第27章 圆与正多边形 单元培优检测题 2025-2026学年沪教版（上海）（2012）数学九年级下册

《圆与正多边形》单元培优检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．已知⊙O半径为5，平面内有一点P，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法判断 2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝30°，AB＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．3 C．4 D． 3．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，连结AC，∠AOC＝140°，∠ACB＝50°，则∠BAC的度数（　　） A．50° B．45° C．30° D．20° 4．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点B，D，连接OD，BD，AB，已知AB经过圆心O，CD与⊙O相切于点D，BC⊥BD．若∠BCD＝25°，则∠ABD的度数是（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝115°，则∠BOD的度数是（　　） A．150° B．115° C．65° D．130° 6．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O一点，且AB⊥OC，P是圆上的一个动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则线段CM长度的最大值是（　　） A．2 B．4 C． D． 8．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 9．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O交于点C，连接BC，若∠P＝∠OCB，，则BC＝（　　） A．4 B． C． D． 10．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6，△ABC的周长为20，则EF的长为（　　） A．8 B．4 C．3.5 D．3 二．填空题（每题4分，共24分） 11．如图，一根排水管的截面是一个半径为50cm的圆，管内水面宽，AB＝80cm，则水的最大深度CD为　 　 cm． 12．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，连接AB并延长交⊙O于点D，若∠A＝35°，则∠DOE＝　 　 ． 13．一个圆内接正多边形的内角为120°，且周长是24cm，则这个正多边形的边长是　 　 厘米． 14．为了研究太阳光线高度角问题，现给出如图⊙O作为地球的截面示意图，如图1中，AB表示地球B处太阳光线，CD为地球B处的表面切面（用B处⊙O的切线CD表示），则太阳光线AB与切线CD所形成的锐角∠ABC为地球B处的太阳高度角．在图2中，若用AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和绵阳市所处的纬度线，已知北回归线是北纬23.5°，即∠BOD＝23.5°，绵阳市大致位于北纬31°，即∠BOF＝31°．当夏至日正午时，太阳光线ND所在直线刚好经过地心O，此时绵阳，即点F处的太阳高度角的大小为　 　 ． 15．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于A，C两点，弦CD⊥AB，且与AB交于点E，若PC∥OD，AE＝3，则AP＝　 　 ． 16．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，则点P沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段BM的最小值为　 　 ． 三．解答题（共10小题，共66分） 17．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，4），C（6，2），⊙M经过A，B，C三点． （1）点M的坐标为 　 　 ． （2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系． 18．如图，有一个亭子，它的地基是半径为6m的正六边形． （1）求该地基的周长； （2）求该地基的面积（结果保留根号形式）； （3）若正六边形的半径用R表示，写出正六边形的面积S与R之间的函数关系式． 19．已知AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OC⊥BD． （Ⅰ）如图①，若∠ABC＝70°，求∠AOD和∠DBC的大小； （Ⅱ）如图②，若OD∥BC，⊙O的半径为2，求弦BD的长． 20．一个装有水的水槽放置在水平桌面GH上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52，MN为水面截线，MN∥GH． （1）如图1，当AB∥GH时，作OC⊥MN于点C，并交半圆O于点D，若水面截线MN＝48，求水截面最大深度CD的长． （2）将图1中的水倒出一部分，得到图2，直径一端点B刚好与点N重合．水截面最大深度为13，请计算此时水面截线MN的长． 21．如图，AB是⊙O的直径，B是的中点，过点C作CM⊥AD，交AB于点F，交AD于点M，连接BC． （1）求证：EF＝BE． （2）若，OF＝2，求⊙O的半径． 22．如图1，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4m，宽为2.4m． （1）请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？ （2）如图2，若通道正中间有一个0.4m宽的隔离带，问一辆宽1.3m，高4.2m的车能通过这个通道吗？为什么？ 23．如图，△ACD中，∠ADC＝90°，以AB为直径的⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE是⊙O的切线． （1）求证：CD＝DE； （2）若AC＝4，BD＝2，求CD的长． 24．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，O为AC上一点，BC与⊙O相切于点E，连接AE，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M． （1）求证：AE平分∠BAC； （2）若，求⊙O的半径及DM的长度． 25．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心O为圆心的⊙O，且圆心在水面上方．在某一时刻，⊙O被水面截得的弦AB长为6米，过点O作OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D，水面下盛水筒的最大深度为1米（即CD＝1米）． （1）求⊙O的半径； （2）若水面上涨，导致⊙O被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米，且圆心O仍在水面上方时，求水面上涨了多少米？ 26．综合与探究 【课本再现】 课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．复习课上，复盘小组结合图①对课本例题进行了深入学习，对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深刻的理解． 例：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 证明：因为四边形ABCD为矩形， 所以OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD． 所以OA＝OC＝OB＝OD． 所以A，B，C，D四个点都在以点O为圆心，OA为半径的圆上． （1）以下是一道课本原题：“在△ABC中，∠C＝90°，求证：A，B，C三点在同一个圆上．”请你利用图②写出证明过程． 【初步运用】 （2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决．例如：如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，由AB＝AC＝AD可知点C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而容易得到∠BDC＝　 　 °． 【深入理解】 （3）如图④，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，求证：∠1+∠2＝90°． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D D D D A B B 二．填空题 11．20． 12．110°． 13．4． 14．82.5°． 15．3． 16．． 三．解答题 17．解：（1）如图，分别作AB，BC的垂直平分线，交点即为点 M， 由图可知，点M的坐标为：（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）由（1）知M（2，0）， ∵A（0，4），D（4，﹣3）， ∴，， ∴点D在⊙M内． 18．解：（1）连接OB，OC， ∵它的地基是半径为6m的正六边形ABCDEF， ∴∠BOC60°，OB＝OC＝6m， ∴△BOC是等边三角形， ∴OB＝OC＝CB＝6（m）， ∴正六边形ABCDEF的周长为6CB＝6×6＝36（米）； （2）如图，过点O作OG⊥CB于点G， ∵△BOC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝CB＝6（m）， ∴BGBC＝3（m）， ∴OG（m）， ∴S（m2）， ∴正六边形ABCDEF的面积为：6S（m2）； （3）∵△BOC是等边三角形，OB＝R， ∴∠OBC＝60°， ∵OG⊥BC于G， ∴BGBCR，∠BOG＝30°， ∴在Rt△OBG中，OG， ∴S， ∴正六边形ABCDEF的面积为：6， 即S． 19．解：（1）∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠ABC＝70°， ∴∠BOC＝40°． ∵OC⊥BD，OB＝OD， ∴∠DOC＝∠BOC＝40°， ∴∠BOD＝80°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝100°． ∵∠DBCDOC， ∴∠DBC＝20°； （2）∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠ABC， ∵OC⊥BD，OB＝OD， ∴∠DOC＝∠BOC， ∵OD∥BC， ∴∠DOC＝∠OCB， ∴∠BOC＝∠OBC＝∠OCB， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠ABD＝30°． 连接AD，如图， ∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为2， ∴AB＝4，∠ADB＝90°， ∴ADAB＝2， ∴BD2． 20．解：（1）连接OM， ∵MN＝48， ∴MCMN＝24， ∵AB＝52， ∴OD＝OM， ∴在Rt△OMC中， OC10， ∴CD＝OD﹣OC＝26﹣10＝16， 故水截面最大深度CD的长为16； （2）作OE⊥GH于E，交MN于点D，则E为切点， ∵MN∥GH， ∴OE⊥MN， ∵AB＝52， ∴OE＝OB， 由题意DE＝13，Z则OD＝26﹣13＝23， ∴在Rt△OBD中， BD13， ∴MN＝2BD＝26， 故此时水面截线MN的长为26． 21．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，B点是的中点， ∴OB⊥CD， ∴∠CEF＝∠CEB＝90°， ∵CM⊥AD， ∴∠AMF＝∠CEF＝∠CEB＝90°， ∵∠CFE＝∠AFM， ∴∠BAD＝∠FCE， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠FCD＝∠BCD， ∴∠CFB＝∠CBF， ∴CF＝CB， ∵OB⊥CD， ∴EF＝BE； （2）解：连接OC，如图， 由（1）可知EF＝BE， 设EF＝BE＝x，则BF＝2x， ∴OC＝OB＝2x+2，OE＝x+2， ∵，OF＝2， ∴， 解得：x1＝1，（舍去）， ∴OC＝2x+2＝2×1+2＝4． 22．解：（1）如图，设半圆O的半径为R，则R＝2m， 作弦EF∥AD，且EF＝2.4，OH⊥EF于H， 连接OF， 由OH⊥EF，得HF＝1.2， 又OH1.6（m） ∴此时AB+OH＝2.6+1.6＝4.2（米）＞4， ∴这辆卡车能通过此隧道； （2）当车高4.2米时，OH＝4.2﹣2.6＝1.6米， 此时HF1.2（m） ∵通道正中间有一个0.4米宽的隔离带， ∴HM＝0.2米， ∴MF＝HF﹣HM＝1m＜1.3m， ∴不能通过． 23．（1）证明：如图，DE是⊙O的切线，连接OE， ∴∠OED＝90°， ∴∠DEB+∠OEB＝90°． 又∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠OBE＝∠CBD． 在Rt△CBD中，∠DCB+∠CBD＝90°，即∠DCB+∠OEB＝90°， ∴∠DCE＝∠DEB， ∴CD＝DE； （2）解：设⊙O的半径为r． 在Rt△ODE中，BD＝2， 由勾股定理得：DE2＝OD2﹣OE2， ∴DE2＝（r+2）2﹣r2． 在Rt△ACD中，AC＝4，BD＝2， 由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2， ∴． ∵CD＝DE， ∴， 解得：r＝3． 在Rt△DOE中，由勾股定理得：， ∴CD＝4． 24．（1）证明：如图，连接OE， ∵BC与⊙O相切于点E， ∴∠OEC＝90°， ∴∠OEC＝∠B＝90°， ∴OE∥AB， ∴∠BAE＝∠OEA． ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠BAE＝∠OAE， ∴AE平分∠BAC． （2）解：如图，连接DF， 在Rt△OEC中， 设半径为x，则OE＝OF＝x，OC＝OF+CF＝x+4， ∵， ∴， ∴x＝6， ∴⊙O的半径为6． ∵AF为⊙O的直径， ∴∠ADF＝90°，AF＝12， ∴∠ADF＝∠B， ∴DF∥BC， ∴∠AFD＝∠C， ∴， ∴， ∵OE∥AB， ∴△EMO∽△AMD， ∴， 即， ∴． 答：⊙O的半径为6，DM的长度为． 25．解：（1）如图，由题意可知，AB＝6米，CD＝1米， ∴AB＝6米，OC⊥AB，且OC经过圆心， ∴米， 设圆的半径为r米，则OC＝（r﹣1）米，OA＝OD＝r米， 在Rt△AOC中， OC2+AC2＝OA2，即（r﹣1）2+32＝r2， 解得r＝5， 即该圆的半径为5米； （2）设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB，OD与EF相交于点G， ∵OG⊥EF，且OG经过圆心， ∴（米）， 连接OE，在Rt△EOG中，EG＝4米，OE＝5米， ∴（米）， ∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（米）， 即水面上涨的高度为1米． 26．解：（1）证明：如图，取AB的中点O，连接OC． ∵O为AB的中点， 所以，， ∴OA＝OB＝OC， ∴A，B，C三点都在以点O为圆心，OA为半径的圆上． （2）由圆周角定理可知，， 故答案为：27； （3）证明：因为AB＝AC＝AD， 所以点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上． 如图②，作辅助圆⊙A，则． 因为AB＝AC， 所以∠ABC＝∠2， 因为∠BAC+∠ABC+∠2＝∠BAC+2∠2＝180°， 所以． 所以∠1+∠2＝90°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/12 23:49:39；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $