第09讲 实数（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材苏科版

第09讲 实数（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+7个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 无理数 在数学活动课上，老师给每个小组发了两张边长为1的小正方形纸片，并提出了一个极具挑战性的任务：“请大家动动脑筋，通过剪一剪、拼一拼，把这两个小正方形重新组合，拼成一个大的正方形.” 小明和小伙伴们很快通过沿对角线剪开并重新拼接，成功得到了一个面积为 2的大正方形.可是，当老师接着追问：“既然大正方形的面积是2，那么它的边长 应该满足 =2.请问，这个边长 到底是多少？它是我们以前学过的整数或分数（有理数）吗？” 小明拿起尺子去量，发现边长既不是 1 也不是 2；他尝试用分数去凑，却发现没有一个分数的平方刚好等于 2.小明陷入了深深的困惑：这个真实存在的大正方形的边长，到底属于哪一类数呢？ 今天，就让我们一起跨越有理数的边界，去探索一个全新的数系——实数. 【知识点1 无理数】 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（相邻的两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 【题型1 无理数的概念】 【例1】（2026·福建三明·模拟预测）下列各数中是无理数的是（     ） A． B．3.14 C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项是整数，属于有理数； B选项是有限小数，可化为分数，属于有理数； C选项开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； D选项是分数，属于有理数． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法中，正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数 C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义解答即可． 【详解】A、有理数是整数和分数，故本选项错误，不符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误，不符合题意； C、无理数不可以写成分数的形式，故本选项错误，不符合题意； D、无理数是无限不循环小数，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【变式1-2】（2026·陕西咸阳·一模）写出一个比大的无理数，你写出的是：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据无理数是无限不循环小数的定义，结合“正数大于负数”的比较规则，找出一个大于的无限不循环小数即可． 【详解】解：满足数值大于且是无限不循环小数，（写一个符合题目要求即可）． 故答案为：． 【变式1-3】（2026·陕西西安·模拟预测）在实数，，，，，中，其中无理数有_________个． 【答案】 【详解】解：是分数，属于有理数；是整数，属于有理数；是开方开不尽的数，属于无理数；是有限小数，属于有理数；是开方开不尽的数，属于无理数；，是整数，属于有理数； 综上，无理数有2个． 【题型2 无理数的大小估算】 【例2】（2026九年级下·河南信阳·专题练习）下列各数中，最大的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数大小比较的基本规则，先区分正负，再比较正数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵负数小于0，0小于正数， ∴，， ∵，， ∴， 综上可得，，最大的数是． 【变式2-1】（2026·江苏徐州·一模）的结果值介于（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】夹逼法进行估算即可. 【详解】∵ ， 又∵ ， ∴ 即； ∴的结果值介于5和6之间. 【变式2-2】（2026·安徽合肥·二模）下列整数中，与最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先估算出的大致范围，判断更接近哪个整数，再判断与最接近的整数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴更接近， 则更接近， ∴最接近的整数是． 【变式2-3】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）满足的整数x有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：，，， ，即， 同理，由，可得， 满足的整数为，共个． 【题型3 无理数的大小比较】 【例3】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）比较大小：______． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质得到的范围，即可比较大小． 【详解】， ，即， 不等式两边同时加，得 ， ． 【变式3-1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列实数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，则，故C选项错误； ，则，故D选项正确； 故选：D． 【变式3-2】比较3， ,    （       ） A．3＜＜ B．3＜＜ C．＜3＜ D．＜＜3 【答案】C 【分析】先估算它们的大小，然后再比较即可． 【详解】∵<<， ∴3＜＜4， ∵<< ∴2<<3 ∴＜3＜ 故选C. 【点睛】本题主要考查的是比较实数的大小，掌握相关方法是解题的关键． 【变式3-3】比较大小: ____1．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】先估算出，再根据不等式的基本性质即可得出． 本题考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小，解题的关键是准确估算出无理数的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：>． 【题型4 无理数整数部分的有关计算】 【例4】（2026·安徽滁州·二模）某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为，它的整数部分是__________． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质确定的取值范围，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ， 即， 因此的整数部分是． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海宝山·期末）若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是估算无理数的大小，解题关键是利用不等式的性质确定出的范围． 先由确定 的整数部分和小数部分，再计算． 【详解】解：， ， ， ， 即， 则整数部分，小数部分， ． 故选：． 【变式4-2】若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为_______． 【答案】 【分析】先根据无理数的估算方法以及不等式的性质得到，即可求解，再代入求值即可． 【详解】解：，即， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 【变式4-3】【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分是1，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1)8， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，解题的关键是理解材料中无理数估算的过程． （1）根据材料中给定的求小数部分的过程求解即可； （2）先求出a和b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为8． ∴的小数部分为． 故答案为：8，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴，， ∴． 模块三 实数 【知识点2 实数的概念及分类】 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 正数，有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 【知识点3 实数与数轴的关系】 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都能表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应． 【知识点4 实数范围内的有关概念】 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是， 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 【知识点5 用计算器求数的平方根与立方根】 （1）用计算器求非负数a的平方根，按键顺序如下：按平方根运算键输入数据a按等号键显示结果． （2）用计算器求数a的立方根，按键顺序如下：先按，再按立方根运算键输入数据a按等号键显示结果． 【知识点6 实数的运算】 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．在实数运算中，当遇到无理数时，可用计算器进行求值． 【知识点7 实数的大小比较】 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）利用计算器计算出它们的近似值，再比较大小． 【题型5 实数的概念与分类】 【例5】下列说法中，正确的是（    ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．正实数包括正有理数和正无理数 【答案】D 【分析】根据实数的分类可进行求解． 【详解】解：A、无理数包括正无理数和负无理数，原说法错误，故不符合题意； B、无限不循环小数是无理数，原说法错误，故不符合题意； C、实数可分为正实数、零和负实数，原说法错误，故不符合题意； D、正实数包括正有理数和正无理数，说法正确，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 【变式5-1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）下列说法错误的是（     ） A．是分数 B．是正实数 C．是无理数 D．是有理数 【答案】A 【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数，根据定义判断各选项，即可找出错误说法． 【详解】解：A．中是无理数，因此仍是无理数，不属于分数，该说法错误； B． ，是正实数，因此该说法正确； C．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，因此该说法正确； D．，是分数，属于有理数，因此该说法正确． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 【答案】D 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 【变式5-3】在 ，，，，，，（两个 之间依次多一个 ），0.3中． （1）是有理数的有 ． （2）是无理数的有 ． （3）是整数的有 ． （4）是分数的有 ． 【答案】（1），，，，0.3；（2），，（两个 之间依次多一个 ）；（3），，，；（4）0.3 ． 【分析】无理数就是无限不循环小数．整数和分数统称为有理数，整数应包括正整数、0、负整数．分数包括正负数、负分数．由此即可判定求解． 【详解】（1）是有理数的有 ，，，，0.3； （2）是无理数的有，，（两个 之间依次多一个 ）； （3）是整数的有 ，，，； （4）是分数的有0.3 ． 【点睛】此题主要考查了无理数和有理数的定义，也考查了整数分数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 【题型6 实数与数轴上点的关系】 【例6】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a，b，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上点的特征． 观察图形可知：，，再根据实数的加法、减法和乘法法则判断各个选项中的式子即可． 【详解】解：观察图形可知：，， ∴，，， ∴A选项正确，B，C，D选项不正确， 故选：A． 【变式6-1】已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________． 【答案】或 【分析】根据数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，可以得到点A表示的数，从而可以得到数轴上到点A的距离为的点所表示的数． 【详解】解：∵数轴上点到原点的距离为1，且点在原点的右侧， ∴点表示的数是1， ∴数轴上到点的距离为的点所表示的数是：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查实数与数轴、两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的知识解答． 【变式6-2】如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为_______ 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式求出的长，则可求出的长，再根据点A表示的数即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点A在数轴上，且表示的数为， ∴则数轴上点E所表示的数为 ． 【变式6-3】图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．          (1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． (2)如图2所示，点A表示的数是________． (3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） 【答案】(1)5， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根． （1）正方形的面积是由五个边长为1的小正方形组成的，由此可得面积，进而可得边长； （2）根据（1）正方形是由4个直角三角形组成的，从而求出图2中的长，再根据实数与数轴的关系即可得到答案； （3）仿照（1）画出正方形，进而可得正方形边长为，再仿照图2求解即可． 【详解】（1）解：∵图1中拼成的正方形是由五个边长为1的小正方形组成的， ∴图1中拼成的正方形的面积是5， ∴图1中拼成的正方形的边长为， 故答案为：5，； （2）解：由图1可知，边长为的正方形是由4个直角边为1，2的直角三角形组成的， ∴此直角三角形的斜边长为， 同理可得， ∴点A表示的数为， 故答案为：；    （3）解：如图所示，即为所求．    【题型7 实数的运算】 【例7】已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值是，f的算术平方根为8，则 的值为_____________ 【答案】 【分析】直接利用倒数以及互为相反数、绝对值、算术平方根的定义分别分析得出答案． 【详解】解：，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8， ，，，， 故 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数的性质，代数式求值，正确掌握相关定义是解题关键． 【变式7-1】求下列各数的相反数、倒数和绝对值． 相反数 倒数 绝对值 【答案】见解析 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义依次即可得出答案． 【详解】解： 相反数 倒数 -5 绝对值 【点睛】本题考查实数的分类，立方根、分母有理化．对于分母中是二次根式的要分母有理化． 【变式7-2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26七年级下·广西崇左·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)9 (2) (3)0 (4)2 【分析】（1）先计算乘方，算术平方根，再合并即可； （2）先去括号，再合并即可； （3）先计算算术平方根，立方根，再合并即可； （4）先计算绝对值，乘方，再合并即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型8 用计算器进行实数运算】 【例8】有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：因为计算器只能显示十三位（包括小数点），要想知道7后面的数字是什么，必须想办法让7后面的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让7后面的数据出现． 解：A.10=14.1421356237，总的位数还是13位， 所以不可能出现7后面的数字，故A错误； B.10（﹣1）=14.1421356237﹣10=4.1421356237一共12位， 这样7后面的数字一定会出现，故B正确； C.100=141.421356237，总的位数还是13位， 所以不可能出现7后面的数字，故C错误； D.﹣1=1.41421356237﹣1=0.41421356237一共13位， 这样7后面的数字不可能出现，故D错误； 故选B． 点评：此题主要考查了数的规律，以及计算器的开方性质，得出让7后面的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 【变式8-1】用计算器比较大小：_______．（填“>”，“<”或 “=”号） 【答案】< 【详解】∵，， ∴. 故填“<”. 【变式8-2】用计算器计算：2+（结果精确到0.001）. 【答案】3.312 【详解】试题分析：首先熟悉计算器的求算术平方根和立方根的键，然后利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入取近似数即可. 试题解析：2+≈2+4.5826-3.2711≈3.312 【变式8-3】适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 ， ， ， ，    …， 仔细观察上面几道题结果，试猜想的值． 【答案】5，55， 555， 5555， 【分析】利用计算器依次计算，，，由此即可猜想的值． 【详解】； =55，=555，=5555 ∴猜想= 故答案为：5，55， 555， 5555， ． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据所求发现变化规律进行求解． 模块四 课后作业 1．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D．3.1415926 【答案】C 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、是整数，属于有理数，不符合题意； C、中是无限不循环小数，因此也是无理数，符合题意； D、是有限小数，属于有理数，不符合题意． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）实数的相反数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据相反数定义即可直接求出结果． 【详解】解：∵ 根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，数的相反数为， ∴ 的相反数为 ． 3．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，利用被开方数越大，对应的算术平方根越大的性质，先确定的取值范围，再推导的取值范围． 【详解】解：， ， 即， 不等式三边同时减1得. ， 即． 4．如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 5．（25-26七年级下·全国·期末）在实数，，，，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用绝对值、立方根化简，然后再比较即可． 【详解】解：，，， ，即， 最小的数是． 6．（25-26七年级下·吉林·期中）写出一个比3大的正无理数__________． 【答案】（答案不唯一，大于3的正无理数均可） 【分析】由，即可得出结果． 【详解】解：是正无理数，且，满足题意要求． 7．（25-26七年级上·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，在数轴上，点是线段的中点，，表示的数是和，则点表示的数是______． 【答案】/ 【详解】解：∵点是线段的中点，，表示的数是和， ∴， ∴点表示的数是． 9．（25-26八年级下·四川广元·期中）若 其中m是正整数，则m的值是_____． 【答案】3 【分析】利用相邻完全平方数的算术平方根和是正整数确定的值． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵m是正整数， ∴． 10．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）已知变换：，例如，则的变换结果是______． 【答案】 【分析】根据新定义的变换规则，运用算术平方根和立方根的运算法则，从内向外依次计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴． 11．（25-26七年级下·四川泸州·期中）计算： 【答案】 【分析】先利用有理数乘方、绝对值、立方根、算术平方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 12．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 13．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，求代数式的值． （1）根据数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值求解即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示， ∴； （2）解：∵， ∴． 14．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】(1)3，3 (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 15．阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 实数（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+7个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 无理数 在数学活动课上，老师给每个小组发了两张边长为1的小正方形纸片，并提出了一个极具挑战性的任务：“请大家动动脑筋，通过剪一剪、拼一拼，把这两个小正方形重新组合，拼成一个大的正方形.” 小明和小伙伴们很快通过沿对角线剪开并重新拼接，成功得到了一个面积为 2的大正方形.可是，当老师接着追问：“既然大正方形的面积是2，那么它的边长 应该满足 =2.请问，这个边长 到底是多少？它是我们以前学过的整数或分数（有理数）吗？” 小明拿起尺子去量，发现边长既不是 1 也不是 2；他尝试用分数去凑，却发现没有一个分数的平方刚好等于 2.小明陷入了深深的困惑：这个真实存在的大正方形的边长，到底属于哪一类数呢？ 今天，就让我们一起跨越有理数的边界，去探索一个全新的数系——实数. 【知识点1 无理数】 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（相邻的两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 【题型1 无理数的概念】 【例1】（2026·福建三明·模拟预测）下列各数中是无理数的是（     ） A． B．3.14 C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法中，正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数 C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数 【变式1-2】（2026·陕西咸阳·一模）写出一个比大的无理数，你写出的是：______．（写出一个即可） 【变式1-3】（2026·陕西西安·模拟预测）在实数，，，，，中，其中无理数有_________个． 【题型2 无理数的大小估算】 【例2】（2026九年级下·河南信阳·专题练习）下列各数中，最大的是（   ） A．0 B． C． D． 【变式2-1】（2026·江苏徐州·一模）的结果值介于（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【变式2-2】（2026·安徽合肥·二模）下列整数中，与最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-3】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）满足的整数x有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型3 无理数的大小比较】 【例3】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）比较大小：______． 【变式3-1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列实数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】比较3， ,    （       ） A．3＜＜ B．3＜＜ C．＜3＜ D．＜＜3 【变式3-3】比较大小: ____1．（填“>”“<”或“=”） 【题型4 无理数整数部分的有关计算】 【例4】（2026·安徽滁州·二模）某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为，它的整数部分是__________． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海宝山·期末）若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为_______． 【变式4-3】【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分是1，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 模块三 实数 【知识点2 实数的概念及分类】 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 正数，有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 【知识点3 实数与数轴的关系】 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都能表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应． 【知识点4 实数范围内的有关概念】 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是， 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 【知识点5 用计算器求数的平方根与立方根】 （1）用计算器求非负数a的平方根，按键顺序如下：按平方根运算键输入数据a按等号键显示结果． （2）用计算器求数a的立方根，按键顺序如下：先按，再按立方根运算键输入数据a按等号键显示结果． 【知识点6 实数的运算】 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．在实数运算中，当遇到无理数时，可用计算器进行求值． 【知识点7 实数的大小比较】 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）利用计算器计算出它们的近似值，再比较大小． 【题型5 实数的概念与分类】 【例5】下列说法中，正确的是（    ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．正实数包括正有理数和正无理数 【变式5-1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）下列说法错误的是（     ） A．是分数 B．是正实数 C．是无理数 D．是有理数 【变式5-2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 【变式5-3】在 ，，，，，，（两个 之间依次多一个 ），0.3中． （1）是有理数的有 ． （2）是无理数的有 ． （3）是整数的有 ． （4）是分数的有 ． 【题型6 实数与数轴上点的关系】 【例6】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a，b，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________． 【变式6-2】如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为_______ 【变式6-3】图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．          (1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． (2)如图2所示，点A表示的数是________． (3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） 【题型7 实数的运算】 【例7】已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值是，f的算术平方根为8，则 的值为_____________ 【变式7-1】求下列各数的相反数、倒数和绝对值． 相反数 倒数 绝对值 【变式7-2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 【变式7-3】（25-26七年级下·广西崇左·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【题型8 用计算器进行实数运算】 【例8】有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】用计算器比较大小：_______．（填“>”，“<”或 “=”号） 【变式8-2】用计算器计算：2+（结果精确到0.001）. 【变式8-3】适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 ， ， ， ，    …， 仔细观察上面几道题结果，试猜想的值． 模块四 课后作业 1．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D．3.1415926 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）实数的相反数是（     ） A． B． C．2 D． 3．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·期末）在实数，，，，最小的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·吉林·期中）写出一个比3大的正无理数__________． 7．（25-26七年级上·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 8．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，在数轴上，点是线段的中点，，表示的数是和，则点表示的数是______． 9．（25-26八年级下·四川广元·期中）若 其中m是正整数，则m的值是_____． 10．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）已知变换：，例如，则的变换结果是______． 11．（25-26七年级下·四川泸州·期中）计算： 12．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 13．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 14．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 15．阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $