,BE=FC (1)求证：△ABC≌△DFE: (2)若BF=13,EC=5,求BC的长. 知识点2基本事实”角边角”(ASA) 1.两边及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”. ∠A=∠D, 2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，AB=DE, ∠B=∠E, ∴.△ABC≌△(ASA). 【题型2：“角边角”(ASA)证明三角形全等】 【例2】如图，已知AB‖CD,AB=CD.求证：△ABE≌△CDE. B D 3/17 【变式2-1】如图，在△ABC和△就中，∠A=∠D,AE=BD,BC‖EF,求证：△ABC≌△U A B 【变式2-2】如图，点B,F,C,E在直线1上，点A,D在1的两侧，AB‖DE,∠A=∠D,AB=DE. A B D (1)求证：△ABC≌△乙： (2)若BE=10,FC=4,求BF的长. 【变式2-3】如图，D为线段BC上一点，AC=BD,AC‖BE,∠A=∠BDE A B (1)求证：△ABC≌△DEB: (2)若AC=6,BE=12,求CD的长. 4/17 知识点3“角边角”的推论“角角边”(AA$) 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS. ∠A=∠D, 2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， ∠B=∠E, BC=EF, .∴.△ABC≌△g(AAS). 【题型3：“角角边”(AAS)证明三角形全等】 【例3】△ABC和△CDE的位置如图所示，点B在CD边上，∠ACE=∠D=∠ABC=90°，AC=CE. (1)求证：AB=CD: (2)已知AB=6,DE=2,求BD的长度. 【变式3-1】如下图，己知点C,D都在线段BF上，BD=CF,AC‖DE,∠A=∠E.试说明： △ABC≌△EFD: 5/17 【变式3-2】如图，已知AE=CF,AD‖BC,∠D=∠B,求证：BE=DF. D 【变式3-3】如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点A在线段DE上， ∠BDA=∠E=90°. D B (1)求证△BDA≌△AEC: (2)若AD=6,求△DAC的面积. 知识点4基本事实“边边边”(SSS) 1.三边分别相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS. AB=DE, 2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，BC=EF, AC=DF, .∴.△ABC≌△(AAS). 【题型4·“边边边”(SSS)证明三角形全等)】 【例4】已知，如图，AB=DE,AC=DF,BE=CF, 6/17 求证：∠A=∠D 【变式4-1】如图，AB=DC,AE=DE,点E是线段BC的中点.求证：△ABE2△DCE D 【变式4-2】如图，已知点B,E,C,F在同一直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF. A (1)求证：△ABC≌△乙： (2)若∠A=85°，∠B=60°，求∠F的度数. 【变式4-3】如图，点B,E,C,F在同一直线上，若AB=DE,AC=DF,BF=CE. A D FC (1)求证：△ABC≌△就 (2)若∠D=65°，∠E=40°，求∠COF的度数. 7/17 知识点5斜边、直角边定理(L) 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“亚”）， 2.数学语言表达：如图，在Rt△ABC与Rt△ABC中（∠C与∠C为直角）， AB=A B, BC=BC, .∴.Rt△ABC≌Rt△ABC(HL) 【题型5斜边、直角边定理HL)证明三角形全等】 【例5】如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，AE=DF,BF⊥AD,CE⊥AD,垂足分别为F、 E.AB=CD B (1)求证：△ABF≌△DCE: (2)若∠A=27时，求∠C的度数. 【变式5-1】.已知：如图，CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,CE=DF,AC=BD 8/17 (1)求证：AE=BF. (2)求证：ACBD, 【变式5-2】如图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且 AE=CF. E B (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF: (2)若∠CAE=30°，求∠CFA的度数. 【变式5-3】如图，AD=BC,∠C=∠D=90°. (1)求证：△ACB≌△BDA: (2)若∠ABC=25°，求∠CAD的度数， 9/17 【题型6·灵活选用方法证明三角形全等】 【例6】如图，在△ABC和△就中，点B,E,C,F在同一条直线上，有四个条件：①AB=DE:② AC=DF;③BE=CF;④∠ABC=∠就.请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△就，并说 明（写出一种情况即可）· D 【变式6-1】.如图，A为△ABC和△ADE的公共顶点，已知∠B=∠D,AB=AD,请你添加一个条 件，使得AC=AE.(不添加其他线条和字母) B (1)你添加的条件是 (2)根据你添加的条件，写出证明过程. 【变式6-2】如图，在△ABC与△乙中，BE=CF,有下列三个条件：①AB=DE,②AC=DF,③ ∠ABC=∠就.请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论， 并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）· 10/17 (1)你选的条件为」 一、一一，结论为 (2)证明你的结论. 【变式6-3】某数学实践活动小组为测量一池塘两端A,B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所 示的三种方案 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达A,B的点O,再连接AO,BO,并分别延长AO到点D, BO到点C,使得OD=OB,OC=OA,最后测出CD的长即为A,B的距离： 乙：如图2，先过点A作射线AE,再在AE上取O,D两点，使得， 接着过点D作DCAB, 交BO的延长线于点C,则测出CD的长即为A,B的距离： 丙：如图3，先过点A作AC⊥AB,再由点C观测，在BA的延长线上取一点D,使得_一，这 时只要测出AD的长即为A,B的距离. D A D 图1 图2 图3 (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分： 乙： ；丙： _； (2)请你选择其中一种方案进行说明理由. 11/17 【题型7·全等三角形的综合】 【例7】如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=50°，AD,BE相交于点H,连接CH. B (1)求证：△ACD≌△BCE: (2)求∠AHE的度数. 【变式7-1】如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，点E为AC边的中点，连接DE并延长，交AB的平 行线CF于点F,连接BE. (1)求证：△ADE≌△CFE: (2)若BE⊥AC,BD=3,CF=4,求BC的长. 【变式7-2】如图，AB=AC,CD‖AB,且∠ABE=∠CAD,延长BE交AD于点F. 12/17 (1)求证：△ABE≌△CAD: (2)若点E是AC的中点，CD=3,△ABE的周长比△BCE的周长大2，求△ABC的周长 【变式7-3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC外一点，∠DAB=∠BAC,AD=AB, 过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交BC于点F. D B (1)求证：DE=BC: (2)连接AF,若∠D=36°，求∠EAF的度数. 随堂检测 。金酒量通带带带带带带单带单单单单单单带带带装带带带带带带 【随堂检测】 1.下列三角形中，一定是全等三角形的是() 人60° 460 60° 60入 10 ① ② ③ (4 A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 2.如图，有一个圆柱形杯子，小明要测量杯口的直径，他用长度都完全一样的木棍（木棍粗细忽略不 计)AB,CD如图所示放置，AB与CD交于O点，且O是AB和CD的中点，小明说测量出AC的长度， 利用全等三角形的性质就可求出BD的长，以上做法中小明证明全等的依据为() 13/17 A.SSS B.AAS C.SAS D.ASA 3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC‖AB,若AB=5,CF=3,则BD的长是 () E B A.2 B.3 C.5 D.1 4.调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来 相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃() ③ ①4 A.① B.①② c.③ D.①②或者③都可以 5.如图，在△AOD和△BOC中，己知OD=OC,请再添加一个条件，使△AOD≌△BOC. D 6.如图，在平面直角坐标系中，有一个△MBN,已知∠MBN=90°，MB=NB,M(3,0),B0,-1, 则点N的坐标为 14/17 7.如图，已知BD=CF,AB‖EF,∠A=∠E.试说明：AC=DE. D 8.如图，点C在线段AB上，ADBE,且AD=BC,BE=AC.连接DC,EC.求证： △ADC≌△BCE. D B 9.如图，已知∠B=∠C,∠1=∠2，BE=CD,求证：AB=AC. 15/17 10.如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,连接BD,点E在BD上，连接CE,若∠1=∠2，AB=ED. B (1)求证：BD=CD: (2)若∠A=114°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数. 11.如图，已知ABDE,AB=AD,∠ACB=∠E. D (1)求证：△ABC≌△DAE. (2)若DE=3,AB=9,求CD的长. 12.在不同情境下探究三角形的关系. M M B D LE (a) (b) 16/17 (1)如图(a),∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上， 且AB=AC,CF⊥AE,垂足为F,BD⊥AE,垂足为D,△ABD与△CAF全等吗？请说明理由： (2)如图(b),点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上，点E,F都在∠MAN内部的射线AD上. 已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC,△ABE与△CAF全等吗？请说明理由. 17/17