14.1 全等三角形（知识解读）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦“全等三角形及其性质”核心知识点，先通过全等图形的定义与特征奠定基础，再系统讲解全等三角形的概念、对应元素及表示方法，进而深入阐述其性质（对应边和角相等、周长与面积等关系），最后结合全等变换（平移、翻折、旋转）构建完整知识链，形成从基础到应用的学习支架。 该资料以题型分层设计为特色，涵盖概念辨析、性质应用（求角度、线段、周长、面积）及证明等8类题型，例题与变式结合强化理解。通过辨析题培养抽象能力，计算题提升运算能力，证明题发展推理意识，随堂检测助力课中教学与课后查漏，有效落实数学眼光、思维与语言的核心素养。

14.1 全等三角形及其性质（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型1 ··全等图形的概念】 1 【题型2·全等三角形的概念】 4 【题型 3·由全等三角形的性质判断正误】 6 【题型 4·由全等三角形的性质求角度】 8 【题型 5·由全等三角形的性质求线段长度】 10 【题型 6··由全等三角形的性质求周长】 12 【题型 7··由全等三角形的性质求面积】 14 【题型8··由全等三角形的性质证明结论】 17 【随堂检测】 21 知识点1 全等图形 1.全等图形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2.核心特征 （1）形状相同，大小相等 （2）周长相等、面积相等, （3）平移、旋转、翻折(轴对称)前后的图形一定全等4.仅形状相同、大小不同(相似)≠全等。 【题型1 ··全等图形的概念】 【例1】在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】两个完全重合的图形称为全等图形，根据定义逐项判定即可得到答案． 【详解】 解：A、两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形形状不同，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形的形状和大小都不相同，不是全等图形，不符合题意． 【变式1-1】下列各组图形中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等图形的概念，熟练掌握全等图形的概念是解题的关键；因此此题可根据全等图形的概念“能够完全重合的两个图形”进行排除选项即可． 【详解】解：选项中是全等图形的只有B选项，A、C、D都不是全等图形； 故选B． 【变式1-2】在下列各组图形中，属于全等形的是（    ） A．两个周长相等的三角形 B．形状相同的两个三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．面积相等的两个图形 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题的关键，能够完全重合的两个图形叫做全等形．根据全等图形的定义分别判断得出即可． 【详解】解：A、两个周长相等的三角形，不一定属于全等形，故此选项不符合题意； B、形状相同的两个三角形，不一定属于全等形，故此选项不符合题意； C、能够完全重合的两个图形，一定属于全等形，故此选项符合题意； D、面积相等的两个图形，不一定属于全等形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A．形状相同但大小不同的两个三角形 B．能够完全重合的两个正方形 C．一个圆和一个椭圆 D．长为3、宽为2的长方形和长为2、宽为1的长方形 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形的判定，根据定义能够完全重合的两个图形叫做全等形得出是解题关键． 【详解】解：根据定义可知，能够完全重合的两个正方形即为全等图形， 故选：B． 知识点1 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 题型2·全等三角形的概念】 【例2】下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 【变式2-1】如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 【变式2-2】下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【答案】B 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A．不是全等形，故此选项不合题意； B．是全等形，故此选项符合题意； C．不是全等形，故此选项不合题意； D．不是全等形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 【变式2-3】下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的三角形是全等三角形 B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形 C．两个周长相等的三角形是全等三角形 D．两个完全重合的三角形是全等三角形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：A、两个面积相等的三角形不一定是全等三角形，说法错误； B、三个对应角都相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误； C、两个周长相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误； D、两个完全重合的三角形是全等三角形，说法正确； 故选D. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和定义，熟练掌握两个完全重合的三角形是全等三角形，是解题的关键. 知识点2 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点3 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【题型 3·由全等三角形的性质判断正误】 【例3】如果，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ，，，，， A选项不符合对应边关系， B选项无法由全等性质得到， D选项不符合对应角关系，只有C选项符合结论． 【变式3-1】已知两个三角形全等，那么下列说法不一定正确的是（     ） A．这两个三角形的对应角相等 B．这两个三角形的对应边相等 C．这两个三角形的周长相等 D．这两个三角形的高相等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质逐一判断选项即可，需注意全等三角形仅对应元素相等，非对应元素不一定相等． 【详解】解：∵全等三角形的对应角相等，对应边相等，是全等三角形的基本性质， ∴选项A，B一定正确，不符合题意； ∵三角形的周长为三边长度之和，全等三角形三边对应相等， ∴两个三角形的周长一定相等，选项C正确，不符合题意； ∵全等三角形只有对应边上的高相等，题目未指明是对应高， ∴这两个三角形的高不一定相等，选项D不一定正确，符合题意． 【变式3-2】如图，已知，其中．在下列结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可判断①③和得到，根据平角的定义和三角形内角和定理可判断④；根据现有条件无法证明，则可判断②． 【详解】解：∵， ∴，故①③正确； ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②不正确． 【变式3-3】如图，若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ，，，，， 故A，B，C选项错误，D选项正确， 故选：D． 【题型 4·由全等三角形的性质求角度】 【例4】如图，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质等知识．根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【变式4-1】如图，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故选：A． 【变式4-2】图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的对应角相等并结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选：B． 【变式4-3】如图，已知，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得到，，由三角形外角的性质和角平分线的定义求出的度数，则可得到的度数，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型 5·由全等三角形的性质求线段长度】 【例5】如图，点D、B在上，，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由得到，则，再由线段和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式5-1】如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】如图，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式5-3】如图：，那么的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 【题型 6··由全等三角形的性质求周长】 【例6】如图， ， 的周长为，且，则 的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出的周长为．由全等三角形的性质得出的周长为，进而得出的周长的周长即可． 【详解】解：∵ ，的周长为， ∴的周长为，， ∴的周长 的周长 ． 故选：A． 【变式6-1】如图，，若，则的周长等于（   ）    A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故选：D． 【变式6-2】如图，在中，于点D，E是上的一点．若，，，则的周长为（    ）． A．20 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 【变式6-3】如图，，点在上，与相交于点．则的周长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据得到，根据周长为，选择即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故选A． 【题型 7··由全等三角形的性质求面积】 【例7】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由题意知，，，则，，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，， ∴， ∵长方形， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】如图，，过点作，垂足为 的面积是11，，则的长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据的面积是11，，求得边上的高，进而根据得出的长，即可求解． 【详解】解：∵的面积是11，，设边上的高为， ∴， ∵， ∴，边上的高与边上的高相等， ∴ 故答案为：． 【变式7-2】如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是______________．    【答案】15 【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到即，，可求出，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 【变式7-3】如图，若，且，则阴影部分的面积________．    【答案】16 【分析】根据“全等三角形的对应边相等”推知，然后结合三角形的面积公式作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的面积，熟记知识点是关键． 【题型8··由全等三角形的性质证明结论】 【例8】如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)直线与垂直，理由见解析 (2) 【分析】本题综合考查全等三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质(内错角相等)，涉及角的和差运算． （1）通过全等转化角度，结合三角形内角和判定垂直； （2）复用前一问结论，结合平行线性质完成角度计算． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式8-1】如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（）由全等三角形的性质得，再根据平行线的判定即可求证； （）利用全等三角形的性质解答即可求证； 本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式8-2】如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明： ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的特征； （1）由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由全等三角形的性质得，，结合直角三角形两锐角互余得，即可得证． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故的长为； （2）略 【变式8-3】如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；或，； 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了全等三角形的性质，找准对应边是解题关键； （1）根据动点的运动速度、方向即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）由得一定有一组对应边为；分类讨论若，，若，，两种情况即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； （3）解：∵， ∴一定有一组对应边为； 若，，由（2）得：，； 若，，则，解得：，； 随堂检测 【随堂检测】 1．如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形中边的标记确定全等三角形的对应关系，找出，利用三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解： ，且，，，， ， ，， ， ． 2．如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“对顶角相等”判断A选项，再根据全等三角形的性质判断其余三项． 【详解】解：与交于点， 与是对顶角， ， 故A选项正确； ， 、、、， 故B、C选项正确，D选项错误． 3．如图，，点C在线段上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，根据内角和定理得到． 【详解】解： 、 故选：B． 4．如图，，点A，B，D在同一直线上，则下列说法错误的是（   ） A． B．B是的中点 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 根据全等三角形的对应角相等，对应边相等性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵点A，B，D在同一直线上， ∴B是的中点， 故选项A、B、D正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】C 【分析】根据平移前后的两个图形是全等图形，进而得到，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵将沿射线方向平移得到， ∴， ∴, ，， ∴， ∵将沿射线方向平移得到，平移距离为2， ∴，， ， ， ∴， ∴． 6．如图，于点，于点，且，，点由点向点运动，速度为，点由点向点运动，速度为，，两点同时出发，当与全等时，求的值． 嘉嘉的答案是， 淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值”． 下列判断正确的是（    ） A．淇淇说得不对，就是 B．淇淇说得对，的另外一个值是 C．淇淇说得对，的另外一个值是 D．两人都不对，应有三个不同的值 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分为当时，当时两种情况分析即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，，， 则点的运动时间， ∵， ∴， 则， 当时，，， 则点的运动时间， 则， 综上所述：淇淇说得对，的另外一个值是， 故选： ． 7．如图，若，，，则的度数是______． 【答案】/100度 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8．如图，．点在线段上，点在线段上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．若，且，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的三边关系等知识，根据全等三角形的性质，对应边相等，得到和的长度，再利用三角形的三边关系求解的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，， 在中， 根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 因此有， 即， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 【答案】或 【分析】设秒时，和全等，则米，米，米，再分两种情况：①，②，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：设秒时，和全等，则米，米， ∵米， ∴米， ∵射线，射线， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； 综上，线段的长度为32米或60米． 11．如图，已知，且点D在边上． (1)求证∶； (2)若，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即的长为10． 12．如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)已知，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练应用全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，由全等三角形的性质得到，据此可利用三角形内角和定理证明，据此可得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，，从而求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，即。 （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.1 全等三角形及其性质（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型1 ··全等图形的概念】 1 【题型2·全等三角形的概念】 2 【题型 3·由全等三角形的性质判断正误】 4 【题型 4·由全等三角形的性质求角度】 5 【题型 5·由全等三角形的性质求线段长度】 5 【题型 6··由全等三角形的性质求周长】 6 【题型 7··由全等三角形的性质求面积】 7 【题型8··由全等三角形的性质证明结论】 8 【随堂检测】 10 知识点1 全等图形 1.全等图形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2.核心特征 （1）形状相同，大小相等 （2）周长相等、面积相等, （3）平移、旋转、翻折(轴对称)前后的图形一定全等4.仅形状相同、大小不同(相似)≠全等。 【题型1 ··全等图形的概念】 【例1】在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A．B． C． D． 【变式1-1】下列各组图形中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在下列各组图形中，属于全等形的是（    ） A．两个周长相等的三角形 B．形状相同的两个三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．面积相等的两个图形 【变式1-3】下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A．形状相同但大小不同的两个三角形 B．能够完全重合的两个正方形 C．一个圆和一个椭圆 D．长为3、宽为2的长方形和长为2、宽为1的长方形 知识点1 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 题型2·全等三角形的概念】 【例2】下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【变式2-1】如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【变式2-3】下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的三角形是全等三角形 B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形 C．两个周长相等的三角形是全等三角形 D．两个完全重合的三角形是全等三角形 知识点2 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点3 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【题型 3·由全等三角形的性质判断正误】 【例3】如果，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知两个三角形全等，那么下列说法不一定正确的是（     ） A．这两个三角形的对应角相等 B．这两个三角形的对应边相等 C．这两个三角形的周长相等 D．这两个三角形的高相等 【变式3-2】如图，已知，其中．在下列结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】如图，若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型 4·由全等三角形的性质求角度】 【例4】如图，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则等于（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】如图，已知，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型 5·由全等三角形的性质求线段长度】 【例5】如图，点D、B在上，，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-1】如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 【变式5-2】如图，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】如图：，那么的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型 6··由全等三角形的性质求周长】 【例6】如图， ， 的周长为，且，则 的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式6-1】如图，，若，则的周长等于（   ）    A．7 B．9 C．10 D．13 【变式6-2】如图，在中，于点D，E是上的一点．若，，，则的周长为（    ）． A．20 B．23 C．24 D．26 【变式6-3】如图，，点在上，与相交于点．则的周长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．12 【题型 7··由全等三角形的性质求面积】 【例7】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 【变式7-1】如图，，过点作，垂足为 的面积是11，，则的长是_________． 【变式7-2】如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是______________．    【变式7-3】如图，若，且，则阴影部分的面积________．    【题型8··由全等三角形的性质证明结论】 【例8】如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 【变式8-1】如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 【变式8-2】如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求证：． 【变式8-3】如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，点C在线段上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，，点A，B，D在同一直线上，则下列说法错误的是（   ） A． B．B是的中点 C． D． 5．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 6．如图，于点，于点，且，，点由点向点运动，速度为，点由点向点运动，速度为，，两点同时出发，当与全等时，求的值． 嘉嘉的答案是， 淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值”． 下列判断正确的是（    ） A．淇淇说得不对，就是 B．淇淇说得对，的另外一个值是 C．淇淇说得对，的另外一个值是 D．两人都不对，应有三个不同的值 7．如图，若，，，则的度数是______． 8．如图，．点在线段上，点在线段上．若，则的长为_____． 9．若，且，，则的取值范围为________． 10．如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 11．如图，已知，且点D在边上． (1)求证∶； (2)若，求 的长． 12．如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)已知，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $