河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（A版）

高一数学参考答案、提示及评分细则 1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．C 8．A 9．ACD 10．BD 11．AC 12．100 13． 14． 15．解：（1）设（，）， 则，3分 所以解得即．7分 （2），8分 因为，所以， 即，解得，11分 设与的夹角为，则，又，所以．13分 16．解：（1）设事件为“甲答对第道题”，，，，则，，， 设事件为“甲进入面试环节”，则，2分 所以．5分 （2）设事件为“乙答对第道题”，，，，则， 设事件为“乙进入面试环节”，则，7分 则，，10分 由（1）知，所以．11分 由题意可知，事件，相互独立，事件，相互独立， 设事件为“甲、乙两人恰有一人进入面试环节”，则，12分 所以．15分 17．解：（1）由题意，，解得．3分 （2）设参赛者成绩的分位数为， 由图知成绩在内的频率为0.7，成绩在内的频率为0.95，所以在内，5分 所以，解得．8分 （3）成绩在内的人数为，成绩在内的人数为， 所以这两组数据合并后的平均数，11分 方差．15分 18．解：（1）， 由正弦定理，得，即，3分 由余弦定理，得， 又，所以．5分 （2）因为为角的平分线，可得， 因为，且， 所以，所以，① 7分 由（1）知，所以，② 8分 联立①②，解得或（舍去）， 所以的周长为．10分 （3）因为为的内心，，所以，设，，11分 在中，由正弦定理得， 即， 所以，，12分 所以 ．14分 因为，为锐角三角形，所以即，15分 所以，即，则， 所以的面积的取值范围为．17分 19．解：（1）连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以，2分 因为，， 所以，所以， 所以．4分 （2）取的中点，连接，，过作，与交于点，过作，垂足为，连接，过作，垂足为． 因为是边长为4的等边三角形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面，7分 因为，所以， 所以， ．8分 由题易知，，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， 又，所以点到平面的距离为点到平面的距离的， 即点到平面的距离为．10分 （3）取的中点，连接，设与交于点，过作，与交于点，过作，垂足为，连接， 由（2）知，平面，又平面，所以， 因为，平面，，所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角或二面角的平面角， 即，或，所以．12分 因为，所以，， 当点在线段上时，， 因为，所以， 所以， 所以； 当点在线段上时，同理可得．15分 当时，，，， 即．17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第3节～第十章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则的共轭复数 A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则实数 A．4 B． C． D． 3．长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能．某中学为了解学生使用手机的情况，随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为 A．0，3 B．0.22 C．0，15 D．0.08 4．已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为，则该圆锥的体积为 A． B． C． D． 5．已知，是不同的平面，，，是不同的直线，若，，，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，角，，的对边分别为，，，若满足，的有两个，则的取值范围为 A． B． C． D． 7．盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的2个球同色”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的2个球不同色”，则下列结论错误的是 A．与对立 B． C．与相互独立 D． 8．在中，，，且，点满足（），则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则 A．在复平面内对应的点位于第四象限 B． C． D．是关于的方程的一个根 10．已知一组从小到大排列的数据，，，…，的平均数为，方差为，极差为，中位数为．由这组数据得到一组新数据，，，…，，其中（，，，…，），则 A．若，则 B．新数据的极差为 C．新数据的平均数为 D．新数据的方差为 11．如图，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列结论正确的是 A．若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 B．若平面，则点的轨迹长度是 C．若，则点的轨迹长度为 D．过点，，的平面截正方体所得的截面图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2026年美加墨世界杯于北京时间2026年6月12日开幕，参赛球队首次从32支扩军至48支．某校有老师300人，男学生1800人，女学生1500人，为了解师生对该届世界杯的评价，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则女生应抽取__________人． 13．在三棱锥中，，，，是的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________． 14．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，是两个不共线的单位向量，且，，． （1）用，表示； （2）若，求与的夹角． 16．（本小题满分15分） 甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有3道题，这3道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这3道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． （1）求甲进入面试环节的概率； （2）求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 17．（本小题满分15分） 某校举办益智类答题比赛，对报名参加初赛的学生进行了选拔性测试，为了解参赛者的成绩情况，随机抽取了200名学生的成绩（满分100分），按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）请根据直方图估计参赛者成绩的分位数； （3）已知样本数据落在的平均数是87，方差是6.2，落在的平均数是93，方差是9.2，求这两组数据合并后的平均数和方差． 18．（本小题满分17分） 在中，内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求； （2）若角的平分线交于，，求的周长； （3）若为锐角三角形，为的内心，求的面积的取值范围． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． （1）若平面，求的值； （2）若，求点到平面的距离； （3）若，设二面角的大小为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $