专题2.2 立方根（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上学期培优讲义

专题2.2 立方根 【本节预习目标】 1.理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，掌握立方根的性质。 2.理解开立方与立方互为逆运算，能利用立方运算求百以内完全立方数的立方根。 3.能区分平方根与立方根的异同，掌握立方根的相关运算规律，提升运算能力。 4.能运用立方根解决正方体体积、容器容积等实际问题，发展数学应用意识与探究能力。 【前置旧知回顾】 知识模块 平方根核心内容 本节立方根关联 定义 若，则是的平方根 类比迁移：若，则是的立方根，从二次拓展到三次 性质 正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根 对比学习：立方根的性质与平方根有显著差异，负数也有立方根 运算 开平方与平方互为逆运算 类比迁移：开立方与立方互为逆运算，均可利用逆运算求根 表示 非负数的平方根记作，根指数2可省略 区分记忆：立方根记作，根指数3不可省略 知识点1：立方根的定义与性质 1.立方根的定义 一般地，如果，那么叫作的立方根，也称为三次方根。数的立方根记作，读作“三次根号”，其中是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略）。 2.立方根的性质 正数的立方根是正数； 0的立方根是0； 负数的立方根是负数。 >注：任意一个数都有且只有一个立方根，立方根的符号与被开方数的符号一致。 3.平方根与立方根的对比 对比维度 平方根 立方根 被开方数范围 非负数（） 任意实数 正数的根的个数 2个，互为相反数 1个，为正数 负数是否有根 没有 有，为负数 表示方法 （根指数2省略） （根指数3不可省略） 等于本身的数 0 0，1， 知识点2：开立方与相关运算规律 1.开立方的定义 求一个数的立方根的运算叫作开立方。开立方与立方互为逆运算，因此可以通过立方运算来求一个数的立方根。 2.核心运算公式 ：对一个数先开立方再立方（或先立方再开立方），结果仍是原数； ：互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 3.小数点移动规律 被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动一位。 【基础巩固题型】 【题型1】立方根概念的辨析与判断 1.核心知识点 立方根的定义；立方根的性质 2.解题方法技巧 ①紧扣定义：判断一个数是不是另一个数的立方根，只需验证其立方是否等于被开方数； ②牢记性质：正数、0、负数都有唯一的立方根，符号与被开方数一致； ③注意区分：不要将立方根与平方根的性质混淆，特别是负数有无根、根的个数两个关键点。 【例题1】.（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．27的立方根是 C．0没有立方根 D．16的算术平方根是4 【变式题1-1】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式题1-2】.（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【变式题1-3】.（25-26七年级下·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【题型2】求具体数值的立方根 1.核心知识点 立方根的定义；常见完全立方数 2.解题方法技巧 ①整数与分数：先寻找哪个数的立方等于被开方数，直接写出立方根； ②带分数：先化为假分数，再求分子、分母的立方根； ③双重根号：先计算内层根号的值，再对外层结果求立方根。 【例题2】.（25-26七年级下·陕西渭南·期末）的立方根是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）的立方根是（     ） A． B． C． D．没有立方根 【变式题2-2】.（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题2-3】.（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的立方根： (1)27； (2)； (3)； (4)0． 【题型3】开立方的基础运算 1.核心知识点 开立方运算；立方根的符号性质 2.解题方法技巧 ①利用与直接化简，注意被开方数的符号； ②负数的立方根可转化为正数立方根的相反数，即； ③混合运算中，先算开方，再算乘除，最后算加减。 【例题3】.（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）计算： 【变式题3-1】.（25-26七年级下·湖北十堰·期末）计算： 【变式题3-2】.（25-26七年级下·湖南郴州·期末）计算： 【变式题3-3】.（25-26七年级下·陕西安康·期末）计算：． 【题型4】立方根与数轴结合的化简 1.核心知识点 立方根的性质；绝对值的化简；数轴的意义 2.解题方法技巧 ①根据数轴上点的位置，判断各代数式的正负性； ②利用直接化简立方根部分，无需考虑符号； ③结合绝对值的代数意义去掉绝对值符号，合并同类项得到最终结果。 【例题4】.（25-26七年级下·重庆开州·期中）数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简 (2)若数轴有C、D两点分别表示数和，且c，d满足，求的平方根． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·四川南充·期中）已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图是数轴上三个点所对应的实数．试化简： 【变式题4-3】.（25-26七年级下·重庆·期中）实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 【培优提升题型】 【题型5】平方根与立方根的综合计算 1.核心知识点 平方根、立方根的定义与性质；代数式求值 2.解题方法技巧 ①根据“某数的平方根是多少”“某数的立方根是多少”的条件，分别列方程求出对应字母的值； ②将字母的值代入待求代数式，计算后再求其平方根或立方根； ③注意最终结果的完整性：平方根有两个，立方根只有一个。 【例题5】.（25-26七年级上·福建福州·期末）已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【题型6】生活情境中的立方根应用 1.核心知识点 正方体、圆柱体体积公式；立方根的实际意义 2.解题方法技巧 ①根据几何体的体积公式，列出关于棱长、半径的三次方程； ②利用开立方运算求出对应边长，注意单位统一； ③涉及体积变化的问题，先求出变化前后的棱长，再计算增量或倍数。 【例题6】.（25-26七年级下·安徽六安·期中）排水法测体积的核心原理是：物体浸没在液体中时，物体排开液体的体积等于物体自身的体积．小华利用这一原理进行实验：用细线将一正方体铁块系住，完全浸入盛满水的圆柱形杯中，测得从杯中溢出的水的体积为；将铁块从杯中取出后，测得杯内水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【变式题6-1】.（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·河北廊坊·阶段检测）实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·陕西榆林·期中）升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【题型7】估算立方根的大小 1.核心知识点 立方根的估算；夹逼法 2.解题方法技巧 ①找到与被开方数相邻的两个完全立方数，确定立方根介于哪两个整数之间； ②根据被开方数距离两个完全立方数的远近，判断更接近哪个整数； ③求整数部分与小数部分时，整数部分即为较小的整数，小数部分=原数-整数部分。 【例题7】.（25-26七年级下·广西南宁·期中）【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； (2)【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东惠州·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以 的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ，所以是两位数； ②其次观察了立方数： ， ，猜想个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)计算：________． (2)若，则________． (3)已知，求的值． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ， 所以是两位数； ②其次观察了立方数： ， …，猜想个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现． 结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数； 反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)计算的立方根（仿照材料中的方法） (2)若,则=______. (3)已知，求的值． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·重庆永川·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 【压轴素养题型】 【题型8】立方根的小数点移动规律应用 1.核心知识点 开立方的小数点移动规律；整体代换 2.解题方法技巧 ①牢记规律：被开方数小数点移3位，立方根小数点同向移1位； ②已知一个数的立方根，求相关数的立方根时，先对应移动被开方数的小数点，再按规律移动结果； ③已知立方根反求原数时，规律反向应用：立方根移1位，被开方数同向移3位。 【例题8】.（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【变式题8-1】.（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 (1)根据上表的数据，可得________，________； (2)根据表格中数据，求的值． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【题型9】新定义运算中的立方根 1.核心知识点 新定义规则的理解；立方根的运算 2.解题方法技巧 ①准确解读新运算的规则，明确运算顺序与优先级； ②将新定义运算转化为常规的立方、开立方与四则混合运算； ③若为多层新运算，按从内到外的顺序逐层计算。 【例题9】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为______和______； (2)若数对的一个开方对称数对是，则_______； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【变式题9-1】.（2026七年级下·北京·专题练习）下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3）＝ ，＝ ． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·福建厦门·期中）阅读与探究： 在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根． (1)填表与定义 ①填表 1 16 81 ___________ ___________ ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 四次方根的定义：一般地，___________． (2)思考与归纳 求一个数的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 的四次方根是___________，的四次方根是___________，的四次方根是___________． ___________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中正数、、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫___________． A．类比思想                         B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想    D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数的四次方根用符号“”表示，读作“正、负四次根号”，其中是被开方数，是根指数．例如表示16的四次方根，． ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：___________（填“<”或“=”或“>”） 【变式题9-3】.（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根 (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则a的取值范围是______； (3)求x的值：． 易错点 1、概念混淆：将立方根与平方根的性质混淆，误认为负数没有立方根，或正数的立方根有两个。 2、符号失误：计算负数的立方根时符号处理错误，或忽略的性质，导致结果符号相反。 3、书写错误：书写立方根时遗漏根指数3，写成平方根的形式；解方程开立方时错误地添加正负号。 4、规律记错：将开平方与开立方的小数点移动规律混淆，移动位数对应错误。 重点 1、立方根的定义、表示方法与性质，能准确求一个数的立方根。 2、开立方运算的相关公式与性质，能利用立方根的定义解简单的三次方程。 难点 1、平方根与立方根的区别与联系，以及二者的综合运算与代数式求值。 2、立方根相关的规律探究问题，以及结合立体几何的实际应用与方案设计。 一、单选题 1．若，则等于（    ） A． B．0 C． D．2 2．已知，，，则（     ） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 3．若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 二、填空题 4．已知的立方根是，则____________． 5．若，则__________． 6．已知，则的值为________． 三、解答题 7．计算： 8．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 9．实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 10．有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 11．已知正数m的两个平方根分别是a和b． (1)求的值； (2)若，且，求m． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 立方根 【本节预习目标】 1.理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，掌握立方根的性质。 2.理解开立方与立方互为逆运算，能利用立方运算求百以内完全立方数的立方根。 3.能区分平方根与立方根的异同，掌握立方根的相关运算规律，提升运算能力。 4.能运用立方根解决正方体体积、容器容积等实际问题，发展数学应用意识与探究能力。 【前置旧知回顾】 知识模块 平方根核心内容 本节立方根关联 定义 若，则是的平方根 类比迁移：若，则是的立方根，从二次拓展到三次 性质 正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根 对比学习：立方根的性质与平方根有显著差异，负数也有立方根 运算 开平方与平方互为逆运算 类比迁移：开立方与立方互为逆运算，均可利用逆运算求根 表示 非负数的平方根记作，根指数2可省略 区分记忆：立方根记作，根指数3不可省略 知识点1：立方根的定义与性质 1.立方根的定义 一般地，如果，那么叫作的立方根，也称为三次方根。数的立方根记作，读作“三次根号”，其中是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略）。 2.立方根的性质 正数的立方根是正数； 0的立方根是0； 负数的立方根是负数。 >注：任意一个数都有且只有一个立方根，立方根的符号与被开方数的符号一致。 3.平方根与立方根的对比 对比维度 平方根 立方根 被开方数范围 非负数（） 任意实数 正数的根的个数 2个，互为相反数 1个，为正数 负数是否有根 没有 有，为负数 表示方法 （根指数2省略） （根指数3不可省略） 等于本身的数 0 0，1， 知识点2：开立方与相关运算规律 1.开立方的定义 求一个数的立方根的运算叫作开立方。开立方与立方互为逆运算，因此可以通过立方运算来求一个数的立方根。 2.核心运算公式 ：对一个数先开立方再立方（或先立方再开立方），结果仍是原数； ：互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 3.小数点移动规律 被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动一位。 【基础巩固题型】 【培优提升题型】 【压轴素养题型】 【题型1】立方根概念的辨析与判断 1.核心知识点 立方根的定义；立方根的性质 2.解题方法技巧 ①紧扣定义：判断一个数是不是另一个数的立方根，只需验证其立方是否等于被开方数； ②牢记性质：正数、0、负数都有唯一的立方根，符号与被开方数一致； ③注意区分：不要将立方根与平方根的性质混淆，特别是负数有无根、根的个数两个关键点。 【例题1】.（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．27的立方根是 C．0没有立方根 D．16的算术平方根是4 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行选择即可． 【详解】解：A、没有平方根，故A错误； B、27的立方根是，故B错误； C、0的立方根是0，故C错误； D、16的算术平方根是4，故D正确； 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的基本概念逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：① 平方根是本身的数：∵ 的平方根是 ，不等于它本身，只有 的平方根是它本身，∴①错误； ② 算术平方根是本身的数：∵ 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 ，∴算术平方根是本身的数是 和 ，∴②正确； ③ 立方根是本身的数：∵ ，，，∴立方根是本身的数有 ，，，③正确； ④ 若一个数的负的平方根等于它的立方根：∵负数没有平方根， 不存在平方根，只有 满足条件，∴④错误． 综上，正确的说法是②③． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误； ∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误； ∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误； ∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确． 【题型2】求具体数值的立方根 1.核心知识点 立方根的定义；常见完全立方数 2.解题方法技巧 ①整数与分数：先寻找哪个数的立方等于被开方数，直接写出立方根； ②带分数：先化为假分数，再求分子、分母的立方根； ③双重根号：先计算内层根号的值，再对外层结果求立方根。 【例题2】.（25-26七年级下·陕西渭南·期末）的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义找到立方等于64的数，即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴ 64的立方根是4. 【变式题2-1】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）的立方根是（     ） A． B． C． D．没有立方根 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 【变式题2-2】.（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 【变式题2-3】.（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的立方根： (1)27； (2)； (3)； (4)0． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 【详解】（1）解：因为， 所以27的立方根是； （2）解：因为， 所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以0的立方根是． 【题型3】开立方的基础运算 1.核心知识点 开立方运算；立方根的符号性质 2.解题方法技巧 ①利用与直接化简，注意被开方数的符号； ②负数的立方根可转化为正数立方根的相反数，即； ③混合运算中，先算开方，再算乘除，最后算加减。 【例题3】.（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）计算： 【答案】1 【详解】解：原式． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·湖北十堰·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 【变式题3-2】.（25-26七年级下·湖南郴州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根的计算和有理数的混合运算． 解题思路是先分别计算出每一项的值，再按照有理数加减运算法则计算最终结果． 【详解】解：． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·陕西安康·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 提升层 【题型4】立方根与数轴结合的化简 1.核心知识点 立方根的性质；绝对值的化简；数轴的意义 2.解题方法技巧 ①根据数轴上点的位置，判断各代数式的正负性； ②利用直接化简立方根部分，无需考虑符号； ③结合绝对值的代数意义去掉绝对值符号，合并同类项得到最终结果。 【例题4】.（25-26七年级下·重庆开州·期中）数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简 (2)若数轴有C、D两点分别表示数和，且c，d满足，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴可得，据此先计算立方根，算术平方根和绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可； （2）根据被开方数非负求出d的值，进而求出c的值，再求出的值，结合平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴， ∴ ； （2）解：∵式子要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·四川南充·期中）已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴得到，，那么，，再化简即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， ∴ ． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图是数轴上三个点所对应的实数．试化简： 【答案】 【分析】直接利用数轴得出，再化简求解即可． 【详解】解：由图可得，， ∴ ． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·重庆·期中）实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，再化简得到平方根即可； （2）根据算术平方根、立方根、相反数的概念得到，再代入求平方根即可． 【详解】（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为； （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为． 【题型5】平方根与立方根的综合计算 1.核心知识点 平方根、立方根的定义与性质；代数式求值 2.解题方法技巧 ①根据“某数的平方根是多少”“某数的立方根是多少”的条件，分别列方程求出对应字母的值； ②将字母的值代入待求代数式，计算后再求其平方根或立方根； ③注意最终结果的完整性：平方根有两个，立方根只有一个。 【例题5】.（25-26七年级上·福建福州·期末）已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的概念可求出的值，再根据立方根的概念求出的值，把、的值代入中求值，最后根据平方根的概念即可得出答案． 【详解】解：∵为的算术平方根， 又∵的算术平方根为， ∴，解得：， ∵为的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【详解】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 【题型6】生活情境中的立方根应用 1.核心知识点 正方体、圆柱体体积公式；立方根的实际意义 2.解题方法技巧 ①根据几何体的体积公式，列出关于棱长、半径的三次方程； ②利用开立方运算求出对应边长，注意单位统一； ③涉及体积变化的问题，先求出变化前后的棱长，再计算增量或倍数。 【例题6】.（25-26七年级下·安徽六安·期中）排水法测体积的核心原理是：物体浸没在液体中时，物体排开液体的体积等于物体自身的体积．小华利用这一原理进行实验：用细线将一正方体铁块系住，完全浸入盛满水的圆柱形杯中，测得从杯中溢出的水的体积为；将铁块从杯中取出后，测得杯内水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1)正方体棱长 (2)直径为 【分析】（1）设正方体棱长为，由体积公式列方程求解即可； （2）设直径为，由圆柱体积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得或（负值不符合实际，舍去）， 答：杯内部的底面直径为． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·河北廊坊·阶段检测）实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可； （2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可． 【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·陕西榆林·期中）升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【答案】 【详解】解：设这个升降阻车桩的底面半径是，则高为， 由题意可得：． 解得． 答：这个升降阻车桩的底面半径是． 【题型7】估算立方根的大小 1.核心知识点 立方根的估算；夹逼法 2.解题方法技巧 ①找到与被开方数相邻的两个完全立方数，确定立方根介于哪两个整数之间； ②根据被开方数距离两个完全立方数的远近，判断更接近哪个整数； ③求整数部分与小数部分时，整数部分即为较小的整数，小数部分=原数-整数部分。 【例题7】.（25-26七年级下·广西南宁·期中）【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； (2)【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 【答案】(1)3，；3 (2)0 【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小，进而得出a的值，估算无理数的大小，进而得出b的大小，再代入计算即可得出的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； ∵， ∴， ∴的整数部分是3； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分； ∴， 又0的平方根是0， ∴的平方根是0． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东惠州·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以 的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ，所以是两位数； ②其次观察了立方数： ， ，猜想个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)计算：________． (2)若，则________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （）根据被开方数互为相反数列出方程解答即可求解； （）将所给等式变形为 ，根据立方根等于它本身的数是，，解答即可求解； 本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：因为， 所以是两位数； 其次观察立方数， ，猜想个位数字是； 接着将 往前移动位小数点后约为，因为， 所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得 的立方根是； 得到， 故答案为：； （2）解：， 与互为相反数， 与互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或或， 解得或或． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ， 所以是两位数； ②其次观察了立方数： ， …，猜想个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现． 结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数； 反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)计算的立方根（仿照材料中的方法） (2)若,则=______. (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）仿照材料中的方法解答即可； （2）根据两个立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数，得到，运算即可； （3）根据立方根等于自己本身的数为和，列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是两位数； ∵个位上的数字是， ∴个位上的数字是， ∵接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为， ∴的立方根是； （2）∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， ∵立方根等于自己本身的数为和， ∴；；； 解得：或或． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·重庆永川·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 【答案】(1)两；9；3；39 (2)110592的立方根为48，说明见解析 【分析】（1）根据立方根的定义补全过程即可； （2）仿照题干思路作答即可． 【详解】（1）解：因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个两位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是9； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是3．所以． （2）解：因为是一个立方数，即某个整数的立方， 由， 所以， 即能确定是一个两位数； 又∵的个位上的数是 ∴能确定的个位上的数是8； 划去后面的三位592得到数110，即将被开方数小数点向左移三位， ∵， ∴， 由此能确定的十位上的数是4． 所以． 【题型8】立方根的小数点移动规律应用 1.核心知识点 开立方的小数点移动规律；整体代换 2.解题方法技巧 ①牢记规律：被开方数小数点移3位，立方根小数点同向移1位； ②已知一个数的立方根，求相关数的立方根时，先对应移动被开方数的小数点，再按规律移动结果； ③已知立方根反求原数时，规律反向应用：立方根移1位，被开方数同向移3位。 【例题8】.（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 (1)根据上表的数据，可得________，________； (2)根据表格中数据，求的值． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的意义，结合表格中的数据可得答案； （2）被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么开平方的结果数的小数点向右移动一位，被开立方的数的小数点每向左移动三位，则开立方的结果的数的小数点向左移动一位，据此结合表格中的数据求出和的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由表格可知，，， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 培优层 【题型9】新定义运算中的立方根 1.核心知识点 新定义规则的理解；立方根的运算 2.解题方法技巧 ①准确解读新运算的规则，明确运算顺序与优先级； ②将新定义运算转化为常规的立方、开立方与四则混合运算； ③若为多层新运算，按从内到外的顺序逐层计算。 【例题9】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为______和______； (2)若数对的一个开方对称数对是，则_______； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据“开方对称数对”的定义解答即可； （2）根据“开方对称数对”的定义解答即可； （3）根据“开方对称数对”的定义分两种情况解答即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴数对的开方对称数对为和； （2）解：∵，，数对的一个开方对称数对是， ∴； （3）解：∵数对的一个开方对称数对是， ∴根据“开方对称数对”的定义，需要分两种情况讨论： 当，时，，，此时； 当，时，，，此时； ∴的值为或． 【变式题9-1】.（2026七年级下·北京·专题练习）下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3）＝ ，＝ ． 【答案】（1）一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根； （2））①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3），； 【分析】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； （3）通过将数进行四次方即可得到答案． 【详解】解：（1）类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根； （2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根． （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）；（2）； 【点睛】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·福建厦门·期中）阅读与探究： 在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根． (1)填表与定义 ①填表 1 16 81 ___________ ___________ ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 四次方根的定义：一般地，___________． (2)思考与归纳 求一个数的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 的四次方根是___________，的四次方根是___________，的四次方根是___________． ___________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中正数、、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫___________． A．类比思想                         B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想    D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数的四次方根用符号“”表示，读作“正、负四次根号”，其中是被开方数，是根指数．例如表示16的四次方根，． ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：___________（填“<”或“=”或“>”） 【答案】(1) ①，；②如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根.这就是说，如果，那么叫做的四次方根 (2) ①，，，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根；③B (3) ①；② 【分析】（1）①仿照平方根、立方根的求法，分别求出、的四次方根；②根据计算结果总结四次方根的定义； （2）①根据四次方根的定义分别求、、、的四次方根；②归纳四次方根的特征；③我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想； （3）①根据四次方根的定义求出结果；②分别求出和的四次方，通过比较它们的四次方，比较两数的大小． 【详解】（1）①解：， 若，则； ， 若，则； ②解：四次方根的定义：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根； （2）①解：， 的四次方根是； ， 的四次方根是； ， 的四次方根是； 任何数的次方都不等于， 没有四次方根； ②解：正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根； ③解：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想； （3）①解：， ； ②解：，， 又， ． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根 (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则a的取值范围是______； (3)求x的值：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查新定义，开方运算，解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； 故答案为：； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 易错点 1、概念混淆：将立方根与平方根的性质混淆，误认为负数没有立方根，或正数的立方根有两个。 2、符号失误：计算负数的立方根时符号处理错误，或忽略的性质，导致结果符号相反。 3、书写错误：书写立方根时遗漏根指数3，写成平方根的形式；解方程开立方时错误地添加正负号。 4、规律记错：将开平方与开立方的小数点移动规律混淆，移动位数对应错误。 重点 1、立方根的定义、表示方法与性质，能准确求一个数的立方根。 2、开立方运算的相关公式与性质，能利用立方根的定义解简单的三次方程。 难点 1、平方根与立方根的区别与联系，以及二者的综合运算与代数式求值。 2、立方根相关的规律探究问题，以及结合立体几何的实际应用与方案设计。 一、单选题 1．若，则等于（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质与立方根的计算，利用“几个非负数的和为时，每个非负数都为”求出，的值，再代入计算立方根即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 计算得， ∴． 2．已知，，，则（     ） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【答案】B 【分析】被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开立方的结果的小数点向右移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 3．若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 【答案】A 【分析】根据正方体体积等于棱长的立方，结合体积的变化即可求出棱长的变化倍数． 【详解】解：设原正方体的棱长为，则原正方体体积为， 设棱长变为原来的倍，则现棱长为，现体积为， 由题意得，即， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即棱长变为原来的倍． 二、填空题 4．已知的立方根是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵的立方根是， ∴． 解得：． 5．若，则__________． 【答案】2 【详解】解：， ． ． 6．已知，则的值为________． 【答案】34.56 【详解】解：， ． 三、解答题 7．计算： 【答案】 【详解】解： ． 8．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ∴的平方根是． 9．实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ． 10．有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 【答案】 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为． 11．已知正数m的两个平方根分别是a和b． (1)求的值； (2)若，且，求m． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相反数性质和立方根性质计算结果； （2）代入不等式得到的取值范围，即可求出的值． 【详解】（1）解：正数m的两个平方根分别是a和b， ， ． （2）解：由（1）得， 把代入，得， 解得，两边平方得，故， 又，而，得，解得， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $