2.2.3　直线的一般式方程 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦直线的一般式方程，通过情境导入提问“是否存在通用方程形式”，衔接已学的点斜式、斜截式等四种特殊形式，搭建从特殊到一般的认知支架，帮助学生理解一般式的定义及必要性。 其亮点在于以数学抽象、逻辑推理为核心素养导向，通过典型例题（如平行垂直求方程、含参问题参数求解）和通性通法总结，培养学生方程互化与应用能力。采用分层训练（基础巩固、综合运用、拓展探究），学生能系统提升解题思维，教师可直接用于课堂教学，提高教学效率。

2.2.3　 直线的一般式方程 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 新课程标准解读 核心素养 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方 程的一般式 数学抽象、 逻辑推理 2.会进行直线方程的五种形式间的转化 逻辑推理、 数学运算 目录 数学·选择性必修第一册 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条 件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用. 【问题】　是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点　直线的一般式方程 1. 定义：关于 x ， y 的二元一次方程 （其中 A ， B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. Ax ＋ By ＋ C ＝0　 目录 数学·选择性必修第一册 2. 一般式与其他形式的互化 目录 数学·选择性必修第一册 提醒　系数的几何意义：①当 B ≠0时，则－ ＝ k （斜率），－ ＝ b （ y 轴上的截距）；②当 B ＝0， A ≠0时，则－ ＝ a （ x 轴上 的截距），此时不存在斜率. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 x ， y 的 二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0来表示. （　√　） （2）垂直于 x 轴的直线方程可表示为 Ax ＋ C ＝0（ A ≠0）. （　√　） （3）直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0的斜率为－ . （　×　） （4）当 C ＝0时，方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0表示过原点的直线. （　√　） √ √ × √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 若方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0表示直线，则 A ， B 应满足的条件为 （　　） A. A ≠0 B. B ≠0 C. A · B ≠0 D. A2＋ B2≠0 解析： 　根据直线方程的一般式可知，要使 Ax ＋ By ＋ C ＝0表示 直线，则 A ， B 不能同时为0，即 A2＋ B2≠0.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 若直线 l 的方程为2 x ＋ y ＋3＝0，求直线 l 的纵截距、横截距及斜率. 解：在2 x ＋ y ＋3＝0中，令 x ＝0，得 y ＝－3，故直线 l 的纵截距为 －3. 令 y ＝0，得 x ＝－ ， 故直线 l 的横截距为－ ， 2 x ＋ y ＋3＝0，即 y ＝－2 x －3，故直线 l 的斜率为－2. 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线的一般式方程 角度1　求直线的一般式方程 【例1】　根据下列条件求直线的一般式方程： （1）直线的斜率为2，且经过点 A （1，3）； 解： 因为 k ＝2，且经过点 A （1，3），由直线的点斜式方 程可得 y －3＝2（ x －1），整理可得2 x － y ＋1＝0，所以直线的 一般式方程为2 x － y ＋1＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）斜率为 ，且在 y 轴上的截距为4； 解： 由直线的斜率 k ＝ ，且在 y 轴上的截距为4，得直 线的斜截式方程为 y ＝ x ＋4. 整理可得直线的一般式方程为 x － y ＋4＝0. （3）经过两点 A （2，－3）， B （－1，－5）； 解： 由直线的两点式方程可得 ＝ ，整理得直 线的一般式方程为2 x －3 y －13＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 （4）在 x ， y 轴上的截距分别为2，－4. 解： 由直线的截距式方程可得 ＋ ＝1，整理得直线的 一般式方程为2 x － y －4＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求直线一般式方程的策略 　　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据 给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 目录 数学·选择性必修第一册 角度2　直线的一般式方程的几何意义 【例2】　（2024·济源质检）求下列直线的斜率以及在两坐标轴上的 截距，并画出图形. （1）－ － ＝1； 解： 将直线的方程化为斜截式为 y ＝－ x －3，因此该直线的斜率为－ ，在 y 轴上 的截距是－3.令 y ＝0，得 x ＝－4，即直线在 x 轴上的截距是－4.图形如图①所示. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）4 x －6 y ＋3＝0. 解： 将直线的方程化为斜截式为 y ＝ x ＋ ，在 y 轴上的截 距是 .令 y ＝0，得 x ＝－ ，即直线在 x 轴上 的截距是－ .图形如图②所示. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　由直线的一般式方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A 、 B 不同时为0）求直线 在两坐标轴上的截距时，令 x ＝0，得直线在 y 轴上的截距；令 y ＝0， 得直线在 x 轴上的截距.由两截距的位置可知直线的位置. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率为4，在 y 轴上的截距为－2； 解： y ＝4 x －2，即4 x － y －2＝0. （2）在 y 轴上的截距为3，且平行于 x 轴； 解： y ＝3，即 y －3＝0. （3）经过 C （－1，5）， D （2，－1）两点. 解： 由两点式方程得 ＝ ，即2 x ＋ y －3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 一般式下两直线的平行或垂直 目录 数学·选择性必修第一册 角度1　由平行、垂直求直线方程 【例3】　（2024·莆田月考）已知直线 l 的方程为3 x ＋4 y －12＝0，求 满足下列条件的直线l'的方程： （1）过点（－1，3），且与 l 平行； （1）因为l'与 l 平行，所以l'的斜率为－ . 又因为l'过点（－1，3）， 所以由点斜式知l'的方程为 y －3＝－ （ x ＋1）， 即3 x ＋4 y －9＝0. 解：法一　 l 的方程可化为 y ＝－ x ＋3，所以 l 的斜率为－ . 法二　 由l'与 l 平行，可设l'的方程为3 x ＋4 y ＋ m ＝0.将点（－ 1，3）代入上式得 m ＝－9. 所以所求直线的方程为3 x ＋4 y －9＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）过点（－1，3），且与 l 垂直. 解：法一　因为l'与 l 垂直，所以l'的斜率为 ，又l'过点（－1，3）， 所以由点斜式可得方程为 y －3＝ （ x ＋1）， 即4 x －3 y ＋13＝0. 法二　由l'与 l 垂直，可设l'的方程为4 x －3 y ＋ n ＝0. 将（－1，3）代入上式得 n ＝13. 所以所求直线的方程为4 x －3 y ＋13＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 （1）与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0平行的直线方程可设为 Ax ＋ By ＋ m ＝0 （ m ≠ C ）； （2）与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0垂直的直线方程可设为 Bx － Ay ＋ m ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 角度2　由直线的平行、垂直求参数 【例4】　已知两条直线 l1：（ a －1） x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x ＋ ay ＋1 ＝0平行，则 a ＝（　　） A. －1 B. 2 C. 0或－2 D. －1或2 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　法一　由题知，两条直线 l1：（ a －1） x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x ＋ ay ＋1＝0平行，则 a （ a －1）＝2，解得 a ＝－1或 a ＝2.当 a ＝－1时，直线 l1：－2 x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x － y ＋1＝0平行；当 a ＝2 时，直线 l1： x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x ＋2 y ＋1＝0重合（舍去）.综上， a ＝－1.故选A. 法二　因为两直线平行且 x ， y 前的系数不为0，所以 ＝ ≠ ，解 得 a ＝－1.故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 利用一般式解决直线平行、垂直问题的策略 直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0，直线 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0. （1）若 l1∥ l2⇔ A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2－ B2 C1≠0（或 A1 C2－ A2 C1≠0）； （2）若 l1⊥ l2⇔ A1 A2＋ B1 B2＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 直线 l 过点（－1，2），且与直线2 x －3 y ＋4＝0垂直，则 l 的方程 是（　　） A. 3 x ＋2 y －1＝0 B. 3 x ＋2 y ＋7＝0 C. 2 x －3 y ＋5＝0 D. 2 x －3 y ＋8＝0 解析： 　依题意可设所求直线方程为3 x ＋2 y ＋ c ＝0，又直线 l 过点（－1，2），代入可得 c ＝－1，故所求直线方程为3 x ＋2 y －1＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·梅州月考）已知直线 l1： x ＋ my －2 m －2＝0，直线 l2： mx ＋ y －1－ m ＝0，则当 l1⊥ l2时， m ＝ 　　；当 l1∥ l2时， m ＝ 　　. 0　 解析：若 l1⊥ l2，则1× m ＋ m ×1＝0，得 m ＝0；若 l1∥ l2，则 m2－1 ＝0，且（－1－ m ）×1－ m （－2 m －2）≠0，解得 m ＝1. 1 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 由含参一般式求参数的值（范围） 【例5】　（1）（2024·泰州质检）设直线 l 的方程为（ m －1） x ＋ y － m ＝0（ m ∈R）.若直线 l 不过第三象限，则 m 的取值范围为  　　 ； [1，＋∞）　 解析： 把直线 l 的方程化成斜截式，得 y ＝（1－ m ） x ＋ m ，因为直线 l 不过第三象限，所以该直线的斜率小于等于零， 且直线在 y 轴上的截距大于等于零，即解得 m 的取 值范围为[1，＋∞）. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）直线 l 的方程为（ a ＋1） x ＋ y ＋2－ a ＝0（ a ∈R）.若 l 在两坐 标轴上的截距相等，则 l 的方程为 　 　. 3 x ＋ y ＝0或 x ＋ y ＋2＝0 解析：当直线 l 过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距都为 零，显然相等，则（ a ＋1）×0＋0＋2－ a ＝0，∴ a ＝2，即 l 的 方程为3 x ＋ y ＝0；当直线 l 不过原点，即 a ≠2时，其方程可化 为 ＋ ＝1，由 l 在两坐标轴上的截距相等得 ＝ a －2， 即 a ＋1＝1，∴ a ＝0，即 l 的方程为 x ＋ y ＋2＝0.综上， l 的方程 为3 x ＋ y ＝0或 x ＋ y ＋2＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 由含参一般式求参数的值（范围）的策略 （1）要掌握各种形式的直线方程的基本类型和对应的限制条件； （2）已知直线过（不过）某个象限，求参数值（范围）时，常用直 线的斜截式方程进行求解，但要注意斜率为0或不存在的情况. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　设直线 l 的方程为2 x ＋（ k －3） y －2 k ＋6＝0（ k ≠3），根据下列 条件分别确定 k 的值： （1）直线 l 的斜率为－1； 解： 因为直线 l 的斜率存在， 所以直线 l 的方程可化为 y ＝－ x ＋2， 由题意得－ ＝－1，解得 k ＝5. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于0. 解： 直线 l 的方程可化为 ＋ ＝1， 由题意得 k －3＋2＝0，解得 k ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 直线 ＋ ＝1化成一般式方程为（　　） C. 4 x ＋3 y －12＝0 D. 4 x ＋3 y ＝12 解析： 　由 ＋ ＝1，得4 x ＋3 y ＝12，即4 x ＋3 y －12＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为倾斜角为45° ，所以斜率为1 ， 由直线的点斜式方程，得y - 1 = x - 2 ，即x - y - 1 = 0. 2. (2025高二上·南海月考) 已知直线l经过点(2, 1) ，且倾斜角为45° ，则直线l的方程为（　　） A. x - y - 3 = 0 B. x + y - 3 = 0 C. x + y - 1 = 0 D. x - y - 1 = 0 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·东营月考）两条直线 x ＋2 y ＋ m ＝0和2 x － y ＋ n ＝0的位置 关系是（　　） A. 平行 B. 垂直 C. 不平行也不垂直 D. 与 m ， n 的取值有关 解析： 因为 A1 A2＋ B1 B2＝1×2－2×1＝0，所以两直线垂直. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式： （1）经过点 B （－ ，2），倾斜角是30°； 解： 因为直线经过点 B （－ ，2），倾斜角是30°，所 以斜率为 ，所以直线的点斜式方程为 y －2＝ （ x ＋ x － y ＋2＋ ＝0. （2）经过点（1，2）且与直线 x － y ＋1＝0垂直. 解： 设所求直线方程为 y ＝－ x ＋ b ， 将点（1，2）的坐标代入可得 b ＝1＋2＝3， 所以所求的直线方程为 y ＝－ x ＋3，即 x ＋ y －3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 直线3 x －2 y －4＝0的截距式方程是（　　） 解析： 　由3 x －2 y －4＝0，得3 x －2 y ＝4，即 x － y ＝1，即 ＋ ＝1，所以直线的截距式方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 倾斜角为60°，在 y 轴上的截距为－1的直线方程是（　　） 解析： 　由题意知，直线斜率 k ＝tan 60°＝ ，在 y 轴上的截距 为－1，所以直线的斜截式方程是 y ＝ x －1，化为一般式为 x － y －1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有（　　） A. AB ＞0 B. AB ＜0 C. A ＞0且 B ＜0 D. A ＞0或 B ＜0 解析： 　因为倾斜角为锐角，所以 k ＝－ ＞0，所以 AB ＜0. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·南京月考）已知直线 l 过点（2，3）且与直线 m ： x －2 y ＋5 ＝0平行，则直线 l 的方程为（　　） A. 2 x ＋ y －7＝0 B. 2 x － y －1＝0 C. x －2 y ＋4＝0 D. x －2 y ＋1＝0 解析： 　法一　因为直线 l 与直线 m ： x －2 y ＋5＝0平行，所以直 线 l 的斜率为 .又直线 l 过点（2，3），所以直线 l 的方程为 y －3＝ （ x －2），即 x －2 y ＋4＝0.故选C. 法二　因为 l ∥ m ，所以可设 l ： x －2 y ＋ c ＝0.又 l 过点（2， 3），所以2－2×3＋ c ＝0，解得 c ＝4.所以直线 l 的方程为 x －2 y ＋4＝0.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）下列说法正确的是（　　） A. 直线 y ＝ ax －2 a （ a ∈R）必过点（2，0） B. 直线 y ＋1＝3 x 在 y 轴上的截距为1 D. 过点（－2，3）且垂直于直线 x －2 y ＋3＝0的直线方程为2 x ＋ y ＋ 1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　A项，将点（2，0）代入直线方程知正确；B项，令 x ＝0得 y ＝－1，故在 y 轴上的截距为－1，错误；C项，由直线方程 知：斜率为－ ，则倾斜角为150°，错误；D项，由2 x ＋ y ＋1＝ 0， x －2 y ＋3＝0的斜率分别为－2， ，则有－2× ＝－1，故相互 垂直，将点（－2，3）代入方程2 x ＋ y ＋1＝0得2×（－2）＋3＋1 ＝0，故正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）已知直线 l1： x ＋ my －1＝0， l2：（ m －2） x ＋3 y ＋3＝ 0，则下列说法正确的是（　　） A. 若 l1∥ l2，则 m ＝－1 B. 若 l1∥ l2，则 m ＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　若直线 l1∥ l2，则3－ m （ m －2）＝0，解得 m ＝3或 m ＝－1.当 m ＝－1时，两直线的方程分别为 x － y －1＝0，－3 x ＋3 y ＋3＝0（即 x － y －1＝0），两直线重合；当 m ＝3时两直线平行， 故A错误，B正确.若 l1⊥ l2，则 m －2＋3 m ＝0，得 m ＝ ，故C错 误，D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 若直线（2 m2－5 m ＋2） x －（ m2－4） y ＋5 m ＝0的倾斜角是45°， 则实数 m ＝ ⁠. 解析：由已知得∴ m ＝3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. （2024·济宁月考）已知直线 l 的斜率是直线2 x －3 y ＋12＝0的斜率 的 ， l 在 y 轴上的截距是直线2 x －3 y ＋12＝0在 y 轴上的截距的2 倍，则直线 l 的方程为 ⁠. 解析：直线2 x －3 y ＋12＝0的斜率为 ，在 y 轴上截距为4.根据题 意，直线 l 的斜率为 ，在 y 轴上截距为8，所以直线 l 的方程为 y ＝ x ＋8，即 x －3 y ＋24＝0. x －3 y ＋24＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 若直线的截距式 ＋ ＝1化为斜截式为 y ＝－2 x ＋ b ，化为一般式 为 bx ＋ ay －8＝0且 a ＞0，则 a ＋ b ＝ ⁠. 解析：由 ＋ ＝1，得 y ＝－ x ＋ b ，一般式为 bx ＋ ay － ab ＝0， 所以－ ＝－2，－ ab ＝－8，即 因为 a ＞0，所以 a ＝2， b ＝4，所以 a ＋ b ＝6. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 已知直线 l 经过点 P （2，3）且斜率为－ . （1）求直线 l 的一般式方程； 解： 由点斜式可得直线 l 的方程为 y －3＝－ （ x －2），化为一般式方程可得3 x ＋2 y －12＝0. （2）求与直线 l 垂直，且过点（－3，1）的直线的一般式方程. 解： 设所求方程为2 x －3 y ＋ n ＝0.因为过点（－3，1）， 所以－6－3＋ n ＝0，解得 n ＝9，则所求直线的一般式方程 为2 x －3 y ＋9＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. （2024·盐城月考）已知直线 l1： ax ＋ y －2＝0， l2：（ a ＋3） x － 2 by ＋1＝0（ a ＞0， b ＞0）互相垂直，则 的取值范围为 （　　） D. （3，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　∵直线 l1： ax ＋ y －2＝0， l2：（ a ＋3） x －2 by ＋1＝0 （ a ＞0， b ＞0）互相垂直，∴ a （ a ＋3）－2 b ＝0，∴ ＝ .∵ a ＞0， b ＞0，∴ ∈（0， ）.∴ 的取值范围为（0， ）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）将直线3 x － y ＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移 m （ m ∈N*）个单位长度，所得直线的方程可能为（　　） A. 3 x － y ＋1＝0 B. x ＋3 y －1＝0 C. x ＋3 y －3＝0 D. x ＋3 y ＋3＝0 解析： 　将直线3 x － y ＝0绕原点逆时针旋转90°，得到直线 y ＝－ x ，再向右平移 m （ m ∈N*）个单位长度，所得直线的方程 为 y ＝－ （ x － m ），即 x ＋3 y － m ＝0（ m ∈N*）.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 设 A ， B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为2，且｜ PA ｜＝｜ PB ｜，若直线 PA 的斜率为 ，那么直线 PB 的斜率为 　－ 　；若 直线 PA 的方程为 x － y ＋1＝0，则直线 PB 的方程为 ⁠ ⁠. 解析：由题意， PA 与 PB 两直线的倾斜角互补，故 kPB ＝－ kPA ＝－ ；因为直线 PA 的方程为 x － y ＋1＝0，∴ kPB ＝－1，由 x ＝2时， y ＝3，得 P （2，3），∴直线 PB 过点（2，3），故 PB 的方程为 y －3＝－（ x －2），即 x ＋ y －5＝0. － 　 x ＋ y －5＝ 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 已知直线 l1： ax － by ＋4＝0， l2：（ a －1） x ＋ y ＋ b ＝0，求分别 满足下列条件的 a ， b 的值： （1） l1⊥ l2，且直线 l1过点 M （－4，－1）； 解： ∵ l1过点 M （－4，－1），∴－4 a ＋ b ＋4＝0. ∵ l1⊥ l2，∴ a ×（ a －1）－ b ＝0.∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）直线 l1∥ l2，且 l1， l2在 y 轴上的截距互为相反数. 解： 由题意可得，两条直线不可能都经过原点，当 b ＝ 0时，两条直线分别化为 ax ＋4＝0，（ a －1） x ＋ y ＝0，可 知两条直线不平行. b ≠0时两条直线分别化为： y ＝ x ＋ ， y ＝（1－ a ） x － b ，∴ ＝1－ a ， ＝ b ，解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·杭州月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角 形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三 角形的“欧拉线”.已知在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点分别 为 A （0，0）， B （8，0）， C （0，6），则△ ABC 的“欧拉线” 方程为（　　） A. 3 x ＋4 y －3＝0 B. 3 x －4 y ＝0 C. 3 x －4 y ＋3＝0 D. 3 x ＋4 y ＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为直线 AB 的斜率为 ＝0，直线 AC 的斜率不存在， 所以∠ CAB 为直角，即△ ABC 是直角三角形，则垂心为直角顶点 A （0，0），外心为斜边 BC 的中点 M （4，3）.因为点 A ， M 所在 直线的斜率为 ＝ ，所以“欧拉线”的方程为 y ＝ x ，即3 x － 4 y ＝0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·泰安质检）已知集合 A ＝{（ x ， y ） ＝ a ＋1}， B ＝ {（ x ， y ）｜（ a2－1） x ＋（ a －1） y ＝15}，当 a 取何值时， A ∩ B ＝⌀？ 解：集合 A ， B 分别为点集. 集合 A 表示 l1：（ a ＋1） x － y －2 a ＋1＝0（ x ≠2）， 集合 B 表示 l2：（ a2－1） x ＋（ a －1） y －15＝0. 由得 a ＝±1. ①当 a ＝1时， B ＝⌀， A ∩ B ＝⌀； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ②当 a ＝－1时，集合 A 表示直线 y ＝3（ x ≠2）， 集合 B 表示直线 y ＝－ ，两直线平行. A ∩ B ＝⌀； ③由 l1可知（2，3）∉ A ，当（2，3）∈ B ，即2（ a2－1）＋3（ a －1）－15＝0时，可得 a ＝－4或 a ＝ ，此时 A ∩ B ＝⌀. 综上可知，当 a 的值为－4，－1，1， 时， A ∩ B ＝⌀. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $