2025-2026学年度江苏省兴化市高二下学期期末数学模拟练习卷

**基本信息** 2025-2026学年度高二下学期期末数学练习卷，以集合运算、复数几何意义、立体几何翻折等为载体，通过解三角形面积最值、概率统计成本计算、导数不等式证明等问题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、向量、数列、函数、双曲线、立体几何|结合新定义运算（如集合运算）、动态几何（向量投影）考查数学抽象| |多项选择|3/18|二项式定理、函数性质、正方体轨迹|通过函数极值、轨迹判断（抛物线定义）体现批判性思维| |填空|3/15|双曲线离心率、正态分布、函数零点|以双曲线定义、正态分布概率计算考查数学应用| |解答|5/77|解三角形、数列、立体几何翻折、概率统计、导数|分层设计，如立体几何翻折（空间想象）、导数证明（逻辑推理）、概率成本计算（数学建模），贴合高考命题趋势|

2025-2026学年度高二下学期期末练习卷 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.定义集合运算：，若，，则集合的真子集个数为（） A. B. C. D. 2.已知复数满足，则的最小值为（） A. B. C. D. 3.已知平面向量为单位向量，且，若向量，则在上的投影长度的最小值为（） A. B. C. D. 4.已知正项数列满足，且，则数列的前20项和为（） A. B. C. D. 5.已知函数，若在上存在唯一零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 6.已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若，则直线的斜率为（） A. B. C. D. 7.已知，，，则的大小关系为（） A. B. C. D. 8.已知空间四边形中，，，则该空间四边形外接球的表面积为（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。 9.已知的展开式中常数项为60，则下列说法正确的是（） A. B. 展开式中所有无理项系数之和为31 C. 展开式中项与项系数相等 D. 存在有理项的系数大于60 10.已知函数，，下列结论正确的有（） A. 当时，在上单调递增 B. 若在处取得极值，则 C. 当时，恒成立 D. 若有两个零点，则 11.已知正方体棱长为2，动点在侧面内（含边界）运动，且满足点到直线的距离等于点到直线的距离，下列说法正确的是（） A. 点的轨迹为一段抛物线 B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 直线与平面所成角的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线右支上，且，，则双曲线的离心率为________。 13.某地某次考试成绩近似服从正态分布，已知，现从所有考生中随机抽取3人，至少1人成绩高于90分的概率为________。 14.已知函数，若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 在中，角对应的边分别为，已知。 (1) 求角的大小； (2) 若点为边上靠近的三等分点，平分的周长，求面积的最小值。 16.（15分） 已知数列满足，。 (1) 证明：数列为等差数列，并求的通项公式； (2) 设，数列的前项和为，证明：。 17.（15分） 已知边长为4的菱形中，，为中点，为边上动点。将沿翻折得到，且始终满足平面平面。 (1) 求证：无论点在上如何运动，恒有； (2) 当点为中点时，求二面角的正弦值； (3) 在点运动过程中，求异面直线与所成角的余弦值的最大值。 18.（17分） 某工厂生产精密零件，生产流程分为粗加工、精加工两个独立环节，粗加工合格概率为，精加工合格概率为。规则：粗加工不合格直接报废，无后续流程；粗加工合格后进入精加工，精加工合格为成品，不合格则返工1次，返工后仍不合格报废。 (1) 求单件零件生产为成品的概率； (2) 设单件零件生产耗费成本为，粗加工成本20元，精加工成本30元，返工额外耗费20元，求的分布列与数学期望； (3) 工厂每日生产100件零件，预估每日成品数量的方差。 19. （17分） 已知函数。 (1) 求函数的单调区间； (2) 若有两个不同极值点，且，证明：； (3) 若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值。 参考答案与精准完整解析 一、单项选择题 1. 解析：根据题干新定义集合运算，枚举所有组合： 当时，任意，； 当时，； 当时，。 因此，共3个元素。集合真子集个数公式：，代入得。 答案：C 2. 解析：复数几何意义：对应复平面点，轨迹为以为圆心、半径的圆。 ，表示圆上动点到定点、的距离之和。 定点距离，圆心在上方，数形结合求得距离和最小值为。 答案：B 3. 解析：向量投影公式：在上的投影为。 代入得：。 该式为一次函数，无定义域限制，结合向量动态几何意义，投影长度无最小值限制，结合选项取值范围，最小值为0。 答案：A 4. 解析：对递推式因式分解：， 即。 数列为正项数列，，故，数列为首项，公差的等差数列。 通项，前20项和。 答案：A 5. 解析：当时，，。 函数存在唯一零点，即区间内有且仅有一个零点，结合，解得。 答案：C 6. 解析：双曲线，得，，右焦点。 设直线，联立双曲线方程，结合的韦达定理比值关系，化简求得， 斜率。 答案：A 7. 解析：构造函数比较大小，令， 设，时，故； 设，时，故； 再证，最终得。 答案：A 8. 解析：由，得，；同理。 空间四边形外接球的直径为中点到各顶点距离等效球直径，求得半径， 表面积。 答案：B 二、多项选择题详细解析 9. 解析：二项式展开通项。 令，得，常数项，得，A正确。 赋值法求得所有系数和、有理项系数和，推得无理项系数和为31，B正确；其余选项计算验证不成立。 答案：AB 10. 解析：对函数求导。 A选项：时，，，单调递增，正确； B选项：处极值，，解得，正确； C选项：时，存在区间，错误； D选项：结合极值点与零点存在性，得，正确。 答案：ABD 11. 解析：正方体建系，根据距离等式推导轨迹满足抛物线定义，A正确； 计算最小值、线面角最大值、三棱锥体积，验证得C正确，BD错误。 答案：AC 三、填空题详细解析 12. 解析：在中，，设，。 由双曲线定义，即， 离心率。 答案： 13. 解析：正态分布，对称轴， ，得。 抽取3人，至少1人高于90分的概率：。 答案： 14. 解析：分段讨论嵌套函数的值域与零点条件， 结合图像与单调性，最终求得的取值范围为。 答案： 四、解答题详细解析 15.（13分） 解：(1) 由三角恒等变换：，代入原式： ，化简得。 由三角形射影定理，进一步化简得。 又，故。（6分） (2) 由为靠近的三等分点，得。 由周长平分条件得，结合余弦定理，代入化简得。 三角形面积，故面积最小值为。（13分） 16.（15分） 解：(1) 由，两边取倒数得： ，即。 故是首项为，公差为的等差数列。 ，即。（7分） (2) 代入得，故。 放缩得，累加得，故，得证。（15分） 17.（15分） 解：(1) 证明线线垂直 在菱形中，，为中点，故。 翻折前中，，翻折后垂直关系不变，即。 由面面垂直条件：平面平面，且交线为， 平面，，故平面。 又平面，因此。 无论如何运动，上述垂直关系恒成立，得证。（5分） (2) 求二面角的正弦值 建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，过作平面垂线为轴。 由菱形边长为4，，得：，，，。 为中点，坐标，翻折后。 求得向量：，，。 设平面法向量为，平面法向量为。 代入向量垂直条件求解法向量，计算法向量夹角余弦值，再由同角三角函数关系得正弦值为。（10分） (3) 求异面直线所成角余弦值最大值 设动点参数坐标，翻折后得到动态坐标， 表示出异面直线与的方向向量，代入异面直线夹角公式， 构造函数结合单调性求最值，最终求得余弦值最大值为。（15分） 18.（17分） 解：(1) 单件成品概率分两种情况：一次精加工合格、精加工不合格返工合格。 。（5分） (2) 的可能取值：20、50、70。 ，，。 数学期望。（11分） (3) 每日成品数， 方差。（17分） 19.（17分） 解：函数定义域，。 (1) 单调区间讨论 令，得。 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。（5分） (2) 极值点不等式证明 两个极值点满足，，两式作差、变形，结合对数均值不等式：，化简推导得，得证。（11分） (3) 恒成立求参数最值 化简不等式，分离参数构造新函数，求导分析单调性与最值， 得函数最小值为1，故实数的最小值为。（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $