精品解析：河南焦作市普通高中2025-2026学年下学期高一年级期末考试数学(北师大版)

普通高中2025—2026学年（下）高一年级期末考试 数学（北师大版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 若复数（）为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两个相交平面，有下列四个命题：①存在直线与，都平行；②存在直线与，都垂直；③存在平面与，都平行；④存在平面与，都垂直．其中正确的命题为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 6. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 将绕其起点M顺时针旋转角得到，记作．已知，且，，，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内对应的点为，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知甲、乙、丙三个医学科研团队独立攻关某一医学难题，若甲没有攻克而乙攻克的概率为，丙攻克的概率为，且该医学难题被攻克的概率为，则（ ） A. 甲攻克的概率为 B. 甲或乙攻克的概率为 C. 恰有两个团队攻克的概率小于甲或乙攻克的概率 D. 至多有一个团队攻克的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据2，9，3.5，3.8，4.0，4.2，4.5，4.8，5.0的60%分位数为________． 13. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，若该圆台的外接球的表面积为，且外接球球心在圆台的两底面之间，则该圆台的体积为________． 14. 已知O为的外心，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均相等，D，E，M，N分别为线段，，，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的大小． 16. 已知函数的部分图象如图所示，点A为函数的图象的最低点，B，C为函数的图象与x轴的交点，且是等腰直角三角形． （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在上只有2个解，求实数m的取值范围． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，求边BC上的高h的最大值； （3）若，，线段BC上的点D满足，求的值． 18. 某校积极开展教改活动，将个水平相近的教学班（每班学生数均相等）分成两组，其中个班采用全新的教学法，称之为实验班，另外个班采用原来的教学法，称之为非实验班．通过一个学期的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这个班的数学期末成绩（满分分），成绩均在内，按，，，，，，，分组，作出如下频率分布直方图： （1）设非实验班、实验班数学平均分分别为，（同一组数据以该组所在区间的中间值作代表），若，则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认为非实验班与实验班数学成绩无明显差异．请通过计算说明非实验班与实验班数学成绩是否有明显差异； （2）从实验班数学成绩在区间，，内的学生中，按区间采用分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间的概率； （3）若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成绩，记事件表示“抽取的两学生的数学成绩均低于分”，事件表示“抽取的两学生中仅有一人的数学成绩不低于分”，证明：事件，不相互独立． 19. 如图，在五面体ABCDEF中，平面平面BCEF，，，，，且，． （1）证明：平面平面BDF； （2）证明：五面体ABCDEF为三棱台； （3）线段AE上是否存在点M，使得直线BM与平面BCEF所成的角为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2025—2026学年（下）高一年级期末考试 数学（北师大版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，集合，则 2. 已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知圆心角，半径， 利用扇形弧长公式得： . 3. 在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以、为基底，将和分别线性表示后求和即可. 【详解】在平行四边形中，，， 因为为的中点，故，由向量加法的三角形法则得：  ，由可得， 由向量加法的三角形法则得： ， 所以.  4. 若复数（）为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算和纯虚数的定义求解即可. 【详解】 根据纯虚数的概念可得，解得. 5. 已知，是两个相交平面，有下列四个命题：①存在直线与，都平行；②存在直线与，都垂直；③存在平面与，都平行；④存在平面与，都垂直．其中正确的命题为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【详解】对于①，设，且，不在平面内，由线面平行的判定定理得，， 则存在直线与，都平行，故①正确， 对于②，若存在直线与，都垂直，则，与题意不符，故②错误， 对于③，若存在平面与，都平行，则，与题意不符，故③错误， 对于④，设，作平面，而， 由面面垂直的判定定理得， 可得存在平面与，都垂直，故④正确，即正确的命题为①④，则A正确. 6. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，可得，解得， 根据同角三角函数关系可得， 所以. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质化简给定不等式，得到，再结合的单调性求解对数不等式，即可得到的取值范围. 【详解】因为是定义在上的奇函数，故，，且， 代入原不等式得，即，整理得， 因为对于任意，都有，所以在单调递增，又是奇函数， 所以在单调递增，令， ① 当时，，则， 因为在单调递增，所以，即，解得； ② 当时，，所以， 因为在单调递增，故， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 8. 将绕其起点M顺时针旋转角得到，记作．已知，且，，，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 如图所示，设， 则顺时针旋转得，则顺时针旋转得， 所以， 所以，则， 由可得，即 可知，所以， 在上的投影向量为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内对应的点为，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题意得复数在复平面内对应的点为， 则，可得，故A正确， 对于B，因为，所以， 可得，故B错误， 对于C，由题意得，， 满足，故C正确， 对于D，由题意得，故D正确. 10. 已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设公共值转化方程并用对数值表示，分析参数趋向两端无穷时三者的大小趋势，得到两种序关系；时得；构造辅助函数，用定义判断函数的单调性从而证明C选项中的关系不可能出现. 【详解】设， 则，， ，其中， 令，则， ，，， 当时，，，， 此时，选项D成立； 当时，， 因为，所以，即，选项A成立； 当时，， C选项，，即， ①， 先解，，解得， 再解， ， 任取， 则 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，， 即， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，即， 此结果与①中互相矛盾， 不存在使得，选项C错误. 11. 已知甲、乙、丙三个医学科研团队独立攻关某一医学难题，若甲没有攻克而乙攻克的概率为，丙攻克的概率为，且该医学难题被攻克的概率为，则（ ） A. 甲攻克的概率为 B. 甲或乙攻克的概率为 C. 恰有两个团队攻克的概率小于甲或乙攻克的概率 D. 至多有一个团队攻克的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先设甲、乙攻克难题的概率分别为，结合独立事件概率公式和已知条件求解，再逐一计算各选项对应概率判断正误. 【详解】设甲攻克的概率为，乙攻克的概率为，已知丙攻克概率，三团队独立攻关， 由题意得：①甲没攻克乙攻克的概率（1）； ②难题被攻克的对立事件是三方都未攻克，故，化简得（2）； 由（1）（2）可得，解得，代入（1）得，即. 对于A：甲攻克的概率为，不是，A错误； 对于B：甲或乙攻克的概率，B正确； 对于C：恰有两个团队攻克的概率为，小于甲或乙攻克的概率，C正确； 对于D：至多有一个团队攻克的概率=三方都未攻克概率+恰有一个攻克概率， 三方都未攻克概率为，恰有一个攻克概率为， 总概率为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据2，9，3.5，3.8，4.0，4.2，4.5，4.8，5.0的60%分位数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将样本数据从小到大排序，再根据百分位数的计算规则确定对应位置的数值即可. 【详解】首先将样本数据从小到大排序：2,3.5,3.8,4.0,4.2,4.5,4.8,5.0,9，共9个数据.计算位置： ，由于不是整数，根据百分位数的定义，将向上取整为6，因此该组数据的60%分位数为从小到大排列后的第6个的数据，即4.5. 13. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，若该圆台的外接球的表面积为，且外接球球心在圆台的两底面之间，则该圆台的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由外接球表面积求出球半径，再利用球心到两底面的距离与底面半径构成勾股关系，求出球心到两底面的距离分别为和，从而得到圆台高.最后代入圆台体积公式，计算出体积为. 【详解】已知圆台上底面半径，下底面半径，外接球的表面积，且球心在圆台两底面之间.如图为该圆台主视图： 由球的表面积公式，得，解得外接球半径. 设球心到下底面的距离为，到上底面的距离为，圆台高. 因为底面圆周在球面上，由勾股定理得，. 代入得，，解得，，于是. 圆台体积公式为. 代入数值得. 该圆台的体积为. 14. 已知O为的外心，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题可得在外，该三角形为钝角三角形，再将已知条件整理并两边平方可得，然后由外心性质结合二倍角余弦公式可得答案. 【详解】设，因，则， 据此可得在外，该三角形为钝角三角形. . 设， 则. 如下图，设， 因为，则， 结合四边形内角和为，可得， 则， 由题可得，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均相等，D，E，M，N分别为线段，，，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的大小． 【答案】（1）取的中点，连接， 分别是的中点，正三棱柱中，且， 故四边形是平行四边形，故， 分别是的中点，故， 正三棱柱中，是中点，故， 故，四边形是平行四边形， 故， 又平面，平面， 故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据正三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用线线平行推出线面平行； （2）根据正三棱柱的几何性质，结合已知条件求出相关边长，结合（1）结论，找到二面角的平面角，进而求出角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知正三棱柱的所有棱长均相等，设棱长为， 连接，则， 分别是的中点， 则， 故是等腰三角形，是中点，故，， 由（1）知，， 故，， 故为平面与平面所成的锐二面角的平面角， 中，，故， 故． 16. 已知函数的部分图象如图所示，点A为函数的图象的最低点，B，C为函数的图象与x轴的交点，且是等腰直角三角形． （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在上只有2个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知函数的最小正周期，即可得，即可得的解析式； （2）分析可知关于x的方程在上只有2个解，以为整体，结合正弦函数性质运算求解. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为， 因为函数的最大值为1，则，即， 且，则，解得， 所以函数. 【小问2详解】 对于方程，即， 可知关于x的方程在上只有2个解， 因为，，则， 可得，解得， 所以实数m的取值范围为. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，求边BC上的高h的最大值； （3）若，，线段BC上的点D满足，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合倍角公式可得，即可得角A； （2）利用余弦定理结合基本不等式可得，再根据等面积法求高h的最大值； （3）设，利用正弦定理可得，，结合整理可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 可得， 又因为，则，，可得， 即，所以. 【小问2详解】 若，由余弦定理可得， 则，可得， 当且仅当时，等号成立， 由的面积可得，即， 所以边BC上的高h的最大值为. 【小问3详解】 设，则， 在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 因为，即， 又因为，则， 即，可得， 即，可得，即. 18. 某校积极开展教改活动，将个水平相近的教学班（每班学生数均相等）分成两组，其中个班采用全新的教学法，称之为实验班，另外个班采用原来的教学法，称之为非实验班．通过一个学期的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这个班的数学期末成绩（满分分），成绩均在内，按，，，，，，，分组，作出如下频率分布直方图： （1）设非实验班、实验班数学平均分分别为，（同一组数据以该组所在区间的中间值作代表），若，则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认为非实验班与实验班数学成绩无明显差异．请通过计算说明非实验班与实验班数学成绩是否有明显差异； （2）从实验班数学成绩在区间，，内的学生中，按区间采用分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中至少2人的数学成绩在区间的概率； （3）若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成绩，记事件表示“抽取的两学生的数学成绩均低于分”，事件表示“抽取的两学生中仅有一人的数学成绩不低于分”，证明：事件，不相互独立． 【答案】（1）非实验班与实验班数学成绩有明显差异 （2） （3）设“非实验班学生成绩低于分”，则， “实验班学生成绩低于分”，则， “非实验班学生成绩不低于分”，则， “实验班学生成绩不低于分”，则， 事件表示“抽取的两学生的数学成绩均低于分”，则 ； 事件表示“抽取的两学生中仅有一人的数学成绩不低于分”，则 ； 事件表示“两人均低于分，且仅有一人不低于分”，则 , ， 故事件不互相独立． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布图，分别计算“非实验班数学平均分”和“实验班数学平均分”，通过比较判断即可； （2）计算分层抽样比例，求出各区间对应人数，计算总基本事件数和符合条件的事件数，进而求出概率； （3）分别计算，通过比较和证明结论． 【小问1详解】 非实验班数学平均分为 ， 实验班数学平均分为： ， ， 故非实验班与实验班数学成绩有明显差异． 【小问2详解】 实验班三个区间的频率比为：， 按分层抽样抽取6人，对应人数为： ：人； ：人； ：人； 从6人中随机抽取3人，总基本事件为， 至少2人成绩在，包含两种情况： 3人均在，有种， 2人在，1人在其他区间，有种， 符合条件的事件共种， 概率为：． 【小问3详解】 略 19. 如图，在五面体ABCDEF中，平面平面BCEF，，，，，且，． （1）证明：平面平面BDF； （2）证明：五面体ABCDEF为三棱台； （3）线段AE上是否存在点M，使得直线BM与平面BCEF所成的角为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为，所以， 所以由勾股定理逆定理可得， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面BDF； （2）因为，平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以. 因为， ，所以. 因为，所以， 所以，所以. 因为平面，所以平面. 因为，所以平面. 因为平面，所以， 因为，所以. 综上可得：， 则五面体两底面平行，且两底面对应三角形相似， 所以五面体ABCDEF为三棱台； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可完成证明； （2）通过证明五面体两底面平行，且两底面对应三角形相似，可完成证明； （3）假设存在点满足题意，设，通过证明平面，可得在平面上的射影为.再过向作垂线，垂足为，则在线段上，据此可得关于的表达式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图连接，假设存在点满足题意，设. 由等腰梯形对称性可得， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则在平面上的射影为. 过向作垂线，垂足为，则在线段上. 则， 因为，所以， 所以，， . 又由（2）可得，可得. 若直线BM与平面BCEF所成的角为，则，结合，可得， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $